Vektorrechnung Aufgaben < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:14 So 19.11.2006 | | Autor: | Devon |
Hallo Leute, muss bis Mittwoch paar Aufgaben in Mathe lösen, bin leider nich so das Ass darin^^ Könnte mir vielleicht jemand nen Denkanstoß, oder besser noch die Lösung folgender Aufgaben geben ;) ??
Aufgabe1:
Untersuchen sie die Lagebeziehungen der Geraden g1, g2, g3 bezüglich der Ebene [mm] \varepsilon [/mm] mit der Gleichung [mm] \varepsilon: [/mm] 2x + 3y - z + 2= 0
a.) g1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ -2} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 3}
[/mm]
b.) g2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 2} [/mm] + t [mm] \vektor{-1 \\ 0 \\ -2}
[/mm]
c.) g3: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -2 \\ 2} [/mm] + t [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -5}
[/mm]
Aufgabe2:
Bestimmen Sie jeweils Schnittpunkt und Schnittwinkel der Geraden A und B bzw. C und D!
a.) A (2;1;1) , B (3;2;2) , C (2;7;-2) , D (4;5;2)
b.) A (3;2;5) , B (5;6;3) , C (4;3;7) , D (-2;-6;4)
c.) A (3;4;0) , B (6;-2;3) , C (4;5;4) , D (6;3;8)
Aufgabe3:
Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt des durch [mm] P_{i}, \vec{a}_{i} [/mm] und [mm] \vec{b}_{i} [/mm] bestimmten Parallelogramms:
a.) [mm] P_{2} [/mm] (4;-2;3), [mm] \vec{a}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 1 \\ -3}, \vec{b}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ -2 \\ 6}
[/mm]
So das wären die Aufgaben.. Würde mich echt freuen wenn mir jemand helfen kann!! MfG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo Leute, muss bis Mittwoch paar Aufgaben in Mathe
> lösen, bin leider nich so das Ass darin^^ Könnte mir
> vielleicht jemand nen Denkanstoß, oder besser noch die
> Lösung folgender Aufgaben geben ;) ??
>
Hallo,
keine Angst du brauchst keine Lösungen von mir. Du wirst sehen, dass die Aufgaben leichter zu lösen sind als du glaubst :D
> Aufgabe1:
> Untersuchen sie die Lagebeziehungen der Geraden g1, g2, g3
> bezüglich der Ebene [mm]\varepsilon[/mm] mit der Gleichung
> [mm]\varepsilon:[/mm] 2x + 3y - z + 2= 0
>
> a.) g1: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ -2}[/mm] + t [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> b.) g2: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 2}[/mm] + t [mm]\vektor{-1 \\ 0 \\ -2}[/mm]
>
> c.) g3: [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ -2 \\ 2}[/mm] + t [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -5}[/mm]
>
>
Hier setzt du die jeweilige Gerade in die Ebene ein und zwar x für x-Koordinate, y für y-Koordinate und z für z-Koordinate.
Z.B. für a) 2(1+t)+3(-2+2t)-1(-2+3t)
Du formst nun nach t um.
Es gibt drei Lösungsmöglichkeiten:
Ebene und Gerade schneiden sich in einen Punkt, d.h. t hat eine Lösung.
Ebene und Gerade sind parallel, d.h t hat keine Lösung.
Ebene und Gerade fallen zusammen, d.h. t nimmt alle Lösungen an.
> Aufgabe2:
> Bestimmen Sie jeweils Schnittpunkt und Schnittwinkel der
> Geraden A und B bzw. C und D!
>
> a.) A (2;1;1) , B (3;2;2) , C (2;7;-2) , D (4;5;2)
> b.) A (3;2;5) , B (5;6;3) , C (4;3;7) , D (-2;-6;4)
> c.) A (3;4;0) , B (6;-2;3) , C (4;5;4) , D (6;3;8)
Um einen Schnittpunkt zu brechnen setzt du beiden Geradengleichungen gleich. Du hast nun 3 Gleichungen mit zwei Variablen. Das ist nun lösbar.
z.B.a) 2+t= 2+2v
1+t= 7-2v
1+t= -2+4v
Um einen Schnittwinkel zwischen 2 Geraden zu berechnen gibt es eine einfache Formel.
[mm] cos(\alpha)= [/mm] Bruch von Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren über Multiplikation des Betrags der beiden Richtungsvektoren.
