Vektorraum r_{3} < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Mo 31.03.2008 | | Autor: | idler |
| Aufgabe | | Die drei Vektoren: [mm] \vektor{2 \\ a\\ a-4}, \vektor{3 \\ a\\ a-3 }, \vektor{4 \\ a\\ a+8} [/mm] sollen den Vektorraum [mm] r_{3} [/mm] wählen. |
hi,
leider habe ich bei dieser aufgabe gar keine idee für einen ansatz, da ich zu der zeit als wir die definition für einen Vektorraum durchgenommen haben, krank war.
Es wäre sehr nett wenn mir einer eine verständlich definition oder einen ansatz zum lösen der aufgabe geben könnte.
danke :D
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Hallo idler,
> Die drei Vektoren: [mm]\vektor{2 \\ a\\ a-4}, \vektor{3 \\ a\\ a-3 }, \vektor{4 \\ a\\ a+8}[/mm]
> sollen den Vektorraum [mm]r_{3}[/mm] wählen.
> hi,
>
> leider habe ich bei dieser aufgabe gar keine idee für einen
> ansatz, da ich zu der zeit als wir die definition für einen
> Vektorraum durchgenommen haben, krank war.
>
> Es wäre sehr nett wenn mir einer eine verständlich
> definition oder einen ansatz zum lösen der aufgabe geben
> könnte.
Die 3 Vektoren [mm]\vektor{2 \\ a\\ a-4}, \vektor{3 \\ a\\ a-3 }, \vektor{4 \\ a\\ a+8}[/mm] sollen doch bestimmt eine Basis des [mm]\IR^{3}[/mm] bilden.
Für eine Basis gilt:
[mm]\alpha*\pmat{2 \\ a \\ a-4}+\beta*\pmat{3 \\ a \\ a-3}+\gamma*\pmat{4 \\ a \\ a+8}=\pmat{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
mit [mm]\alpha=\beta=\gamma=0[/mm]
Dies ist äquivalent zu folgenden Gleichungen:
[mm]\alpha*2+\beta*3+\gamma*4=0[/mm]
[mm]\alpha*a+\beta*a+\gamma*a=0[/mm]
[mm]\alpha*\left(a-4\right)+\beta*\left(a-3\right)+\gamma*\left(a+8\right)=0[/mm]
Dieses Gleichungssstem hat eine eindeutige Lösung,
wenn die Determinante der Matrix
[mm]\pmat{2 & 3 & 4 \\ a & a & a \\ a-3 & a-4 & a-8}[/mm]
nicht verschwindet, wenn also gilt
[mm]\vmat{2 & 3 & 4 \\ a & a & a \\ a-3 & a-4 & a-8} \not= 0[/mm]
Daraus erhätst Du dann Bedingungen, die das a erfüllen muß,
damit diese 3 Vektoren eine Basis bilden.
>
> danke :D
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:14 Mo 31.03.2008 | | Autor: | idler |
hi mathpower,
danke schonmal für deine antwort.
Das lösen dieser aufgabe mit diesem matrixsystem sagt mir leider nichts, da wir das noch nicht in der schule hatten.
aber die bedingung für eine basis im vektorraum [mm] \IR^{3} [/mm] hat mir schon etwas geholfen.
kann ich die aufgabe auch auf einem anderen weg lösen ?
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Hey, du kannst auch einfach das Gleichungssystem
[mm]\alpha*2+\beta*3+\gamma*4=0[/mm]
[mm]\alpha*a+\beta*a+\gamma*a=0[/mm]
[mm]\alpha*\left(a-4\right)+\beta*\left(a-3\right)+\gamma*\left(a+8\right)=0[/mm]
ganz normal lösen und daraus die Bedingungen für a finden.
Denke dran, es muss eine nichttriviale Lösung existieren.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 Mo 31.03.2008 | | Autor: | idler |
hmm,
wie soll ich das gleichungssystem lösen, wenn ich 4 unbekannte und nur 3 gleichungen habe ? =(
soll ich a einfach schon als konstante betrachten?
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Hallo!
> hmm,
>
> wie soll ich das gleichungssystem lösen, wenn ich 4
> unbekannte und nur 3 gleichungen habe ? =(
>
Nein du hast nur 3 Unbekannte nämlich [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] . Das "a" ist nur ein Parameter also handelt es sich nur um eine Zahl die auch so zu behandeln ist. Beachte dass wenn du zb durch a teilst dass du sagen musst dass [mm] a\not=0 [/mm] ist. Dieser Fall ist dann gesondert zu betrachten. 
