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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Di 04.09.2007 | | Autor: | Sara |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden
g1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ -4 \\ 3} \lambda \varepsilon \IR
[/mm]
[mm] g2=\vektor{7 \\ -12 \\ 10} +\mu \vektor{-6 \\ 12 \\ -9} [/mm] |
[mm] \mu \varepsilon \IR
[/mm]
n'Abend an alle,
ich hab ein Problem mit meinen Mathehausaufgaben bzw. weiß ich nicht ob ich den richtigen Rechenweg anwende.
Zunächst einmal hab ich geprüft,ob die beiden Gleichungen parallel zueinander sind. Dies erkennt man indem man testet ob die beiden Gleichungen kollenear sind oder nicht.
Ich bin mir aber nicht sicher wie man das macht, ich hab jetzt einfach die beiden Gleichungen gleichgesetzt und mit Hilfe des LGS' gelöst.
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ -4 \\ 3} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ -12 \\ 10} +\mu \vektor{-6 \\ 12 \\ -9}
[/mm]
Ergebnis:
2=2
Die Lösung ist denke ich richtig, aber mir geht es eher darum, ob mein Rechenweg richtig ist? Kann man sehen, ob zwei Geraden kollinear sind, indem man diese gleichsetzt?
Als zweites wollt ich prüfen, ob die Gleichungen windschief sind.
Dies erkennt man ja daran, dass sich die Gleichungen nicht schneiden, daher hab ich mir gedacht dies zu prüfen, aber ich kann bei meinem LGS lamda und mu gar nicht berechnen, weil sie beide wegfallen. Hab ich da ein Fehler gemacht oder gilt es als Beweis dafür, dass die beiden Geraden keinen Schnittpunkt haben und demnach windschief sind?
Hoffe Jemand kann mir weiterhelfen.
Danke im Voraus.
Gruß
Sara
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Di 04.09.2007 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Jo das war schon gut!
1. Sind die Richtungsvektoren Vielfache?
Ja: Die Geraden sind parallel, ODER identisch (Punktprobe!)
Nein: Die Geraden schneiden sich, oder sind windschief.
2. Ist das LGS lösbar?
Ja: Die Geraden schneiden sich.
Nein: Die Geraden schneiden sich nicht, also sind windschief.
Hoffe das hilft etwas :)
Edit: Ach, man. Ich bin die ganze zeit von ausgegangen, dass die Geraden nicht parallel sind, aber das sind sie ;)
Die Richtungsvektoren sind ja [mm] \vec{a}=\vektor{2 \\ -4 \\ 3} [/mm] und [mm] \vec{b}=\vektor{-6 \\ 12 \\ -9}
[/mm]
Wenn du scharf hinguckst, siehst du, dass [mm] -3*\vec{a}=\vec{b} [/mm] ist.
Wenn es nicht so einfach wäre, kannst du so vorgehen: du nimmst dir einfach die 1. Koordinate des einen vektors und guckst, mit welcher Zahl man die multiplizieren müsste um die 1. Koordinate des anderen vektors zu erhalten. In dem Fall sind das ja die -3 (bzw. [mm] -\bruch{1}{3} [/mm] wenn du's andersrum machst). Und dann guckst du ob das für die 2. und 3. Zeile auch noch klappt. Wenn ja, dann sind die Richtungsvektoren kollinear, also Vielfache voneinander und somit parallel.
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