Vektorraumhomomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 So 18.05.2014 | | Autor: | Avinu |
| Aufgabe | Es seien ein Körper K und ein K-Vektorraumhomomorphismus [mm] \phi [/mm] : V [mm] \to [/mm] W gegeben. Zeigen Sie:
c)
Für alle n [mm] \in \IN_0 [/mm] und jedes n-Tupel [mm] (s_1,...,s_n) [/mm] in V ist [mm] \phi() [/mm] = [mm] <\phi(s_1),...,\phi(s_n)>.
[/mm]
d)
Für jeden endlichdimensionalen K-Untervektorraum U von V ist [mm] \phi(U) [/mm] ein endlichdimensionaler Untervektorraum von W und es gilt [mm] dim_K \phi(U) \leq dim_K [/mm] U. |
Hallo zusammen,
ich bin mir leider bei beiden Teilaufgaben nicht so sicher mit meiner Idee für einen Ansatz.
Zu c)
Ich meine, ich weiß (sollte vorher gezeigt werden), dass für jeden K-UVR U von V [mm] \phi(U) [/mm] ein K-UVR von W ist. Jetzt ist [mm] [/mm] ja ein K-UVR von V also ist klar, dass [mm] \phi() [/mm] ein K-UVR von W sein muss. Auch klar ist mir, dass [mm] <\phi(s_1),...,\phi(s_n)> [/mm] ein K-UVR von W ist. Die Frage wäre aber, warum beide UVR identisch sein müssen?
Zu d)
Folgt dies dann aus c) ? Wenn ich das n-Tupel [mm] (s_1,...,s_n) [/mm] so wähle, dass es eine Basis in U ist, dann gibt es nach c) ein Erzeugendensystem [mm] (\phi(s_1),...,\phi(s_n)) [/mm] von [mm] \phi(U). [/mm] Da U endlichdimensional war, ist n endlich und das Erzeugendensystem ist höchstens "größer", als eine Basis. Also ist auch [mm] \phi(U) [/mm] endlichdimensional. Dann würde direkt folgen, dass [mm] dim_K \phi(U) \leq dim_K [/mm] U. Geht das so?
Schonmal vielen Dank und schöne Grüße,
Avinu
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Hallo Avinu,
c) Ich bezeichne die Menge der $ [mm] s_i [/mm] $ mit $ S$. [mm] $\langle S\rangle [/mm] $ ist der kleinste Unterraum, welcher $ S $ enthält. Genauso ist [mm] $\langle\phi S\rangle [/mm] $ der kleinste Unterraum von $ W$ welcher [mm] $\phi [/mm] S $ enthält. Zu zeigen sind daher zwei Dinge:
(i) [mm] $\phi\langle S\rangle [/mm] $ enthält [mm] $\phi [/mm] S $.
(ii) Aus $ [mm] S\subseteq U\le\phi\langle S\rangle [/mm] $ folgt $ [mm] U=\phi\langle S\rangle [/mm] $.
Bei welchem der Schritte kommst du nicht weiter?
d) Allgemein kann man zeigen: Erzeugt $ S $ einen Raum $ U $, so erzeugt das Bild von $ S$ unter einem Homomorphismus das Bild von $ U $ unter diesem Homomorphismus. Das gilt allgemeiner für beliebige algebraische Strukturen (im Sinne der universellen Algebra). Zeige das und folgere hieraus die Behauptung.
Dies entspricht natürlich deiner Lösung, ist nur etwas konzeptioneller formuliert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Hallo UniversellesObjekt,
hmm, also vielleicht denke ich auch einfach zu kompliziert, aber wenn U von S erzeugt wird, dann wird doch [mm] \phi(S) [/mm] von [mm] \phi(S) [/mm] erzeugt? Also irgendwie ist das offensichtlich, aber zeigen kann ich es nicht.
Ist nicht offensichtlich, dass [mm] $\phi()$ [/mm] die Vektoren [mm] $s_1,...s_n$ [/mm] enthält? Denn $S$ enthält ja [mm] $s_1,...,s_n$, [/mm] wenn ich nun also [mm] $\phi$ [/mm] auf z.B. [mm] $s_1$ [/mm] anwende, dann gilt doch automatisch, dass [mm] $\phi(s_1) \in \phi(s_1)$. [/mm] Damit würde aber ja direkt [mm] $\phi\langle S\rangle$ [/mm] enthält [mm] $\phi [/mm] S$ gelten.
Den zweiten Punkt verstehe ich nicht. [mm] $S\subseteq U\le\phi\langle S\rangle$ [/mm] folgt [mm] $U=\phi\langle S\rangle$. [/mm] Also weder, wie man auf diese Forderung/Aussage kommt, noch wie man sie beweisen sollte. Aber meinst du nicht auch [mm] $\phi [/mm] S [mm] \subseteq U\le\phi\langle S\rangle$ [/mm] folgt [mm] $U=\phi\langle S\rangle$?
[/mm]
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> Hallo UniversellesObjekt,
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> hmm, also vielleicht denke ich auch einfach zu kompliziert,
> aber wenn U von S erzeugt wird, dann wird doch [mm]\phi(S)[/mm] von
> [mm]\phi(S)[/mm] erzeugt? Also irgendwie ist das offensichtlich,
> aber zeigen kann ich es nicht.
