Vektorraumhomomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 Fr 29.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | K ist ein Körper.
V und W sind endlich-dimensionale K-Vektorräume, mit dim(V)=n und dim(W)=m und nm>0.
Φ:V [mm] \to [/mm] W ist ein Vektorraumhomomorphismus mit r=rangΦ.
Es sollen Basen [mm] B_{V} [/mm] von V und [mm] B_{W} [/mm] von W konstruiert werden, so dass:
[mm] M_{B_{V},B_{W(Φ)}}=\pmat{ E_{r} & 0 \\ 0 & 0 } [/mm] gilt.
Aufgabe:
Zu zeigen ist, dass dim(ker(Φ))=n-r. |
Hallo,
wie so oft habe ich 1) Verständnisschwierigkeiten was die Aufgabenstellung angeht und 2) weiß ich nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Meine Fragen sind nun:
1) Ich weiß, dass der Rang einer Matrix der Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind, entspricht.
Ich kann mir aber nichts unter dem gegebenem Rang des Vektorraumhomomorphismus vorstellen, kann mir das jemand erklären?
2) Ich weiß, dass die Dimension wie folgt definiert ist:
[mm] \dim [/mm] V = [mm] \dim \mathrm{ker}(f) [/mm] + [mm] \dim \mathrm{im}(f), [/mm] trotzdem verstehe ich nicht wirklich, wie ich mir dim(ker(Φ)) vorzustellen habe.
3) Was wären die ersten Überlegungen bzw. Schritte bei der Aufgabe?
Vielen Dank an alle.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Fr 29.04.2011 | | Autor: | uliweil |
Hallo Paula_88,
ich fürchte, da geht Einiges durcheinander. Deshalb zunächst einige Klarstellungen:
Zu 1:
Der Rang einer Matrix ist mitnichten die Anzahl der Spaltenvektoren, die ungleich 0 sind, sondern vielmehr die maximale Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren (= der maximalen Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren, wie man zeigen kann). Das, was Du geschrieben hast, gilt nur, wenn man zuvor die Matrix auf Dreiecksform gebracht hat (z.B. mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren).
Der Rang eines Vektorraumhomomorphismus f ist definiert als rang(f) = dim (Bi(f)), wobei Bi(f) das Bild von f ist (also f(V)). Bekanntlich ist das Bild eines Vektorrraumes unter einem Homomorphismus ein Untervektorraum des Zielraumes W, also kann man von einer Dimension von Bi(f) sprechen (in der englischen Literatur oft auch im(f) für image). Nun kann bekanntlich jeder Vektorraumhomomorphismus über einem Körper K als nxm - Matrix [mm] M_{f} [/mm] über K geschrieben werden (mit dim(V) = n und dim (W) = m). Netterweise gilt nun, dass rang (f) = [mm] rang(M_{f}), [/mm] wie man beweisen kann.
Zu 2:
Um eine Vorstellung zu bekommen, was dim(ker(f)) ist, sollte man als erstes die Qualitäten klären: Der Kern eines Homomorphismusses f ist die Menge aller Elemente aus V, die auf 0 (in W) abgebildet werden. Der Kern ist ein Unterraum von V, hat also eine Dimension dim(ker(f)), auch "Defekt" genannt. Wenn man nun heranzieht, dass ein Homomorphismus, dessen Kern der Nullraum {0} ist, gerade injektiv ist, dann kann man sich vorstellen, dass der "Defekt" etwas über die "fehlende" Injektivität eines Homomorphismus aussagt.
Zu 3:
Wenn Du die Dimensionsformel aus 2 schon kennst, ist die Herleitung von
dim(ker(Φ))=n-r ein Kinderspiel.
Gruß
Uli
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Fr 29.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die lange und ausführliche Antwort.
Ich habe mir mit den Erklärungen jetzt die Sätze nochmal angeguckt und gemerkt, dass die Aufgabe eigentlich sehr leich ist
Ich schreibe sie nun einmal ausführlich auf, wie ich sie lösen würde:
Wir benötigen die Dimensionsformel, die wir nach dim(ker(Φ)) umstellen:
dim(ker(Φ))=dim(V)-dim(im(Φ))
Desweiteren benötigen wir den Kern-Bild-Satz, der besagt, dass wenn V ein endlich dimensionaler Vektorraum ist, haben auch im(f) und ker(f) endliche Dimensionen und der Satz gilt:
dim(V)=dim(im(f))+dim(ker(f))=rang(f)+dim(ker(f)).
Somit ist dim(im(Φ))=rang(Φ)=r und dim(V) laut Aufgabenstellung =n.
Eingesetzt in die Dimensionsformel ergibt das:
dim(ker(Φ))=n-r!!!
Dann stelle ich gleich mal die nächste Aufgabe hinterher, ich brauche irgendwie immer Tips für die Herangehensweise 
Aufgabe:
Man kann eine Basis [mm] (v_{r+1},...,v_{n}) [/mm] von ker(Φ) zu einer Basis [mm] B_{V}=(v_{1},...,v_{r},v_{r+1},...,v_{n}) [/mm] von V ergänzen.