Frag nach, wenn du diese Formel noch nicht kennst.
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> Aufgabe3:
> Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt des durch [mm]P_{i}, \vec{a}_{i}[/mm]
> und [mm]\vec{b}_{i}[/mm] bestimmten Parallelogramms:
>
> a.) [mm]P_{2}[/mm] (4;-2;3), [mm]\vec{a}_{2}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ 1 \\ -3}, \vec{b}_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{-4 \\ -2 \\ 6}[/mm]
>
>
Hier hilft das Vektorprodukt!
Du berechnest das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren und nimmst den Betrag davon und voila, du hast den Flächeninhalt.
Das war sehr kurz. Wenn du weitere Erklärungen brauchst, dann frag nach.
SChönen Abend!
Gorky
> So das wären die Aufgaben.. Würde mich echt freuen wenn mir
> jemand helfen kann!! MfG
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:01 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Devon |
Moin hab mich mal versucht.. Also:
Aufgabe 1:
a.) Da habe ich die Lösung 0 + 5t = 0 (Richtig?)
b.) 0 = 0 (keine Lösung?)
c.) 8 + 0t = 0 (Höhh?)
Aufgabe 2:
Habe ich nicht ganz begriffen, könntest du mir das vielleicht nochmal genauer erklären?!
Aufgabe 3:
Dort habe ich wie du sagtest habe ich das Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren genommen..
Vektorprodukt ist doch [mm] \pmat{ a2 \* b3 - a3 \* b2 \\ a3 \* b1 - a1 \* b3 \\ a1 \* b2 - a2 \* b1 } [/mm] oder?
Dann habe ich da als Vektorprodukt [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] raus.. Ist das überhaupt richtig? Weil davon kann ich ja auch keinen Betrag nehmen und hätte demnach ja auch keinen Flächeninhalt?!
Würde mich freuen wenn mir nochmal jemand helfen könnte, danke!!
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Hi, Devon,
> Aufgabe 1:
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> a.) Da habe ich die Lösung 0 + 5t = 0 (Richtig?)
Richtig! Aber noch nicht fertig! Daraus ergibt sich t=0 und somit ist der Aufpunkt der Geráden [mm] g_{1} [/mm] gleichzeitig Schnittpunkt mit der Ebene.
Gesuchte Lagebeziehung_ [mm] g_{1} [/mm] schneidet die Ebene.
> b.) 0 = 0 (keine Lösung?)
Falsch! Genau das Gegenteil! Da diese Aussage offensichtlich WAHR ist, ist jedes beliebige t Lösung. Demnach liegt die Gerade [mm] g_{2} [/mm] vollständig in der Ebene drin!
> c.) 8 + 0t = 0 (Höhh?)
Oder einfacher: 8 = 0 (Übrigens bekäme ich -4 = 0, aber egal!)
Leicht zu erkennen als FALSCHE Aussage. Hier gibt es also KEINE Lösung. Demnach gibt es auch keinen gemeinsamen Punkt der Geraden und der Ebene. Das geht aber nur, wenn [mm] g_{3} [/mm] ECHT parallel zur Ebene liegt.
Alles klar bis dahin?
mfG!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Devon |
Soweit so gut, hab ich begriffen ;)
Aber bei 2.) brauch ich nochmal Hilfe und bei 3.) nochmal ne Info ob das so richtig is mit nem Vektorprodukt von [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ???
Ansonsten erstma danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Mo 20.11.2006 | | Autor: | Fulla |
hi Devon!
zur 2. aufgabe:
ich rechne dir mal die a) vor:
also, die eine gerade geht durch [mm] \overrightarrow{A} [/mm] und [mm] \overrightarrow{B}, [/mm] die andere durch [mm] \overrightarrow{C} [/mm] und [mm] \overrightarrow{D}.
