Vektorrechnung / Ebenen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:42 So 12.03.2006 | | Autor: | ghostrifle |
| Aufgabe | Gegeben ist die Ebene e1: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] + [mm] \mu \vektor{0 \\ 1 \\ 2}.
[/mm]
Bestimmen Sie für die Ebenengleichung e2: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ a \\ 0} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{1 \\ -2 \\ b} [/mm] + [mm] \mu \vektor{c \\ 2 \\ 8} [/mm] die reellen Zahlen a,b,c so dass e1 und 2 die gleiche Ebene darstellen. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich bräuchte einen kleinen Denkanstoss wie ich diese Aufgabe bewältigen kann.
Mir ist klar, dass wenn das Vektorprodukt der beiden Normalvektoren der Ebenen 0 ergibt, diese Ebenen zueinander parallel sind. Das heisst ich muss guckn dass ich n1 [mm] \times [/mm] n2 = 0 kriege.
Mir würde jetzt auf Anhieb einfallen die beiden Gleichungen der Normalvektoren einzusetzen wie folgt:
[mm] (\vec{a1} \times \vec{b1}) \times (\vec{a2} \times \vec{b2}) [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
.... und nun ?? Wenn dies der richtige Ansatz wäre, sollte ich diese Gleichung dann vollends ausschreiben so dass später ein lineares Gleichungssystem herauskommt ?? (wäre das überhaupt möglich??)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:29 So 12.03.2006 | | Autor: | taura |
Hallo ghostrifle!
Ich weiß nicht genau, ob dein Ansatz so richtig ist, aber ich habe mir mal einen anderen überlegt, und zwar Folgendes:
Wenn [mm] e_1 [/mm] unf [mm] e_2 [/mm] identisch sein sollen, bedeutet das, dass jeder Punkt von [mm] e_2 [/mm] auch in [mm] e_1 [/mm] liegen muss, also insbesondere, wenn ich für das [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] in [mm] e_2 [/mm] konkrete Zahlen einsetze. Also mache ich folgendes: Setzte zuerst [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] gleich 0. Dann erhalte ich folgende Gleichung: (ich nenne die Parameter in [mm] e_1 [/mm] der Übersichtlichkeit halber r und s)
[mm] $\vektor{1 \\ -1 \\ 2} [/mm] + r [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ -2} [/mm] + s [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 2}=\vektor{-2 \\ a \\ 0}$
[/mm]
Das ergibt ein Gleichungssystem, das man nach a auflösen kann.
Als nächsten Schritt setze ich [mm] \lambda [/mm] gleich 1 und [mm] \mu [/mm] gleich Null. Nun kann ich nach b auflösen. Und im dritten Schritt setze ich [mm] \lambda [/mm] gleich 0 und [mm] \mu [/mm] gleich 1 und löse nach c auf.
Keine Ahnung, ob das viel zu umständlich ist, und es einen einfacheren Weg gibt, aber so sollte man zumindest auf die richtige Lösung kommen.
Hoffe das hilft dir weiter 
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:45 So 12.03.2006 | | Autor: | ghostrifle |
Vielen Dank für die Antwort! Habe zuerst ein wenig gebraucht bis ich richtig kapiert habe, wie man dann weiterrechnet, aber irgendwann hab ich es irgendwie rausgehabt.> Hallo ghostrifle!
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