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| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 3} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
a) Geben Sie die zugehörigen Einheitsvektoren [mm] \vec{a_{0}} [/mm] und [mm] \vec{b_{0}}
[/mm]
b) Bestätigen Sie, dass der Einheitsvektor [mm] \vec{a_{0}} [/mm] aus den Kosinuswerten der Winkel besteht, die der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] mit den Koordinatenachsen bildet. Begründen Sie diesen Sachverhalt allgemein.
c) Durch die Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] wird ein Parallelogramm definiert. Geben Sie die Diagonalen des Parallelogramms als Vektoren an.
d) Zeigen Sie allgemein: Die Diagonalen eines durch zwei beliebige Vektoren [mm] \vec{a} \not= \vec{o} [/mm] und [mm] \vec{b} \not= \vec{o} [/mm] aufgespannten Parallelogramms stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] den gleichen Betrag haben. |
Guten Tag,
Meine Ansätze:
Um den Einheitsvektor zu berechnen muss man den Betrag von [mm] \vec{a} [/mm] bzw. von [mm] \vec{b} [/mm] bestimmen:
[mm] \vmat{ \vec{a}} [/mm] = 5
[mm] \vmat{ \vec{b}} [/mm] = [mm] \wurzel{37}
[/mm]
und diese teilt man durch die Komponenten des Vektors
[mm] \vec{a_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{0,8 \\ 0 \\ 0,6}
[/mm]
[mm] \vec{b_{0}} [/mm] = [mm] \vektor{0,16 \\ 0,99 \\ 0}
[/mm]
b)
jetzt kommen wir zu etwas schwierigerem bei denen ich einige Lücken habe
dazu habe ich folgende Idee:
Wenn man mit einem Einheitsvektor bzw. mit einem Vektor der Länge 1 in jede beliebige Richtung, ein Skalarprodukt bildet, dann bekommt man den Betrag des Vektors mal Kosinus zwischen dem Vektor und dem Einheitsvektor. Normalerweise ist ja das Skalarprodukt immer Betrag des einen Vektors mal Betrag des anderen Vektors mal cos(alpha).
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:35 Mo 22.06.2009 | | Autor: | abakus |
> Gegeben sind die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> und [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 6 \\ 0}[/mm]
>
> a) Geben Sie die zugehörigen Einheitsvektoren [mm]\vec{a_{0}}[/mm]
> und [mm]\vec{b_{0}}[/mm]
> b) Bestätigen Sie, dass der Einheitsvektor [mm]\vec{a_{0}}[/mm] aus
> den Kosinuswerten der Winkel besteht, die der Vektor
> [mm]\vec{a}[/mm] mit den Koordinatenachsen bildet. Begründen Sie
> diesen Sachverhalt allgemein.
> c) Durch die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] wird ein
> Parallelogramm definiert. Geben Sie die Diagonalen des
> Parallelogramms als Vektoren an.
> d) Zeigen Sie allgemein: Die Diagonalen eines durch zwei
> beliebige Vektoren [mm]\vec{a} \not= \vec{o}[/mm] und [mm]\vec{b} \not= \vec{o}[/mm]
> aufgespannten Parallelogramms stehen genau dann senkrecht
> aufeinander, wenn [mm]\vec{a}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] den gleichen Betrag
> haben.
> Guten Tag,
>
> Meine Ansätze:
>
> Um den Einheitsvektor zu berechnen muss man den Betrag von
> [mm]\vec{a}[/mm] bzw. von [mm]\vec{b}[/mm] bestimmen:
>
> [mm]\vmat{ \vec{a}}[/mm] = 5
> [mm]\vmat{ \vec{b}}[/mm] = [mm]\wurzel{37}[/mm]
>
> und diese teilt man durch die Komponenten des Vektors
>
> [mm]\vec{a_{0}}[/mm] = [mm]\vektor{0,8 \\ 0 \\ 0,6}[/mm]
> [mm]\vec{b_{0}}[/mm] =
> [mm]\vektor{0,16 \\ 0,99 \\ 0}[/mm]
Hallo,
das ist kein Einheitsvektor, denn [mm] 0,16^2+0,99^2 [/mm] ist größer als 1.
Das einzig richtige genaue Ergebnis ist [mm]\vektor{\bruch{1}{\wurzel{37}} \\ \bruch{6}{\wurzel{37}} \\ 0}[/mm].
Gruß Abakus
>
> b)
> jetzt kommen wir zu etwas schwierigerem bei denen ich
> einige Lücken habe
>
> dazu habe ich folgende Idee:
>
> Wenn man mit einem Einheitsvektor bzw. mit einem Vektor der
> Länge 1 in jede beliebige Richtung, ein Skalarprodukt
> bildet, dann bekommt man den Betrag des Vektors mal Kosinus
> zwischen dem Vektor und dem Einheitsvektor. Normalerweise
> ist ja das Skalarprodukt immer Betrag des einen Vektors mal
> Betrag des anderen Vektors mal cos(alpha).
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:06 Mo 22.06.2009 | | Autor: | expositiv |
Danke für die Antwort,
Kann mir jemand für Aufgabe b) einen Hinweis geben? Laut der Aufgabe soll ich einmal an dem Beispiel etwas bestätigen und dann allgemein begründen, aber wie geh ich jetzt ran?
Ich habe bei der Aufgabe Verständnisprobleme und bräuchte einen kleinen Tipp auch wenn ich leider keinen eigenen Ansatz bei der Aufgabe habe bitte ich um Verständnis...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:26 Mo 22.06.2009 | | Autor: | expositiv |
Stimmt denn mein Ansatz zu b) bei der ersten Frage nicht?
