Vektorunterräume < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller Unterräume des [mm] \IR- [/mm] Vektorraums [mm] \IR^{3}.
[/mm]
b) Geben Sie eine explizite Liste aller Unterräume des [mm] \IZ_{2}- [/mm] Vektorraums [mm] \IZ_{2} (\IZ_{2})^{2} [/mm] an. Hinweis: es gibt fünf davon. |
a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den Achsen x,y und z sein?
b) [mm] \IZ_{2} [/mm] heißt nur 0 und 1 kommen vor.
Also wären die Unterräume folgende Vektoren: (0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,1)(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0). Aber das sind 7.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:57 Mo 22.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> Achsen x,y und z sein?
nö - klar ist der [mm] $\IR^3$ [/mm] Unterraum von sich selber, aber es gibt hier auch
Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Haben wir damit alle erfasst?
Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich doch tatsächlich den Nullraum
vergessen. Danke Fred! Aber mit dem Nullraum haben wir dann alles!)
Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
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> > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
>
> > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > Achsen x,y und z sein?
>
> nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> gibt hier auch
> Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Haben wir damit alle
> erfasst?
> Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich doch tatsächlich
> den Nullraum
> vergessen. Danke Fred! Aber mit dem Nullraum haben wir
> dann alles!)
> Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
>
> Gruß,
> Marcel
Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm] R^{3} [/mm] sind?
Bedingungen für den Unterraum U:
1. U enthält den Nullvektor.
2. Seien die zwei Vektoren x,y [mm] \varepsilon [/mm] U, dann ist x+y [mm] \varepsilon [/mm] U
3. Sei x [mm] \varepsilon [/mm] U und [mm] \lambda \varepsilon [/mm] K, dann ist [mm] \lambda [/mm] * x [mm] \varepsilon [/mm] U
Ursprungsgeraden:
[mm] (x_{1},y_{1},z_{1})+
[/mm]
[mm] (x_{2},y_{2},z_{2}) [/mm] =
[mm] (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})
[/mm]
[mm] \lambda*(x_{1},y_{1},z_{1}) [/mm] = [mm] (\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})
[/mm]
Ursprungsebene:
[mm] (x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}) [/mm] +
[mm] (x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2}) [/mm] =
[mm] (x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})
[/mm]
[mm] \lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})) [/mm] = [mm] (\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1}) [/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:30 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> >
> > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > Achsen x,y und z sein?
> >
> > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > gibt hier auch
> > Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Haben wir damit
> alle
> > erfasst?
> > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich doch
> tatsächlich
> > den Nullraum
> > vergessen. Danke Fred! Aber mit dem Nullraum haben wir
> > dann alles!)
> > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
>
> Bedingungen für den Unterraum U:
>
> 1. U enthält den Nullvektor.
> 2. Seien die zwei Vektoren x,y [mm]\varepsilon[/mm] U, dann ist x+y
> [mm]\varepsilon[/mm] U
> 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm] K, dann ist
> [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
Ja
>
> Ursprungsgeraden:
>
> [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
>
> [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
>
> Ursprungsebene:
> [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] +
> [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm] =
>
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
>
> [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine Schulzeit:
1. Wie sieht eine Gerade G im [mm] \IR^3 [/mm] aus, die durch den Ursprung geht ?
Zeige dann: sind x,y [mm] \in [/mm] G und s [mm] \in \IR, [/mm] so auch x+y [mm] \in [/mm] G und sx [mm] \in [/mm] G.
2. Wie sieht eineEbene E im [mm] \IR^3 [/mm] aus, die durch den Ursprung geht ?
Zeige dann: sind x,y [mm] \in [/mm] E und s [mm] \in \IR, [/mm] so auch x+y [mm] \in [/mm] E und sx [mm] \in [/mm] E.
FRED
>
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> > > Hallo,
> > >
> > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> > >
> > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > Achsen x,y und z sein?
> > >
> > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > gibt hier auch
> > > Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Haben wir
> damit
> > alle
> > > erfasst?
> > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich doch
> > tatsächlich
> > > den Nullraum
> > > vergessen. Danke Fred! Aber mit dem Nullraum haben
> wir
> > > dann alles!)
> > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > >
> > > Gruß,
> > > Marcel
> >
> > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> >
> > Bedingungen für den Unterraum U:
> >
> > 1. U enthält den Nullvektor.
> > 2. Seien die zwei Vektoren x,y [mm]\varepsilon[/mm] U, dann ist
> x+y
> > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm] K, dann
> ist
> > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
>
> Ja
>
>
> >
> > Ursprungsgeraden:
> >
> > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> >
> > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> >
> > Ursprungsebene:
> > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] +
> > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm] =
> >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> >
> > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
>
> Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> Schulzeit:
>
> 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> Ursprung geht ?
Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe ich doch oben so gemacht?
>
> Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] G
Habe ich doch oben so gemacht?
> und sx [mm]\in[/mm] G.
>
> 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> Ursprung geht ?
Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor als Stützvektor.
>
> Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
Habe ich das nicht oben gemacht?
> und sx [mm]\in[/mm] E.
>
> FRED
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Di 23.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > Hallo,
> > > >
> > > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> > > >
> > > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > > Achsen x,y und z sein?
> > > >
> > > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > > gibt hier auch
> > > > Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Haben wir
> > damit
> > > alle
> > > > erfasst?
> > > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich doch
> > > tatsächlich
> > > > den Nullraum
> > > > vergessen. Danke Fred! Aber mit dem Nullraum
> haben
> > wir
> > > > dann alles!)
> > > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > > >
> > > > Gruß,
> > > > Marcel
> > >
> > > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> > >
> > > Bedingungen für den Unterraum U:
> > >
> > > 1. U enthält den Nullvektor.
> > > 2. Seien die zwei Vektoren x,y [mm]\varepsilon[/mm] U, dann
> ist
> > x+y
> > > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm] K,
> dann
> > ist
> > > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
> >
> > Ja
> >
> >
> > >
> > > Ursprungsgeraden:
> > >
> > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > > [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> > >
> > > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> > >
> > > Ursprungsebene:
> > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] +
> > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm] =
> > >
> > >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> > >
> > > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> > >
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
> >
> > Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> > Schulzeit:
> >
> > 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > Ursprung geht ?
>
> Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen
> Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe
> ich doch oben so gemacht?
Dann schreiben wir das mal auf: mit einem a [mm] \in \IR^3 [/mm] ist
[mm] $G=\{t*a: t \in \IR\}$
[/mm]
> >
> > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm]
> G
>
> Habe ich doch oben so gemacht?
Hast Du nicht !
Seien x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm] \in \IR.
[/mm]
Dann ex. [mm] t_1,t_2 \in \IR [/mm] mit: [mm] x=t_1*a [/mm] und [mm] y=t_2*a.
[/mm]
Jetzt sieht man:
[mm] $x+y=(t_1+t_2)*a \in [/mm] G$ und [mm] $sx=st_1*a \in [/mm] G$
> > und sx [mm]\in[/mm] G.
> >
> > 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > Ursprung geht ?
>
> Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei
> linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor
> als Stützvektor.
> >
> > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
>
> Habe ich das nicht oben gemacht?
nein
FRED
> > und sx [mm]\in[/mm] E.
> >
> > FRED
> > >
> > >
> >
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> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> > > >
> >
> > > > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > > > Achsen x,y und z sein?
> > > > >
> > > > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > > > gibt hier auch
> > > > > Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Haben
> wir
> > > damit
> > > > alle
> > > > > erfasst?
> > > > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich doch
> > > > tatsächlich
> > > > > den Nullraum
> > > > > vergessen. Danke Fred! Aber mit dem Nullraum
> > haben
> > > wir
> > > > > dann alles!)
> > > > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > > > >
> > > > > Gruß,
> > > > > Marcel
> > > >
> > > > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > > > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> > > >
> > > > Bedingungen für den Unterraum U:
> > > >
> > > > 1. U enthält den Nullvektor.
> > > > 2. Seien die zwei Vektoren x,y [mm]\varepsilon[/mm] U,
> dann
> > ist
> > > x+y
> > > > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm] K,
> > dann
> > > ist
> > > > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
> > >
> > > Ja
> > >
> > >
> > > >
> > > > Ursprungsgeraden:
> > > >
> > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > > > [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > > > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> > > >
> > > > Ursprungsebene:
> > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] +
> > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm] =
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> > > >
> > >
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
> > >
> > > Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> > > Schulzeit:
> > >
> > > 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > Ursprung geht ?
> >
> > Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen
> > Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe
> > ich doch oben so gemacht?
>
> Dann schreiben wir das mal auf: mit einem a [mm]\in \IR^3[/mm] ist
>
> [mm]G=\{t*a: t \in \IR\}[/mm]
> > >
> > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm]
> > G
> >
> > Habe ich doch oben so gemacht?
>
> Hast Du nicht !
>
> Seien x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Dann ex. [mm]t_1,t_2 \in \IR[/mm] mit: [mm]x=t_1*a[/mm] und [mm]y=t_2*a.[/mm]
>
> Jetzt sieht man:
>
> [mm]x+y=(t_1+t_2)*a \in G[/mm] und [mm]sx=st_1*a \in G[/mm]
>
>
> > > und sx [mm]\in[/mm] G.
