Vektorrechnung aufgespannte Fl < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Smuji |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren [mm] \vec{a} \vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vec{b} \vektor{4 \\ -3 \\ 1} [/mm] , [mm] \vec{c} \vektor{2 \\ 0 \\ -8}
[/mm]
sowie der Aufspann V von [mm] \vec{b} [/mm] nach [mm] \vec{c} [/mm]
Ist [mm] \vec{a} [/mm] Element von V ? |
hallo,
wie kann ich das überprüfen ? einfach prüfen ob sie linear abhängig? das wäre doch aber nicht richtig, oder ?
denn dann könnte ich es einfach mit dem determinatenverfahren lösen oder eifnach das spatprodukt bilden ? solange das = 0 ist, wären sie linear abhängig.
aber hat die aufgabenstellung überhaupt mit lineare abhängigkeit zu tun ?
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Hallo,
> Gegeben sind die Vektoren [mm]\vec{a} \vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] ,
> [mm]\vec{b} \vektor{4 \\ -3 \\ 1}[/mm] , [mm]\vec{c} \vektor{2 \\ 0 \\ -8}[/mm]
>
> sowie der Aufspann V von [mm]\vec{b}[/mm] nach [mm]\vec{c}[/mm]
>
Zur Sicherheit eine Rückfrage: Aufspann ist hier nichts anderes als die lineare Hülle (bzw. die von den beiden Vektoren aufgespannte Ebene durch den Ursprung)?
>
> Ist [mm]\vec{a}[/mm] Element von V ?
> hallo,
>
> wie kann ich das überprüfen ? einfach prüfen ob sie
> linear abhängig? das wäre doch aber nicht richtig, oder
> ?
Wenn du damit die Prüfung meinst, ob a, b und c linear abhängig sind: doch, das wäre nicht nur richtig sondern die übliche Methode.
> denn dann könnte ich es einfach mit dem
> determinatenverfahren lösen oder eifnach das spatprodukt
> bilden ? solange das = 0 ist, wären sie linear abhängig.
Ja, die Determinante (die man in diesem speziellen Fall! mit dem Spatprodukt berechnen kann) ist genau dann gleich Null, wenn die drei Vektoren linear abhängig sind.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Smuji |
vielen dank für deine antwort.
ja, damit ist die zwischen den beiden vektoren aufgespannte fläche gemeint.
die musterlösung unseres dozenten ging irgendwie so:
[mm] \lambda \vektor{4 \\ -3 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda \vektor{2 \\ 0 \\ -8} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda [/mm] b = 0 = [mm] \lambda [/mm] c
dazu hat er dann noch irgendwie die einzelenen zeilen miteinerander eingekreist und verrechnet...
mir was das irgendwie zu kompliziert und ich finde das mit der determinate der 3 vektore = 0 für linear abhängig irgendwie einfacher...
zudem hat mich die aufgabenstellung verwirrt... hätte er doch einfach gefragt ob die linear abhängig sind oder nicht, dann hätte ich es ihm gleich beantworten können, aber ob vektor c in der aufgespannten fläche von a und b liegt war ein wenig rätselhaft,da ich es mir nicht richtig bildlich vorstellen kann
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:58 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> vielen dank für deine antwort.
>
>
> ja, damit ist die zwischen den beiden vektoren aufgespannte
> fläche gemeint.
Nein! Zwischen Flächen und Ebenen besteht ein essentieller Unterschied, ist dir der nicht klar? Es ist die Ebene gemeint, die von den beiden Vektoren aufgespannt wird und die durch den Koordinatenursprung geht. Der Begriff dafür in der Linearen Algebra ist eben der der Linearen Hülle. Aufspann ist wohl eine seltenere Bezeichnung, sie war mir nicht geläufig, ergibt aber ja durchaus auch Sinn.
> die musterlösung unseres dozenten ging irgendwie so:
>
> [mm]\lambda \vektor{4 \\ -3 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda \vektor{2 \\ 0 \\ -8}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0} \Rightarrow \lambda[/mm] b = 0 = [mm]\lambda[/mm]
> c
>
>
Da verwendet er einfach die Tatsache, dass wenn es eine solche nichttriviale Linaerkombination gibt, der Vektor a natürlich in der fraglichen Ebene liegen muss.