> soll ich a einfach schon als konstante betrachten?
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Mo 31.03.2008 | | Autor: | idler |
ok,
ich habe es mal probiert durch zu rechnen, jedoch steige ich da noch nicht so ganz durch.
also:
[mm] 1.2\alpha+3\beta+4\gamma=0
[/mm]
[mm] 2.a\alpha+a\beta+a\gamma=0 [/mm] => durch a teilen also [mm] a\not=0 [/mm] =>
[mm] \alpha+\beta+\gamma=0 [/mm]
[mm] 3.a\alpha-4\alpha+a\beta-3\beta+a\gamma+8\gamma=0
[/mm]
dann fasse ich die 1. und die 2. und die 1. und die 3. zusammen damit ich nurnoch 3 gleichungen habe:
[mm] 1.\alpha+2\beta+3\gamma=0 [/mm]
[mm] 2.a\alpha+a\beta+a\gamma-2\alpha+12\gamma=0 [/mm]
nun löse ich die 1. nach [mm] \alpha [/mm] auf und setze sie in die 2. ein :
[mm] \alpha=-2\beta-3\gamma
[/mm]
eingesetzt - > [mm] -a\beta+a\gamma+4\beta+18\gamma=0 [/mm]
nur leider weiss ich nicht, wie ich weiter machen muss um eine variable zu erhalten ...
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Hallo!
Das hier ist ein lineares Gleichungssytem und muss auch als System gelöst werden.
[mm] \alpha\cdot{}2+\beta\cdot{}3+\gamma\cdot{}4=0
[/mm]
[mm] \alpha\cdot{}a+\beta\cdot{}a+\gamma\cdot{}a=0
[/mm]
[mm] \alpha\cdot{}\left(a-4\right)+\beta\cdot{}\left(a-3\right)+\gamma\cdot{}\left(a+8\right)=0
[/mm]
Wir wollen hier das [mm] \alpha [/mm] in der 2. Zeile wegebekommen dazu multiplizieren wir die erste Gleichung mit [mm] \cdot(-a) [/mm] und die 2. Gleichung mit 2 und dann addieren wir beide Glehchungen, usw.
Das von dir aufgestellte Gleichungssytem kann gar nicht richtig sein denn wir befinden uns im [mm] \IR^{3} [/mm] sodass wir auch 3 Gleichungen haben. Löse das oben aufgestellte Gleichungssytem so auf wie du es immer machst. Wenn du dann deine Dreiecksform hast dann kannst du ablesen was du für a einsetzen musst damit das System gelöst werden kann. Ok?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Mo 31.03.2008 | | Autor: | idler |
ok,
wenn ich die 1. gleichung mit -a und die 2. mit 2 multipliziere und sie dann addiere erhalte ich [mm] -a\beta-2a\gamma=0 [/mm]
jedoch weiss ich nicht wie ich gleichungen in einem system löse. es wäre vllt nicht schlecht, wenn mir das einer erklären oder einen link zur erklärung geben könnte.
danke ;D
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Mo 31.03.2008 | | Autor: | idler |
ne,
an so etwas hätte ich mich erinnern können. wir haben die immer mit dem taschenrechner gelöst. man kann jedoch nicht [mm] a\*\alpha [/mm] usw. eingeben oder?
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Hallo!
> ne,
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> an so etwas hätte ich mich erinnern können. wir haben die
> immer mit dem taschenrechner gelöst. man kann jedoch nicht
> [mm]a\*\alpha[/mm] usw. eingeben oder?
Doch. Wenn du einen geeigneten Taschenrechner (CAS) hast dann schon. Du musst auch nicht unbedingt [mm] a\cdot\alpha [/mm] schreiben sondern kannst auch [mm] a\cdot x_{1} [/mm] schreiben. Jedoch bezweifle ich dass ihr das noch nicht gemacht habt wenn du so eine Aufgabe lösen musst. Hier kommst du um das Lösen eines Linearen Gleichungssystem nicht herum. Schau mal vielleicht noch in dein Schulbuch dort sollte sich dieses finden.
Gruß
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Gauß-Algo.