[/mm]
[mm] \overrightarrow{g}_{AB}: \overrightarrow{A}+\lambda*\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A}+\lambda*\left(\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\right)=\vektor{2\\1\\1}-\lambda*\left[\vektor{3\\2\\2}-\vektor{2\\1\\1}\right]=\vektor{2\\1\\1}+\lambda*\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
und genauso bekommst du:
[mm] \overrightarrow{h}_{CD}: \vektor{2\\7\\-2}+\mu*\vektor{2\\-2\\4}
[/mm]
die beiden geradengleichungen musst du nun gleichsetzen (du willst ja einen punkt finden, der auf beiden geraden liegt, bzw. der beide gleichungen erfüllt):
[mm] \vektor{2\\1\\1}+\lambda*\vektor{1\\1\\1}=\vektor{2\\7\\-2}+\mu*\vektor{2\\-2\\4}
[/mm]
du kannst jetzt jede zeile für sich als gleichung ansehen. du kommst dann (nachdem du ein bisschen vereinfacht hast) auf:
[mm] \lambda=2\mu
[/mm]
[mm] \lambda=6-2\mu
[/mm]
[mm] \lambda=4\mu-3
[/mm]
setz z.b. das [mm] \lambda [/mm] aus der ersten gleichung in die zweite ein --> [mm] \mu=1,5
[/mm]
das setzt du dann wieder in die erste ein und erhältst: [mm] \lambda=3
[/mm]
jetz noch beides in die dritte einsetzen, um zu sehen, ob auch diese erfüllt wird. (wenn nicht, schneiden sich die geraden nicht!)
so, jetzt nimmst du das errechnete [mm] \lambda [/mm] oder [mm] \mu [/mm] (welches ist egal) und setzt es in die jeweilige gleichung ein... z.b.:
[mm] \overrightarrow{h}_{CD}: \vektor{2\\7\\-2}+1,5*\vektor{2\\-2\\4}=\vektor{5\\4\\4}
[/mm]
das ist jetzt der schnittpunkt [mm] \overrightarrow{S}=\vektor{5\\4\\4}
[/mm]
für den winkel benutzt du, wie GorkyPark schon erwähnt hat:
[mm] \cos(\alpha_{gh})=\bruch{\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|*|\overrightarrow{CD}|}
[/mm]
hier ist das:
[mm] \cos(\alpha)=\bruch{\vektor{1\\1\\1}*\vektor{2\\-2\\4}}{\left|\vektor{1\\1\\1}\right|*\left|\vektor{2\\-2\\4}\right|}=\bruch{4}{\wurzel{3}*\wurzel{24}}=\bruch{4}{\wurzel{72}}=\bruch{\wurzel{2}}{3}
[/mm]
--> [mm] \alpha\approx [/mm] 61,87°
so, ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet....
die anderen aufgaben kannst du jetzt sicher alleine!
ach und zur dritten:
ja, wenn du [mm] \overrightarrow{a}_2\times\overrightarrow{b}_2 [/mm] rechnest, kommt 0 raus. (denn [mm] \overrightarrow{b_2}=-2*\overrightarrow{a_2} [/mm] )
ich denke, die aufgabe ist so gemeint, dass das 3 punkte (keine vektoren) sind und du die verbindungsvektoren [mm] \overrightarrow{P_2 a_2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{P_2 b_2} [/mm] multiplizieren musst....
dann komm ich auf einen flächeninhalt von ca. 59,77
aber ohne gewähr... das ist meine interpretation 
so, lieben gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Di 21.11.2006 | | Autor: | Devon |
Super, danke dir.. Ich denke das habe ich auch begriffen nur was du mit Aufgabe 3.) meinst weiß ich nicht genau, das Wort "Verbindungsvektoren" hab ich noch nich gehört..
Ansonsten mal meine Ergebnisse zu Aufgabe 2:
b.):
Schnittpunkt: [mm] \vec{S} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 6}
[/mm]
Schnittwinkel: [mm] \alpha [/mm] = 40,20°
c.):
Schnittpunkt: [mm] \vec{S} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 8 \\ -2}
[/mm]
Schnittwinkel: [mm] \alpha [/mm] = 33,56°
So, hoffe mal das es soweit richtig ist^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:56 Mi 22.11.2006 | | Autor: | Fulla |
hi
mit verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{Pa_2} [/mm] meine ich den vektor [mm] \overrightarrow{P}-\overrightarrow{a_2} [/mm] also den vektor, der die punkte [mm] \overrightarrow{P} [/mm] und [mm] \overrightarrow{a_2} [/mm] verbindet.
lieben gruß,
Fulla
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:06 Fr 24.11.2006 | | Autor: | Devon |
Hab unseren Lehrer gefragt..
Is ein Sonderfall. Die beiden spannen keine Fläche auf, sind also linear unabhängig und deswegen kommt dann auch ein Flächeninhalt von 0 FE raus.. ;)
Also danke für die Hilfe..
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