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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 14.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
| Aufgabe | | Man zeige, dass die Funktionen sin(x), cos(x), [mm] e^x [/mm] im Vektorraum der stetigen Funktionen [mm] \IR \to \IR [/mm] linear unabhängig sind. |
Hallo,
zu der aufgabe hab ich noch nich mal irgendeine idee. natürlich kenne ich die funktionen aus ana aber inwiefern ich das jetzt auf lina beziehen kann fällt mir einfach nicht ein.
bin wie immer über jeden ratschlag glücklich. danke schon mal im vorhinein.
gruß fawkes
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Hallo,
dafür ist ein neuer Blick auf deine Funktionen nötig. Denn da die stetigen Funktionen einen Vektorraum bilden, sind diese Funktionen als Elemente dieses Vektorraums natürlich auch Vektoren. Eine Schwierigkeit dabei ist natürlich, dass man in der Funktion die Abhängigkeit von dem x hat. Wenn du also jetzt zwei Vektoren addierst, z.B. [mm] x^2 [/mm] und cos(x), dann kommt [mm] x^2+cos(x) [/mm] heraus (einfach), ein anderer Vektor aus deinem Vektorraum. Der Nullvektor ist aber nun nicht einfach eine Zahl, sondern die Funktion f(x)=0.
Jetzt sollst du also zeigen, dass die Vektoren sin(x), cos(x) und [mm] e^x [/mm] linear unabhängig sind, d.h. dass bei einer Linearkombination dieser drei Vektoren nur 0 (= Nullfunktion) herauskommt, wenn die Koeffizienten (die kommen aus [mm] \IR) [/mm] alle 0 sind.
Vielleicht ist es jetzt etwas weniger verwirrend  .
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:18 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
also zu der linearen unabhängigkeit hab ich mir jetzt folgendes überlegt:
für linearkombinationen gilt ja allgemein:
[mm] a_1v_1+...+a_nv_n=0\Rightarrow a_1=...=a_n=0, [/mm] wobei halt [mm] a\in [/mm] K und [mm] v\in [/mm] V ist.
überträgt man das jetzt auf die aufgabe so folgt ja dann:
[mm] a_1sin(x)+a_2cos(x)+a_3e^x=0\Rightarrow a_1=a_2=a_3=0 [/mm] und das ganze muss ich ja jetzt irgendwie beweisen. ist das bis hierhin erstmal so richtig?
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> also zu der linearen unabhängigkeit hab ich mir jetzt
> folgendes überlegt:
> für linearkombinationen gilt ja allgemein:
> [mm]a_1v_1+...+a_nv_n=0\Rightarrow a_1=...=a_n=0,[/mm] wobei halt
> [mm]a\in[/mm] K und [mm]v\in[/mm] V ist.
Hallo,
das gilt nicht "für Linearkombinationen allgemein", sondern es gilt, sofern [mm] (v_1,...,v_n) [/mm] linear unabhängig.
> überträgt man das jetzt auf die aufgabe so folgt ja dann:
sind f, g,h mit f(x):=sin(x), g(x):=cos(x), [mm] h(x)=e^x [/mm] linear unabhängig, so gilt
[mm] (\*) [/mm] a_1f+a_2g+a_3h= 0 (Nullfunktion) ==> [mm] a_1=a_2=a_3=0,
[/mm]
und dies ist gleichbedeutend mit
> [mm] a_1sin(x)+a_2cos(x)+a_3e^x=0
[/mm]
für alle x
[mm] >\Rightarrow a_1=a_2=a_3=0 [/mm] und
> das ganze muss ich ja jetzt irgendwie beweisen. ist das bis
> hierhin erstmal so richtig?
Jetzt ja. Vorher halb.
Das eingefügte "für alle x" ist sehr wichtig, denn es geht in [mm] (\*) [/mm] ja um die Gleichheit von Funktionen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:51 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
muss ich dann jetzt zuerst um das zu zeigen, beweisen das die funktionen f,g,h lin. u. sind?
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> muss ich dann jetzt zuerst um das zu zeigen, beweisen das
> die funktionen f,g,h lin. u. sind?
Nein, genau andersrum:
Du beweist die Unabhängigkeit von f,g,h, indem Du zeigst:
> [mm] a_1sin(x)+a_2cos(x)+a_3e^x=0
[/mm]
für alle x
[mm] >\Rightarrow a_1=a_2=a_3=0 [/mm]
Gruß v. Angela
P.S.: ich hab' mein vorhergehendes Post jetzt so bearbeitet, daß man es lesen kann...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:26 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
also wenn ich das mal so sagen darf, ist das wohl eine der aufgaben wo ich mal überhaupt nich durchblicke :(
hab jetzt erstmal versucht die x einzeln zu betrachten und zwar hab ich halt mit x=1 angefangen und daraus folgt dann:
[mm] a_1*0,017+a_2*1+a_3*2,718=0 [/mm] und das bekommt man doch gleich Null wenn man [mm] a_1=-101,0588235 [/mm] wählt [mm] a_2=-1 [/mm] und [mm] a_3=1 [/mm] und deshalb gibt es ja scheinbar doch ein ergebnis?
dann hab ich mal das x festgelassen und [mm] a_1 [/mm] bis [mm] a_3 [/mm] =1 gesetzt. naja und ab da wusste ich dann nich mehr wie ich weiter vorgehen sollte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Mo 15.06.2009 | | Autor: | fred97 |
Du mußt zeigen:
Aus
$ [mm] a_1sin(x)+a_2cos(x)+a_3e^x=0 [/mm] $
für alle x, folgt:
$ [mm] a_1=a_2=a_3=0 [/mm] $
Nimm mal x= 0, dann x = [mm] \pi [/mm] und dann x = [mm] \pi/2
[/mm]
Dann erhälst für $ [mm] a_1,a_2 ,a_3 [/mm] $ 3 lineare Gleichungen
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
und das reicht dann schon? weil das wären ja dann nur 3 mögliche x´se für die ich das dann gezeigt habe?
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> und das reicht dann schon? weil das wären ja dann nur 3
> mögliche x´se für die ich das dann gezeigt habe?
Hallo,
ja, das reicht.
Wenn schon diese drei Ikse zwingend erforderlich machen, daß alle [mm] a_i=0 [/mm] sind, dann können daran weitere dreizigtausend andere Ikse nichts mehr ändern.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Mo 15.06.2009 | | Autor: | Fawkes |
klasse vielen danke für eure hilfe :)
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