> > >
> > > 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > Ursprung geht ?
> >
> > Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei
> > linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor
> > als Stützvektor.
> > >
> > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
> >
> > Habe ich das nicht oben gemacht?
>
> nein
Ok eine Ebene sieht so aus: Es existieren zwei linear unabhängige Vektoren x und y in U [mm] \subseteq \IR^{3} [/mm] mit a und b aus [mm] \IR, [/mm] sodas [mm] E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}
[/mm]
Sei [mm] E_{2}: a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in [/mm] U
Dann ist [mm] E_{1}+E{2}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}+a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in [/mm] U
Sei [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Dann ist [mm] \lamda*E_{1} \in [/mm] U.
Dann ist
> FRED
> > > und sx [mm]\in[/mm] E.
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > >
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:21 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > Hallo,
> > > > > >
> > > > > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > > > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > > > > Achsen x,y und z sein?
> > > > > >
> > > > > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > > > > gibt hier auch
> > > > > > Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen. Haben
> > wir
> > > > damit
> > > > > alle
> > > > > > erfasst?
> > > > > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich
> doch
> > > > > tatsächlich
> > > > > > den Nullraum
> > > > > > vergessen. Danke Fred! Aber mit dem
> Nullraum
> > > haben
> > > > wir
> > > > > > dann alles!)
> > > > > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > > > > >
> > > > > > Gruß,
> > > > > > Marcel
> > > > >
> > > > > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > > > > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> > > > >
> > > > > Bedingungen für den Unterraum U:
> > > > >
> > > > > 1. U enthält den Nullvektor.
> > > > > 2. Seien die zwei Vektoren x,y [mm]\varepsilon[/mm] U,
> > dann
> > > ist
> > > > x+y
> > > > > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm]
> K,
> > > dann
> > > > ist
> > > > > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > >
> > > > Ja
> > > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Ursprungsgeraden:
> > > > >
> > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > > > > [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > > > > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> > > > >
> > > > > Ursprungsebene:
> > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] +
> > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm] =
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> > > > >
> > > > > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
> > > >
> > > > Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> > > > Schulzeit:
> > > >
> > > > 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > Ursprung geht ?
> > >
> > > Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen
> > > Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe
> > > ich doch oben so gemacht?
> >
> > Dann schreiben wir das mal auf: mit einem a [mm]\in \IR^3[/mm] ist
> >
> > [mm]G=\{t*a: t \in \IR\}[/mm]
> > > >
> > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm]
> > > G
> > >
> > > Habe ich doch oben so gemacht?
> >
> > Hast Du nicht !
> >
> > Seien x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR.[/mm]
> >
> > Dann ex. [mm]t_1,t_2 \in \IR[/mm] mit: [mm]x=t_1*a[/mm] und [mm]y=t_2*a.[/mm]
> >
> > Jetzt sieht man:
> >
> > [mm]x+y=(t_1+t_2)*a \in G[/mm] und [mm]sx=st_1*a \in G[/mm]
> >
> >
> > > > und sx [mm]\in[/mm] G.
> > > >
> > > > 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > Ursprung geht ?
> > >
> > > Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei
> > > linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor
> > > als Stützvektor.
> > > >
> > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
> > >
> > > Habe ich das nicht oben gemacht?
> >
> > nein
>
> Ok eine Ebene sieht so aus: Es existieren zwei linear
> unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm] mit a
> und b aus [mm]\IR,[/mm] sodas [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
>
> Sei [mm]E_{2}: a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm] U
>
> Dann ist [mm]E_{1}+E{2}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}+a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm]
> U
>
> Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> Dann ist [mm]\lamda*E_{1} \in[/mm] U.
Das ist doch völliger Unsinn !
Eine Ebene E, die den Ursprung enthält, sieht so aus:
[mm] $E=\{ta+sb: t,s \in \IR\},$
[/mm]
wobei a,b [mm] \in \IR^3 [/mm] linear unabhängig sind.
Nun zeige, dass E ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist, zeige also:
aus x,y [mm] \in [/mm] E und r [mm] \in \IR [/mm] folgt: x+y, rx [mm] \in [/mm] E.
FRED
>
> Dann ist
> > FRED
> > > > und sx [mm]\in[/mm] E.
> > > >
> > > > FRED
> > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
>
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> > > > > > > Hallo,
> > > > > > >
> > > > > > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > > > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > > > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > > > > > Achsen x,y und z sein?