Für i=1,...,r setzt man [mm] w_{i}:=Φ(v_{i}).
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass [mm] (w_{1},...,w_{r}) [/mm] linear unabhängig ist.
Was genau ist jetzt durch die Ergänzung mit der Basis passiert?
Und wo kommt [mm] (w_{1},...,w_{r}) [/mm] her? Ist das jetzt eine Basis des Vektorraumes W?
Linear unabhängig bedeutet dann in diesem Fall doch, dass:
[mm] \summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}=0\Rightarrow\lambda_{i}=0, \forall_{i}
[/mm]
Bei solch Verallgemeinerungen weiß ich jedoch nicht genau wie ich das zeige, Tips oder Vorschläge?
Viele Grüße.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
mach das nächste mal für eine neue Aufgabe lieber ein neues Thema auf.
> Aufgabe:
> Man kann eine Basis [mm](v_{r+1},...,v_{n})[/mm] von [mm] $ker(\Phi)$ [/mm] zu
> einer Basis [mm]B_{V}=(v_{1},...,v_{r},v_{r+1},...,v_{n})[/mm] von V
> ergänzen.
> Für i=1,...,r setzt man [mm]w_{i}:=\Phi(v_{i}).[/mm]
> Zu zeigen ist nun, dass [mm](w_{1},...,w_{r})[/mm] linear
> unabhängig ist.
>
> Was genau ist jetzt durch die Ergänzung mit der Basis
> passiert?
>
> Und wo kommt [mm](w_{1},...,w_{r})[/mm] her? Ist das jetzt eine
> Basis des Vektorraumes W?
Nein, es sind einfach die Bilder der Vektoren [mm] $v_1,\ldots,v_r$ [/mm] unter der Abbildung [mm] $\Phi$. [/mm] Eine Basis von W ist das nur, wenn [mm] $\Phi$ [/mm] surjektiv ist, aber das brauchst du hier gar nicht.
> Linear unabhängig bedeutet dann in diesem Fall doch,
> dass:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}=0\Rightarrow\lambda_{i}=0, \forall_{i}[/mm]
Genau.
Also angenommen [mm] $\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}=0$ [/mm] und nicht alle [mm] $\lambda_i=0$, [/mm] d.h. wir nehmen an, die [mm] $w_i$ [/mm] wären linear abhängig und führen das zu einem Widerspruch. Es gilt: [mm] $0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}\Phi(v_{i})=\Phi\left(\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}v_{i}\right)$.
[/mm]
Sind dir diese Schritte klar? Und erkennst du jetzt den Widerspruch?
LG Lippel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 Sa 30.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank für die Antwort, ich verstehe sie aber nur teilweise
Wir führen also einen Beweis durch Widerspruch durch, in dem wir beweisen wollen, dass [mm] w_{i} [/mm] linear abhängig ist, dass führen wir zu einem Widerspruch, womit bewiesen ist, dass es doch linear unabhängig ist??
$ [mm] 0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}\Phi(v_{i})=\Phi\left(\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}v_{i}\right) [/mm] $
In diesen Schritten sehe ich jetzt jedoch nicht, dass wir [mm] w_{i} [/mm] als linear abhängig definieren.
Ich interpretiere diese Schritte, dass wir
[mm] 0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i} [/mm] setzen, was lineare Unabhängigkeit definiert, dann ersetzen wir [mm] w_{i} [/mm] durch [mm] \Phi(v_{i}) [/mm] und zum Schluss kommt durch Umformungen raus, dass auch [mm] v_{i} [/mm] linear unabhängig sein müsste.
Ich weiß leider nicht wie es mit der linearen un-/abhängigkeit von [mm] v_{i} [/mm] aussieht, ist gerade das der Widerspruch??
Ich bitte um Hilfe :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Sa 30.04.2011 | | Autor: | Lippel |
> Vielen Dank für die Antwort, ich verstehe sie aber nur
> teilweise
>
> Wir führen also einen Beweis durch Widerspruch durch, in
> dem wir beweisen wollen, dass [mm]w_{i}[/mm] linear abhängig ist,
> dass führen wir zu einem Widerspruch, womit bewiesen ist,
> dass es doch linear unabhängig ist??
Nein, so kompliziert ist es nicht! Wir wollen zeigen, dass die [mm] $w_i$ [/mm] linear unabhängig sind, das steht doch ganz klar in der Aufgabenstellung. Wir nehmen an, sie wären linear abhängig und führen das zu einem Widerspruch. Das bedeutet dann, dass sie linear unabhängig sein müssen.
> [mm]0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}\Phi(v_{i})=\Phi\left(\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}v_{i}\right)[/mm]
> In diesen Schritten sehe ich jetzt jedoch nicht, dass wir
> [mm]w_{i}[/mm] als linear abhängig definieren.