> dazu hat er dann noch irgendwie die einzelenen zeilen
> miteinerander eingekreist und verrechnet...
???
Wenn du zu irgendwelchen Kringeln, die ein Professor der Anschaulichkeit halber malt, eine Frage hast, dann musst du uns die aufmalen oder irgendwie anders zukommen lassen. So ist es nur ein Stück Text, der deinen Beitrag unleserlich macht (bitte nicht falsch verstehen: es ist objektiv gesehen oft sehr schwierig, deine Anliegen hier überhaupt nachvollziehen zu können).
> mir was das irgendwie zu kompliziert und ich finde das mit
> der determinate der 3 vektore = 0 für linear abhängig
> irgendwie einfacher...
Na ja, das gibt sich nicht viel, das macht man eben so, wie es einem persönlich geschickter erscheint. Es ist alles äquivalent zueinander.
>
> zudem hat mich die aufgabenstellung verwirrt... hätte er
> doch einfach gefragt ob die linear abhängig sind oder
> nicht, dann hätte ich es ihm gleich beantworten können,
> aber ob vektor c in der aufgespannten fläche von a und b
> liegt war ein wenig rätselhaft,da ich es mir nicht
> richtig bildlich vorstellen kann
Der Sinn von Mathematikaufgaben ist es ja gerade, in zunächst verwirrenden Fragestellungen die erlernten Prinzipien und Sachverhalte wieder zu entdecken und anzuwenden.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Smuji |
ok vielen dank...kann die ganzen kringel nicht einzeichnen, da ich es nicht mehr weiß (mein pech)
doch, die ebenen sind ja entweder die ebene zwischen x und y oder halt zusätzlich die 3. dimension... ?!?
die aufgespannte fläche zwischen 2 vektoren, welche ich mit dem kreuzprodukt erhalte ist ja einfach das aufgespannte parallelogramm...soweit ich weiß. ( laut papula).......sorry, jetzt lese ich weiter und weiter hinten nennt er dies die ebene ........ aufjedenfall ist damit das parallelogram gemeint welches zwischen den vektoren aufgespannt wird..... es seidenn es sind vektoren entlang der achsen, dann ist es ein rechteck welches man mit a*b errechnen kann.
ja, ich weiß dass ich mich manchmal ziemlich banane ausdrücke......
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Smuji |
vektoren könen ja nur linear abhängig sein, wenn sie in der selben eben liegen.
wenn allerdings der spat 0 ist und sie deswegen linear abhängig sind, kommen bei mir verständnisprobleme....
wenn ich das richtig interpretiere, bedeutet spat = 0 dass alle 3 vektoren senkrecht aufeinander stehen = linear abhängig
ist es dann zwangsläufig so, dass sie einen 3-dimensionalen raum einnehmen und wie die ecke eines würfels senkrecht aufeinander stehen ? wenn ja, weshalb sind die dann linear abhängig ? wie kann ich mit denn die vektoren entlang der x und y achsen mit einem skalar so multipilzieren , sodass ich den vektor in die horizontale erreiche ? geht doch garnicht ?!?... aber wieso sind sie dann linear abhängig ?
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Hallo,
> vektoren könen ja nur linear abhängig sein, wenn sie in
> der selben eben liegen.
falsch. Das gilt nur für die Art von Vektoren, welche dir bisher bekannt sind und auch dann nur für maximal drei Vektoren. Die lineare Unabhängigkeit bzw. ihr Gegenteil, die lineare Abhängigkeit, sind genauestens ![[]](/images/popup.gif) definiert und das hat zunächst einmal mit Geometrie nichts zu tun. Es gibt dann schon gewisse geometrische Deutungen, aber es ist völlig kontraproduktiv, sich diese Sachverhalte über diese geometrischen Zusammenhänge zu merken, denn damit stößt man ganz schnell an unüberwindliche GRenzen, schon aus dem Grund, weil wir in unserer Vorstellung maximal 3D können...
>
> wenn allerdings der spat 0 ist und sie deswegen linear
> abhängig sind, kommen bei mir verständnisprobleme....
>
Der Betrag des Spatproduktes ergibt das Volumen eines Körpers, der auf lateinisch Parallelepiped und auf deutsch Spat heißt. Er ist im räumlichen das Pendant zum Parallelogramm in der Ebene und wird von drei Vektoren aufgespannt. Wenn diese drei Vektoren in einer Ebene liegen, dann gibt es keinen solchen Körper, also ist das Volumen gleich Null. Auf der anderen Seite sind dann diese drei Vektoren linear abhängig.