> > > > > > >
> > > > > > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > > > > > gibt hier auch
> > > > > > > Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen.
> Haben
> > > wir
> > > > > damit
> > > > > > alle
> > > > > > > erfasst?
> > > > > > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte ich
> > doch
> > > > > > tatsächlich
> > > > > > > den Nullraum
> > > > > > > vergessen. Danke Fred! Aber mit dem
> > Nullraum
> > > > haben
> > > > > wir
> > > > > > > dann alles!)
> > > > > > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > > > > > >
> > > > > > > Gruß,
> > > > > > > Marcel
> > > > > >
> > > > > > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > > > > > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> > > > > >
> > > > > > Bedingungen für den Unterraum U:
> > > > > >
> > > > > > 1. U enthält den Nullvektor.
> > > > > > 2. Seien die zwei Vektoren x,y [mm]\varepsilon[/mm]
> U,
> > > dann
> > > > ist
> > > > > x+y
> > > > > > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm]
> > K,
> > > > dann
> > > > > ist
> > > > > > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > >
> > > > > Ja
> > > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Ursprungsgeraden:
> > > > > >
> > > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > > > > > [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > > > > > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Ursprungsebene:
> > > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm] +
> > > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm] =
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> > > > > >
> > > > > > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
> > > > >
> > > > > Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> > > > > Schulzeit:
> > > > >
> > > > > 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > Ursprung geht ?
> > > >
> > > > Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen
> > > > Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe
> > > > ich doch oben so gemacht?
> > >
> > > Dann schreiben wir das mal auf: mit einem a [mm]\in \IR^3[/mm] ist
> > >
> > > [mm]G=\{t*a: t \in \IR\}[/mm]
> > > > >
> > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm]
> > > > G
> > > >
> > > > Habe ich doch oben so gemacht?
> > >
> > > Hast Du nicht !
> > >
> > > Seien x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR.[/mm]
> > >
> > > Dann ex. [mm]t_1,t_2 \in \IR[/mm] mit: [mm]x=t_1*a[/mm] und [mm]y=t_2*a.[/mm]
> > >
> > > Jetzt sieht man:
> > >
> > > [mm]x+y=(t_1+t_2)*a \in G[/mm] und [mm]sx=st_1*a \in G[/mm]
> > >
> > >
> > > > > und sx [mm]\in[/mm] G.
> > > > >
> > > > > 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > Ursprung geht ?
> > > >
> > > > Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei
> > > > linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor
> > > > als Stützvektor.
> > > > >
> > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
> > > >
> > > > Habe ich das nicht oben gemacht?
> > >
> > > nein
> >
> > Ok eine Ebene sieht so aus: Es existieren zwei linear
> > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm] mit a
> > und b aus [mm]\IR,[/mm] sodas [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
> >
> > Sei [mm]E_{2}: a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm] U
> >
> > Dann ist [mm]E_{1}+E{2}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}+a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm]
> > U
> >
> > Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> >
> > Dann ist [mm]\lamda*E_{1} \in[/mm] U.
>
>
>
>
>
>
> Das ist doch völliger Unsinn !
>
> Eine Ebene E, die den Ursprung enthält, sieht so aus:
>
> [mm]E=\{ta+sb: t,s \in \IR\},[/mm]
>
> wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind.
>
> Nun zeige, dass E ein Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] ist, zeige
> also:
>
> aus x,y [mm]\in[/mm] E und r [mm]\in \IR[/mm] folgt: x+y, rx [mm]\in[/mm] E.
Haben wir nicht das gleiche geschrieben:
Ich: [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
Du: [mm] E=\{ta+sb: t,s \in \IR\}
[/mm]
wobei mein [mm] a_{1} [/mm] = dein t
mein [mm] b_{1} [/mm] = dein s
mein [mm] x_{1} [/mm] = dein a
mein [mm] y_{1} [/mm] = dein b
Du: "wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind."
Ich: "Es existieren zwei linear
> > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm]"
> FRED
> >
> > Dann ist
> > > FRED
> > > > > und sx [mm]\in[/mm] E.
> > > > >
> > > > > FRED
> > > > > >
> > > > > >
> > > > >
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> > >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > > Hallo,
> > > > > > > >
> > > > > > > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > > > > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
> >
> >
> > > >
> > > > >
> > > > >
> > > > > > > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > > > > > > Achsen x,y und z sein?
> > > > > > > >
> > > > > > > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > > > > > > gibt hier auch
> > > > > > > > Ursprungsgeraden und Ursprungsebenen.
> > Haben
> > > > wir
> > > > > > damit
> > > > > > > alle
> > > > > > > > erfasst?
> > > > > > > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da hatte
> ich
> > > doch
> > > > > > > tatsächlich
> > > > > > > > den Nullraum
> > > > > > > > vergessen. Danke Fred! Aber mit dem
> > > Nullraum
> > > > > haben
> > > > > > wir
> > > > > > > > dann alles!)
> > > > > > > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > > > > > > >
> > > > > > > > Gruß,
> > > > > > > > Marcel
> > > > > > >
> > > > > > > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > > > > > > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> > > > > > >
> > > > > > > Bedingungen für den Unterraum U:
> > > > > > >
> > > > > > > 1. U enthält den Nullvektor.
> > > > > > > 2. Seien die zwei Vektoren x,y
> [mm]\varepsilon[/mm]
> > U,
> > > > dann
> > > > > ist
> > > > > > x+y
> > > > > > > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > > > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm]
> > > K,
> > > > > dann
> > > > > > ist
> > > > > > > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > >
> > > > > > Ja
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > Ursprungsgeraden:
> > > > > > >
> > > > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > > > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > > > > > > [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > > > > > > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Ursprungsebene:
> > > > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm]
> +
> > > > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm]
> =
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> > > > > > Schulzeit:
> > > > > >
> > > > > > 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > > Ursprung geht ?
> > > > >
> > > > > Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen
> > > > > Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe
> > > > > ich doch oben so gemacht?
> > > >
> > > > Dann schreiben wir das mal auf: mit einem a [mm]\in \IR^3[/mm] ist
> > > >
> > > > [mm]G=\{t*a: t \in \IR\}[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm]
> > > > > G
> > > > >
> > > > > Habe ich doch oben so gemacht?
> > > >
> > > > Hast Du nicht !
> > > >
> > > > Seien x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR.[/mm]
> > > >
> > > > Dann ex. [mm]t_1,t_2 \in \IR[/mm] mit: [mm]x=t_1*a[/mm] und [mm]y=t_2*a.[/mm]
> > > >
> > > > Jetzt sieht man:
> > > >
> > > > [mm]x+y=(t_1+t_2)*a \in G[/mm] und [mm]sx=st_1*a \in G[/mm]
> > > >
> > > >
> > > > > > und sx [mm]\in[/mm] G.
> > > > > >
> > > > > > 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > > Ursprung geht ?
> > > > >
> > > > > Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei
> > > > > linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor
> > > > > als Stützvektor.
> > > > > >
> > > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
> > > > >
> > > > > Habe ich das nicht oben gemacht?
> > > >
> > > > nein
> > >
> > > Ok eine Ebene sieht so aus: Es existieren zwei linear
> > > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm] mit a
> > > und b aus [mm]\IR,[/mm] sodas [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
> >
> >
> > > Sei [mm]E_{2}: a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm] U
> > >
> > > Dann ist [mm]E_{1}+E{2}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}+a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm]
> > > U
> > >
> > > Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> > >
> > > Dann ist [mm]\lamda*E_{1} \in[/mm] U.
> >
> >
> >
> >
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> >
> > Das ist doch völliger Unsinn !
> >
> > Eine Ebene E, die den Ursprung enthält, sieht so aus:
> >
> > [mm]E=\{ta+sb: t,s \in \IR\},[/mm]
> >
> > wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind.
> >
> > Nun zeige, dass E ein Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] ist, zeige
> > also:
> >
> > aus x,y [mm]\in[/mm] E und r [mm]\in \IR[/mm] folgt: x+y, rx [mm]\in[/mm] E.
>
> Haben wir nicht das gleiche geschrieben:
Nein, Du hast Unsinn geschrieben,
ich nicht.
>
> Ich: [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
Was soll das sein ? Eine Menge ist es jedenfalls nicht !
>
> Du: [mm]E=\{ta+sb: t,s \in \IR\}[/mm]
Na bitte, das ist doch eine prima Menge.
>
> wobei mein [mm]a_{1}[/mm] = dein t
> mein [mm]b_{1}[/mm] = dein s
> mein [mm]x_{1}[/mm] = dein a
> mein [mm]y_{1}[/mm] = dein b
>
> Du: "wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind."
> Ich: "Es existieren zwei linear
> > > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm]"
Du:
$ [mm] E_{1}: a_{1}\cdot{}x_{1}+b_{1}\cdot{}y_{1} [/mm] $
Sei $ [mm] E_{2}: a_{2}\cdot{}x_{2}+b_{2}\cdot{}x_{2} \in [/mm] $ U
Ich: Was treibt nun das Gebilde [mm] E_2 [/mm] plötzlich ? Was ist U ?