> Ich interpretiere diese Schritte, dass wir
> [mm]0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}[/mm] setzen, was lineare
> Unabhängigkeit definiert,
Nein! Nur diese Summe hinzuschreiben bedeutet noch keine lineare Unabhängigkeit!
Wenn aus [mm]0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}[/mm] notwendig folgt, dass [mm] $\lambda_i=0 \;\;\forall [/mm] i$, dann bedeutet das, dass die [mm] $w_i$ [/mm] linear unabhängig sind. Das heißt, [mm] $\lambda_i=0 \;\;\forall [/mm] i$ muss die EINZIGE Lösung des Gleichungssystems [mm]0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}[/mm].
Ich habe nun angenommen, dass die [mm] $\lambda_i$ [/mm] eben gerade nicht alle 0 sind, das heißt, dass es eine weitere Lösung der Gleichung [mm]0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}[/mm] gibt, damit nehme ich also an, dass die [mm] $w_i$ [/mm] linear abhängig sind.
> dann ersetzen wir [mm]w_{i}[/mm] durch
> [mm]\Phi(v_{i})[/mm] und zum Schluss kommt durch Umformungen raus,
> dass auch [mm]v_{i}[/mm] linear unabhängig sein müsste.
Nein, die Umformungen zeigen etwas anderes.
> Ich weiß leider nicht wie es mit der linearen
> un-/abhängigkeit von [mm]v_{i}[/mm] aussieht, ist gerade das der
> Widerspruch??
Nein, aber einen anderen Widerspruch siehst du direkt. Bedenke, dass $ [mm] (v_{r+1},...,v_{n}) [/mm] $ eine Basis von $ker(Phi)$ ist, unsere Summe aber eine Linearkombination der von [mm] $(v_1,\ldots,v_r)$ [/mm] ist.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:26 So 01.05.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo,
> Ist der Widerspruch dann nicht, dass unsere gebildete Summe
> eine Linearkombination von [mm]v_{i}[/mm] ist?
Es ist richtig, dass [mm] $\summe_{i=1}^r \lambda_i v_i [/mm] = 0$ ein Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der [mm] $v_i$ [/mm] wäre, aber das steht ja gar nicht da, sondern [mm] $\Phi\left(\summe_{i=1}^r \lambda_i v_i\right)=0$.
[/mm]
> Vektoren sind ja normalerweise genau dann l.u. wenn sich
> keiner als Linearkombination der anderen darstellen
> lässt.
Das stimmt, aber ich habe hier doch keine Linearkombination, vor der Summe steht doch noch ein [mm] $\Phi$. [/mm] Ich sag dir jetzt einfach, wie die Lösung ist. Wir wissen aus der Aufgabenstellung, dass [mm] $(v_{r+1}, \ldots, v_n)$ [/mm] eine Basis von [mm] $ker(\Phi)$ [/mm] ist, also [mm] $span(v_{r+1}, \ldots, v_n)=\ker(\Phi)$. [/mm] Unter der Annahme der linearen Abhängigkeit der [mm] $w_i$ [/mm] habe wir hergeleitet, dass [mm] $\Phi\left(\summe_{i=1}^r \lambda_i v_i\right)=0$ [/mm] gilt, also ist [mm] $\summe_{i=1}^r \lambda_i v_i\right \in ker(\phi)$, [/mm] aber es ist [mm] $\summe_{i=1}^r \lambda_i v_i \not\in span(v_{r+1}, \ldots, v_n)$, [/mm] dies ist ein Widerspruch zu [mm] $span(v_{r+1}, \ldots, v_n)=ker(\Phi)$. [/mm] Also müssen die [mm] $w_i$ [/mm] linear unabhängig sein.
> >>>Wenn aus [mm]0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i}[/mm] notwendig
> folgt, dass [mm]\lambda_i=0 \;\;\forall i [/mm], dann bedeutet das,
> dass die [mm]w_i[/mm] linear unabhängig sind. Das heißt,
> [mm]\lambda_i=0 \;\;\forall i[/mm] muss die EINZIGE Lösung des
> Gleichungssystems [mm]0=\summe_{i=1}^{r}\lambda_{i}w_{i} [/mm].
>
> Muss ich das explizit noch zeigen, oder reicht es den
> Widerspruch zu konstruieren?
Das ist es genau was wir durch die Konstruktion des Widerspruchs zeigen. Wir nehmen an, es gäbe eine weitere Lösung, das führt zu einem Widerspruch, also ist [mm]\lambda_i=0 \;\;\forall i[/mm] die einzige Lösung. Es reicht also den Widerspruch zu konstruieren.
> Die Aufgabe fällt mir leider relativ schwer, bitte nicht
> verzweifeln und weiter helfen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:30 So 01.05.2011 | | Autor: | paula_88 |
Vielen Dank, jetzt weiß ich, wo ich gestockt habe, mir war $ [mm] span(v_{r+1}, \ldots, v_n)=ker(\Phi) [/mm] $ nicht bewusst. Diesbezüglich werde ich mich nochmal genauer informieren und dann den Beweis nochmal selbstständig durchführen.
Liebe Grüße, Paula.
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