Das macht keinen Sinn, [mm] $\phi [/mm] S $ ist eine Menge, nicht notwendigerweise ein Unterraum.
> Ist nicht offensichtlich, dass [mm]\phi()[/mm] die Vektoren
> [mm]s_1,...s_n[/mm] enthält?
Hier fehlen [mm] $\phi$'s, [/mm] aber sonst ja, das ist offensichtlich.
> Denn [mm]S[/mm] enthält ja [mm]s_1,...,s_n[/mm], wenn
> ich nun also [mm]\phi[/mm] auf z.B. [mm]s_1[/mm] anwende, dann gilt doch
> automatisch, dass [mm]\phi(s_1) \in \phi(s_1)[/mm]. Damit würde
> aber ja direkt [mm]\phi\langle S\rangle[/mm] enthält [mm]\phi S[/mm]
> gelten.
>
> Den zweiten Punkt verstehe ich nicht. [mm]S\subseteq U\le\phi\langle S\rangle[/mm]
> folgt [mm]U=\phi\langle S\rangle[/mm]. Also weder, wie man auf diese
> Forderung/Aussage kommt, noch wie man sie beweisen sollte.
> Aber meinst du nicht auch [mm]\phi S \subseteq U\le\phi\langle S\rangle[/mm]
> folgt [mm]U=\phi\langle S\rangle[/mm]?
Ja stimmt, das war ein Schreibfehler.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:07 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Es tut mir Leid, aber ich komme damit nicht weiter :(
- Warum reicht es die zwei genannten Aussagen zu beweisen? Normalerweise zeige ich Gleichheit ja in dem ich zeige, dass [mm] $\phi(\langle [/mm] S [mm] \rangle) \subseteq \langle \phi(S) \rangle$ [/mm] und $ [mm] \langle \phi(S) \rangle \subseteq \phi(\langle [/mm] S [mm] \rangle)$ [/mm] gilt.
- Ist die erste Aussage trivial und offensichtlich, so wie ich gesagt hatte? Das die Argumentation richtig ist hattest du ja schon gesagt, aber reicht diese Begründung aus?
- Wie gehe ich vor, um die zweite Aussage zu beweisen?
Sorry, aber ich glaube ich steh hier gerade echt auf dem Schlauch.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
Mach es doch zu Fuß: zu zeigen ist
$ [mm] \phi() [/mm] $ = $ [mm] <\phi(s_1),...,\phi(s_n)>. [/mm] $
1. Sei y [mm] \in \phi(). [/mm] Dann ex. ein x [mm] \in [/mm] mit [mm] y=\phi(x).
[/mm]
Weiter ex. [mm] k_1,...,k_n \in [/mm] K mit:
[mm] x=\summe_{i=1}^{n}k_is_i.
[/mm]
Dann ist [mm] y=\summe_{i=1}^{n}k_i\phi(s_i) \in <\phi(s_1),...,\phi(s_n)>
[/mm]
Damit haben wir: $ [mm] \phi() [/mm] $ [mm] \subseteq [/mm] $ [mm] <\phi(s_1),...,\phi(s_n)>. [/mm] $
2. Versuche Du Dich nun an $ [mm] \phi() [/mm] $ [mm] \supseteq [/mm] $ [mm] <\phi(s_1),...,\phi(s_n)>. [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mo 19.05.2014 | | Autor: | Avinu |
Gut, das habe ich verstanden ;)
Sei nun $y [mm] \in \langle \phi(s_1),...,\phi(s_n) \rangle$ [/mm] dann gibt es $ [mm] k_1,...,k_n \in [/mm] K$, sodass $y = [mm] \summe_{i=1}^{n} k_i \phi(s_i) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \phi(k_i s_i)$ [/mm] gilt. Also gibt es ein $x = [mm] \summe_{i=1}^{n} k_i s_i$ [/mm] mit [mm] $\phi(x) [/mm] = y$. Offensichtlich ist x dann aber ein Element von [mm] $\langle s_1,...,s_n \rangle$
[/mm]
Das sollte so doch eigentlich funktionieren, oder?
Danke! Ich glaube ich war bei dieser Aufgabe einfach ein bisschen zu ungeduldig und dadurch unkonzentriert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Mo 19.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Gut, das habe ich verstanden ;)
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> Sei nun [mm]y \in \langle \phi(s_1),...,\phi(s_n) \rangle[/mm] dann
> gibt es [mm]k_1,...,k_n \in K[/mm], sodass [mm]y = \summe_{i=1}^{n} k_i \phi(s_i) = \summe_{i=1}^{n} \phi(k_i s_i)[/mm]
> gilt. Also gibt es ein [mm]x = \summe_{i=1}^{n} k_i s_i[/mm] mit
> [mm]\phi(x) = y[/mm]. Offensichtlich ist x dann aber ein Element von
> [mm]\langle s_1,...,s_n \rangle[/mm]
>
> Das sollte so doch eigentlich funktionieren, oder?
Ja
FRED
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> Danke! Ich glaube ich war bei dieser Aufgabe einfach ein
> bisschen zu ungeduldig und dadurch unkonzentriert.
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