DU: Dann ist $ [mm] E_{1}+E{2}: a_{1}\cdot{}x_{1}+b_{1}\cdot{}y_{1}+a_{2}\cdot{}x_{2}+b_{2}\cdot{}x_{2} \in [/mm] $ U
Ich: das ist kompletter Blödsinn.
FRED
>
> > FRED
> > >
> > > Dann ist
> > > > FRED
> > > > > > und sx [mm]\in[/mm] E.
> > > > > >
> > > > > > FRED
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
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> > > > > > > > > Hallo,
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > > > > > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > >
> > > > > > > > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > > > > > > > Achsen x,y und z sein?
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > > > > > > > gibt hier auch
> > > > > > > > > Ursprungsgeraden und
> Ursprungsebenen.
> > > Haben
> > > > > wir
> > > > > > > damit
> > > > > > > > alle
> > > > > > > > > erfasst?
> > > > > > > > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da
> hatte
> > ich
> > > > doch
> > > > > > > > tatsächlich
> > > > > > > > > den Nullraum
> > > > > > > > > vergessen. Danke Fred! Aber mit
> dem
> > > > Nullraum
> > > > > > haben
> > > > > > > wir
> > > > > > > > > dann alles!)
> > > > > > > > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Gruß,
> > > > > > > > > Marcel
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > > > > > > > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> > > > > > > >
> > > > > > > > Bedingungen für den Unterraum U:
> > > > > > > >
> > > > > > > > 1. U enthält den Nullvektor.
> > > > > > > > 2. Seien die zwei Vektoren x,y
> > [mm]\varepsilon[/mm]
> > > U,
> > > > > dann
> > > > > > ist
> > > > > > > x+y
> > > > > > > > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > > > > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm]
> > > > K,
> > > > > > dann
> > > > > > > ist
> > > > > > > > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > > >
> > > > > > > Ja
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ursprungsgeraden:
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > > > > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > > > > > > >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > > > > > > > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ursprungsebene:
> > > > > > > >
> [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm]
> > +
> > > > > > > >
> [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm]
> > =
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> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> > > > > > > Schulzeit:
> > > > > > >
> > > > > > > 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > > > Ursprung geht ?
> > > > > >
> > > > > > Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen
> > > > > > Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe
> > > > > > ich doch oben so gemacht?
> > > > >
> > > > > Dann schreiben wir das mal auf: mit einem a [mm]\in \IR^3[/mm] ist
> > > > >
> > > > > [mm]G=\{t*a: t \in \IR\}[/mm]
> > > > > > >
> > > > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm]
> > > > > > G
> > > > > >
> > > > > > Habe ich doch oben so gemacht?
> > > > >
> > > > > Hast Du nicht !
> > > > >
> > > > > Seien x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR.[/mm]
> > > > >
> > > > > Dann ex. [mm]t_1,t_2 \in \IR[/mm] mit: [mm]x=t_1*a[/mm] und [mm]y=t_2*a.[/mm]
> > > > >
> > > > > Jetzt sieht man:
> > > > >
> > > > > [mm]x+y=(t_1+t_2)*a \in G[/mm] und [mm]sx=st_1*a \in G[/mm]
> > > >
> >
> > > > >
> > > > > > > und sx [mm]\in[/mm] G.
> > > > > > >
> > > > > > > 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > > > Ursprung geht ?
> > > > > >
> > > > > > Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei
> > > > > > linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor
> > > > > > als Stützvektor.
> > > > > > >
> > > > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
> > > > > >
> > > > > > Habe ich das nicht oben gemacht?
> > > > >
> > > > > nein
> > > >
> > > > Ok eine Ebene sieht so aus: Es existieren zwei linear
> > > > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm] mit a
> > > > und b aus [mm]\IR,[/mm] sodas [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
>
> > >
> > >
> > > > Sei [mm]E_{2}: a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm] U
> > > >
> > > > Dann ist [mm]E_{1}+E{2}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}+a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm]
> > > > U
> > > >
> > > > Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> > > >
> > > > Dann ist [mm]\lamda*E_{1} \in[/mm] U.
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > >
> > > Das ist doch völliger Unsinn !
> > >
> > > Eine Ebene E, die den Ursprung enthält, sieht so aus:
> > >
> > > [mm]E=\{ta+sb: t,s \in \IR\},[/mm]
> > >
> > > wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind.
> > >
> > > Nun zeige, dass E ein Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] ist, zeige
> > > also:
> > >
> > > aus x,y [mm]\in[/mm] E und r [mm]\in \IR[/mm] folgt: x+y, rx [mm]\in[/mm] E.