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Hallo expositiv,
> Gegeben sind die Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{4 \\ 0 \\ 3}[/mm]
> und [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ 6 \\ 0}[/mm]
>
> a) Geben Sie die zugehörigen Einheitsvektoren [mm]\vec{a_{0}}[/mm]
> und [mm]\vec{b_{0}}[/mm]
> b) Bestätigen Sie, dass der Einheitsvektor [mm]\vec{a_{0}}[/mm] aus
> den Kosinuswerten der Winkel besteht, die der Vektor
> [mm]\vec{a}[/mm] mit den Koordinatenachsen bildet. Begründen Sie
> diesen Sachverhalt allgemein.
> Guten Tag,
>
> Meine Ansätze:
>
>
> b)
> jetzt kommen wir zu etwas schwierigerem bei denen ich
> einige Lücken habe
>
> dazu habe ich folgende Idee:
>
> Wenn man mit einem Einheitsvektor bzw. mit einem Vektor der
> Länge 1 in jede beliebige Richtung, ein Skalarprodukt
> bildet, dann bekommt man den Betrag des Vektors mal Kosinus
> zwischen dem Vektor und dem Einheitsvektor. Normalerweise
> ist ja das Skalarprodukt immer Betrag des einen Vektors mal
> Betrag des anderen Vektors mal cos(alpha).
Schreib das doch mal formelmäßig auf mit [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{e_1}=\vektor{1\\0\\0}, [/mm] entweder mit dem gegebenen Vektor [mm] \vec{a} [/mm] oder gleich mit [mm] \vec{a}=\vektor{a_1\\a_2\\a_3}.
[/mm]
Wie du den  Winkel bestimmst, weißt du doch?
Gruß informix
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Guten Tag,
Das Problem ist, dass ich bei aufgabe b) ein Verständnisproblem hab... ich kapier gar nicht so recht was verlangt wird bei der Aufgabe sonst hätt ich ja mal ansatzweise Lösungsvorschläge gegeben.
Vielleicht ist es ja so:
cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{ \vektor{4 \\ 0 \\ 3} & \vektor{0,8 \\ 0 \\ 0,6} }{5 * 1}
[/mm]
Gruß
expositiv
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Mo 22.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein erster Einheits Vektor liegt in der x-y Ebene.
Wenn du ihn einzeichnest, dann siehst du, dass die Komponenten gerade die cos. der Winkel zur x, bzw. zur y- Achse sind.
andererseits, wenn du mit [mm] (1,0,0)^T [/mm] skalar multiplizierst kriegst du auch die erste komponente, wenn du mit [mm] (0,1,0)^T [/mm] mult die zweite.
Entsprechend der 2 te Vektor, der in der x-z- Ebene liegt.
oder du sagst, dass das skalarprod. zwischen Einheitsvektoren den cos zwischen ihnen gibt, und das skalarprodukt mit den einheitskoordinatenvektoren, jewils die komponente in der entsprechenden richtung.
Was du gesagt hast ist schon richtig, nur sagt es ja nichts ueber die Komp. aus, und das ist gefragt. da du Einheitsvektoren hast, ist das mit dem betrag ja egal.
Gruss leduart
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Meinst du mit "erster Einheitsvektor" den Vektor [mm] \vec{a_{0}} [/mm] und mit "zweiter Einheitsvektor" den Vektor [mm] \vec{b_{0}} [/mm] ?
Dachte in der Aufgabe muss man nur am Beispiel [mm] \vec{a_{0}} [/mm] bestätigen das der Einheitsvektor aus den Kosinuswerten der Winkel bestehe, die der Vektor [mm] \vec{a} [/mm] mit den Koordinatenachsen bildet. Und wie sagt man das jetzt allgemein, ohne am Beispiel? Dasselbe oder?
Du meintest auch grad das mein Ansatz stimme teilweise ... damit meinst du cos [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{ \vektor{4 \\ 0 \\ 3} & \vektor{0,8 \\ 0 \\ 0,6} }{5 \cdot{} 1} [/mm] oder?
Gruß
expositiv
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:17 Di 23.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nein du sollst zeigen, dass die Komponenten des Vektor [mm] \vec{a_0}=\vektor{0.8 \\ 0\\0.6} [/mm] den cos des Winkels mit den Koordinatenachsen sind. d.h. [mm] cos\alpha=0.8 [/mm] wobei [mm] \alpha [/mm] der Winkel zur x Achs bildet.
dazu multiplizierst du den Vektor mit dem Einheitsvektor in Richtung der x-achse also [mm] \vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] skalar.
dasselbe machst du mit der y und z achsen einheitsvektoren.
Fuer den Vektor kannst du das auch noch durch Zeichnen in der x-z (bzw x1, x3 Ebene zeigen)
dann nimmst du nen allgemeinen Vektor [mm] \vektor{a \\ b\\ c}, [/mm] machst ihn zum einheitsvektor, [mm] \vektor{\bruch{a}{\wurzel{a^2+b^2+c^2}} \\ \bruch{b}{\wurzel{a^2+b^2+c^2}}\\\bruch{c}{\wurzel{a^2+b^2+c^2}}} [/mm] und machst dasselbe mit ihm. Dann hast du allgemein gezeigt, dass die komponenten von jedem Einhietsvektor die cos der Winkel zu den Koordinatenachsen sind.
Ist es jetzt klar?
Gruss leduart
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