> wenn ich das richtig interpretiere, bedeutet spat = 0 dass
> alle 3 vektoren senkrecht aufeinander stehen = linear
> abhängig
Nein, wie kommst du darauf? Versuche mal, über solche Dinge gründlicher nachzudenken, bevor du damit 'um dich wirfst'. Es bedeutet wie schon gesschrieben, dass die drei Vektoren komplanar sind, also in einer gemeinsamen Ebene liegen.
>
> ist es dann zwangsläufig so, dass sie einen
> 3-dimensionalen raum einnehmen und wie die ecke eines
> würfels senkrecht aufeinander stehen ? wenn ja, weshalb
> sind die dann linear abhängig ? wie kann ich mit denn die
> vektoren entlang der x und y achsen mit einem skalar so
> multipilzieren , sodass ich den vektor in die horizontale
> erreiche ? geht doch garnicht ?!?... aber wieso sind sie
> dann linear abhängig ?
Sorry, hier verstehe ich nur noch Bahnhof.
Gruß, Diophant
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> vektoren könen ja nur linear abhängig sein, wenn sie in
> der selben eben liegen.
Hallo,
wenn Du über vektoren des [mm] \IR^3 [/mm] redest, ist das so.
>
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> wenn allerdings der spat 0 ist und sie deswegen linear
> abhängig sind, kommen bei mir verständnisprobleme....
Wieso? Volumen des Spats: Grundfläche mal Höhe.
Wenn da 0 rauskommt, ist die Grundfläche=0 oder die Höhe.
Die Grundfläche ist 0, wenn einer der Vektoren der Nullvektor ist, und die Höhe ist 0, wenn der dritte Vektor in der Ebene liegt.
In beiden Fällen sind die Vektoren linear abhängig.
>
> wenn ich das richtig interpretiere, bedeutet spat = 0 dass
> alle 3 vektoren senkrecht aufeinander stehen= linear
> abhängig
Zweimal nein: es bedeutet nicht, daß sie senkrecht stehen, und zueinander senkrechte Vektoren sind nicht abhängig.
LG Angela
P.S.:
Hatte die Antwort schon fertig, bin vom System am Abschicen gehindert worden und mag sie nun nicht wegwerfen. Neuigkeiten stehen keine drin...
>
>
> ist es dann zwangsläufig so, dass sie einen
> 3-dimensionalen raum einnehmen und wie die ecke eines
> würfels senkrecht aufeinander stehen ? wenn ja, weshalb
> sind die dann linear abhängig ? wie kann ich mit denn die
> vektoren entlang der x und y achsen mit einem skalar so
> multipilzieren , sodass ich den vektor in die horizontale
> erreiche ? geht doch garnicht ?!?... aber wieso sind sie
> dann linear abhängig ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:58 Fr 15.11.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo Angela,
> P.S.:
> Hatte die Antwort schon fertig, bin vom System am
> Abschicen gehindert worden und mag sie nun nicht wegwerfen.
> Neuigkeiten stehen keine drin...
das macht nichts, im Gegenteil: du hast es aus einer anderen Warte heraus formuliert und das könnte durchaus hilfreich sein.
Beste Grüße & schönen Abend,
Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:32 Sa 16.11.2013 | | Autor: | Smuji |
vielen dank, ihr beiden.
also ja, in meinem fall geht es um vektoren der 3. dimension...
ich habe mir soeben nochmal den papula angeschaut und das mit den komplanaren vektoren.....es ist jetzt sehr einleuchtend....irgendwie ja auch klar...ist das spat ungleich 0, dann spannen die vvektoren einen raum auf.....nur wenn sie auf einer eben liegen, können sie keinen raum aufspannen und somit ist der spat gleich 0 ...
jetzt verstehe ich die frage vom dozenten auch. .
vielen dank für eure unterstützung.
p.s. es ist halt alles ziemlich viel input hier im papula.....über 100 seiten nur für die vektorrechnung.... nun, beim 2. mal anschauen, kann ich andere dinge die ich mir vorher einfach als gegeben gemerkt habe, auch langsam verstehen..
gruß smuji
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