> >
> > Haben wir nicht das gleiche geschrieben:
>
> Nein, Du hast Unsinn geschrieben,
> ich nicht.
> >
> > Ich: [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
>
> Was soll das sein ? Eine Menge ist es jedenfalls nicht !
> >
> > Du: [mm]E=\{ta+sb: t,s \in \IR\}[/mm]
>
> Na bitte, das ist doch eine prima Menge.
>
>
> >
> > wobei mein [mm]a_{1}[/mm] = dein t
> > mein [mm]b_{1}[/mm] = dein s
> > mein [mm]x_{1}[/mm] = dein a
> > mein [mm]y_{1}[/mm] = dein b
> >
> > Du: "wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind."
> > Ich: "Es existieren zwei linear
> > > > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm]"
>
>
>
> Du:
>
> [mm]E_{1}: a_{1}\cdot{}x_{1}+b_{1}\cdot{}y_{1}[/mm]
>
> Sei [mm]E_{2}: a_{2}\cdot{}x_{2}+b_{2}\cdot{}x_{2} \in[/mm] U
>
> Ich: Was treibt nun das Gebilde [mm]E_2[/mm] plötzlich ? Was ist U
> ?
>
> DU: Dann ist [mm]E_{1}+E{2}: a_{1}\cdot{}x_{1}+b_{1}\cdot{}y_{1}+a_{2}\cdot{}x_{2}+b_{2}\cdot{}x_{2} \in[/mm]
> U
>
> Ich: das ist kompletter Blödsinn.
Ok, mein Gedankengang: Ich soll eine geometrische Beschreibung aller Unterräume des [mm] \IR^{3} [/mm] machen. Das wären der [mm] \IR^{3} [/mm] selber und die Ursprungsgeraden und die Ursprungsebenen. Nun muss ich beweisen, dass die Ursprungsgeraden und die Ursprungsebenen im Untervektorraum des [mm] \IR^{3} [/mm] sind.
Es existieren 3 Bedingung für einen UVR (U):
1. [mm] 0_{v} \in [/mm] U
2. Wenn x,y [mm] \in [/mm] U, dann auch x+y [mm] \in [/mm] U
3. Wenn x [mm] \in [/mm] U und [mm] \lambda \in \IR, [/mm] dann [mm] x*\lambda \in [/mm] U
Sei U [mm] \subseteq \IR^{3} [/mm] mit dem Körper [mm] \IR
[/mm]
Die Ursprungsgerade ist g: { x*y | x [mm] \in [/mm] U und y [mm] \in \IR [/mm] }
Die Ursprungsebene ist E: { [mm] x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2} [/mm] | [mm] x_{1}, x_{2} \in [/mm] U und [mm] y_{1}, y_{2} \in \IR [/mm] }
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > > > > Hallo,
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > > a) Geben Sie eine geometrische Beschreibung aller
> > > > > > > > > > > Unterräume des [mm]\IR-Vektorraums \IR^{3}.[/mm]
>
> >
> > > >
> > > >
> > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > > > > > > > a) Müsste das nicht das gesamt Koordinatensystem mit den
> > > > > > > > > > > Achsen x,y und z sein?
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > nö - klar ist der [mm]\IR^3[/mm] Unterraum von sich selber, aber es
> > > > > > > > > > gibt hier auch
> > > > > > > > > > Ursprungsgeraden und
> > Ursprungsebenen.
> > > > Haben
> > > > > > wir
> > > > > > > > damit
> > > > > > > > > alle
> > > > > > > > > > erfasst?
> > > > > > > > > > Antwort: Ja!(Edit: Nein - da
> > hatte
> > > ich
> > > > > doch
> > > > > > > > > tatsächlich
> > > > > > > > > > den Nullraum
> > > > > > > > > > vergessen. Danke Fred! Aber mit
> > dem
> > > > > Nullraum
> > > > > > > haben
> > > > > > > > wir
> > > > > > > > > > dann alles!)
> > > > > > > > > > Beweis? Das ist nun Deine Aufgabe!
> > > > > > > > > >
> > > > > > > > > > Gruß,
> > > > > > > > > > Marcel
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Ich soll jetzt beweisen, dass die Ursprungsgeraden und
> > > > > > > > > -ebenen und der Nullvektor ein Unterraum von [mm]R^{3}[/mm] sind?
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Bedingungen für den Unterraum U:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > 1. U enthält den Nullvektor.
