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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 14.01.2009 | | Autor: | Newcool |
| Aufgabe | Es sei W der Würfel der von den drei Einheitsvektoren [mm] e_1 [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] e_2 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] e_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] erzeugt wird.
Es sei ferner E die Ebene, die durch die Punkte (0,0,1), (0,1,1), (1,0,0) und (1,1,0) verläuft.
a.) Stellen Siee die Vektorgleichung (der Form x= p+su+tv) für die Ebene E auf.
b.) Verwenden Sie das Kreuzprodukt, um einen Normalenvektor n der Ebene E zu berechnen und stellen Sie eine Hessesche Normalengleichung für E auf.
c.) Schreiben Sie eine allgemeine Grundgleichung der Form [mm] Ax_1 [/mm] + [mm] Bx_2 [/mm] + [mm] Cx_3 [/mm] + D = 0 auf, die die Ebene E beschreibt.
d.) Berechnen Sie den Abstand der Ebene E vom Ursprung.
e.) Welche Eckpunkte des Würfels liegen auf der Ebene E', die durch die Gleichung [mm] x_2 [/mm] + [mm] x_3 [/mm] -1 = 0 beschrieben wird ?
f.) Bestimmen Sie Gerade g, die sich als Schnittmenge der Ebene E und E' ergibt. |
Hey ihr,
also, das ist mal die Aufgabe.
a.) Hab ich berechnet in dem ich gesagt hab für p kann ich irgendeinen Punkt auf der Ebene nehmen, dafür hab ich dann [mm] e_3 [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] gewählt. Für u und v hab ich einen Richtungsvektor gewählt der von diesem Punkt ausgeht, und der in die Richtung geht in welche die Ebene verläuft, d.h. u= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] und [mm] v=\vektor{0 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
damit hab ich dann folgende gleichung:
x= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + [mm] s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] t*\vektor{0 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Hoffe das stimmt so !?
b.) So der normalenvektor, muss ja gerade auf der Ebene stehen, also habe ich den punkt welchen ich oben für p hatte übernommen, [mm] \vektor{0\\ 1\\ 0} [/mm] und das Kreuzprodukt zu [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 1} [/mm] gebildet.
Daher hab ich den Normalenvektor n = [mm] \vektor{0 \\0 \\ -1} [/mm] erhalten.
Stimmt das soweit ?
So nun die Hessesche Normalengleichung, die Formel lautet ja:
n*(x-p) = 0
Dadurch erhalte ich ja nun folgende Gleichungen:
(1) [mm] 0*(x_1-0) [/mm] = 0
(2) [mm] 0*(x_2-1) [/mm] = 0
(3) [mm] -1*(x_3-0) [/mm] = 0
Ah *edit* ^^
Stimmt es das die HNG dann so lautet:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -1} [/mm] * [mm] \vektor{x_1 - 0 \\ x_2 - 1 \\ x_3 - 0} [/mm] = 0
und das schon alles war ?
Aber wie geht das jetzt weiter oder habe ich hier Fehler gemacht ?
Vielen Dank schonmal
Ach ja nicht wundern das hier mehr Aufgaben drinnen stehn als ich jetzt gerade hier erklärt habe, aber ich dachte mir das ich lieber alles in ein Thread schreibe, damit ich diesen nacher erweitern kann sobald ich die anderen Aufgaben bearbeitet habe.
Nochmal danke im voraus.
Gruß Newcool
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Hi, Newcool,
> Es sei W der Würfel der von den drei Einheitsvektoren [mm]e_1[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]e_2[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] und [mm]e_3[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] erzeugt wird.
> Es sei ferner E die Ebene, die durch die Punkte (0,0,1), (0,1,1), (1,0,0) und (1,1,0) verläuft.
>
> a.) Stellen Sie die Vektorgleichung (der Form x= p+su+tv)
> für die Ebene E auf.
>
> b.) Verwenden Sie das Kreuzprodukt, um einen Normalenvektor
> n der Ebene E zu berechnen und stellen Sie eine Hessesche
> Normalengleichung für E auf.
>
> c.) Schreiben Sie eine allgemeine Grundgleichung der Form
> [mm]Ax_1[/mm] + [mm]Bx_2[/mm] + [mm]Cx_3[/mm] + D = 0 auf, die die Ebene E
> beschreibt.
>
> d.) Berechnen Sie den Abstand der Ebene E vom Ursprung.
>
> e.) Welche Eckpunkte des Würfels liegen auf der Ebene E',
> die durch die Gleichung [mm]x_2[/mm] + [mm]x_3[/mm] -1 = 0 beschrieben wird
> ?
>
> f.) Bestimmen Sie Gerade g, die sich als Schnittmenge der
> Ebene E und E' ergibt.
> also, das ist mal die Aufgabe.
Bissl viel auf einmal 
Aber ich schau mal, wie weit ich komme!
> a.) Hab ich berechnet in dem ich gesagt hab für p kann ich
> irgendeinen Punkt auf der Ebene nehmen, dafür hab ich dann
> [mm]e_3[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] gewählt.
Also: Wenn Deine Aufgabenstellung (siehe oben) richtig ist, dann liegt DER ja nun grade NICHT auf der Ebene E!
Warum hast Du nicht einfach den ersten Punkt, also (0;0;1) genommen?!
> Für u und v hab ich einen Richtungsvektor gewählt der von diesem Punkt ausgeht,
Womit Du dann natürlich als "Folgefehler" vermutlich zwei falsche Richtungen kriegst!
> und der in die Richtung geht in welche die Ebene verläuft,
> d.h. u= [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] und [mm]v=\vektor{0 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> damit hab ich dann folgende gleichung:
> x= [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm] + [mm]s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] + [mm]t*\vektor{0 \\ -1 \\ 1}[/mm]
>
> Hoffe das stimmt so !?
Nein! Siehe meine Bemerkungen von oben!
Natürlich geht nun der Rest auch schief!
Also: Nochmal von vorne!
mfG!
Zwerglein
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