> > > > > > > > > 2. Seien die zwei Vektoren x,y
> > > [mm]\varepsilon[/mm]
> > > > U,
> > > > > > dann
> > > > > > > ist
> > > > > > > > x+y
> > > > > > > > > [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > > > > > 3. Sei x [mm]\varepsilon[/mm] U und [mm]\lambda \varepsilon[/mm]
> > > > > K,
> > > > > > > dann
> > > > > > > > ist
> > > > > > > > > [mm]\lambda[/mm] * x [mm]\varepsilon[/mm] U
> > > > > > > >
> > > > > > > > Ja
> > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Ursprungsgeraden:
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+[/mm]
> > > > > > > > > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})[/mm] =
> > > > > > > > >
> > [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})[/mm]
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [mm]\lambda*(x_{1},y_{1},z_{1})[/mm] =
> > > > > > > > > [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})[/mm]
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > Ursprungsebene:
> > > > > > > > >
> > [mm](x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1})[/mm]
> > > +
> > > > > > > > >
> > [mm](x_{2},y_{2},z_{2})+(a_{2},b_{2},c_{2})[/mm]
> > > =
> > > > > > > > >
> > > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2},z_{1}+z_{2})+(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2},c_{1}+c_{2})[/mm]
> > > > > > > > >
> > > > > > > > > [mm]\lambda*((x_{1},y_{1},z_{1})+(a_{1},b_{1},c_{1}))[/mm] =
> > > > > > > > >
> > > > > > > >
> > > > > > >
> > > > > >
> > > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](\lambda*x_{1},\lambda*y_{1},\lambda*z_{1})+(\lambda*a_{1},\lambda*b_{1},\lambda*c_{1})[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > Was soll das ? Das ist doch Kappes ! Erinnere Dich an Deine
> > > > > > > > Schulzeit:
> > > > > > > >
> > > > > > > > 1. Wie sieht eine Gerade G im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > > > > Ursprung geht ?
> > > > > > >
> > > > > > > Eine Gerade, die durch den Ursprung geht, hat einen
> > > > > > > Richtungsvektor und als Stützvektor den Nullvektoren. Habe
> > > > > > > ich doch oben so gemacht?
> > > > > >
> > > > > > Dann schreiben wir das mal auf: mit einem a [mm]\in \IR^3[/mm] ist
> > > > > >
> > > > > > [mm]G=\{t*a: t \in \IR\}[/mm]
> > > > > > > >
> > > > > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm]
> > > > > > > G
> > > > > > >
> > > > > > > Habe ich doch oben so gemacht?
> > > > > >
> > > > > > Hast Du nicht !
> > > > > >
> > > > > > Seien x,y [mm]\in[/mm] G und s [mm]\in \IR.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Dann ex. [mm]t_1,t_2 \in \IR[/mm] mit: [mm]x=t_1*a[/mm] und [mm]y=t_2*a.[/mm]
> > > > > >
> > > > > > Jetzt sieht man:
> > > > > >
> > > > > > [mm]x+y=(t_1+t_2)*a \in G[/mm] und [mm]sx=st_1*a \in G[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > > > >
> > > > > > > > und sx [mm]\in[/mm] G.
> > > > > > > >
> > > > > > > > 2. Wie sieht eineEbene E im [mm]\IR^3[/mm] aus, die durch den
> > > > > > > > Ursprung geht ?
> > > > > > >
> > > > > > > Eine Ebene, die durch den Ursprung geht, besitzt zwei
> > > > > > > linear unabhänige Richtungsvektoren und einen Nullvektor
> > > > > > > als Stützvektor.
> > > > > > > >
> > > > > > > > Zeige dann: sind x,y [mm]\in[/mm] E und s [mm]\in \IR,[/mm] so auch x+y [mm]\in[/mm] E
> > > > > > >
> > > > > > > Habe ich das nicht oben gemacht?
> > > > > >
> > > > > > nein
> > > > >
> > > > > Ok eine Ebene sieht so aus: Es existieren zwei linear
> > > > > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm] mit a
> > > > > und b aus [mm]\IR,[/mm] sodas [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
>
> >
> > > >
> > > >
> > > > > Sei [mm]E_{2}: a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm] U
> > > > >
> > > > > Dann ist [mm]E_{1}+E{2}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}+a_{2}*x_{2}+b_{2}*x_{2} \in[/mm]
> > > > > U
> > > > >
> > > > > Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> > > > >
> > > > > Dann ist [mm]\lamda*E_{1} \in[/mm] U.
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > >
> > > > Das ist doch völliger Unsinn !
> > > >
> > > > Eine Ebene E, die den Ursprung enthält, sieht so aus:
> > > >
> > > > [mm]E=\{ta+sb: t,s \in \IR\},[/mm]
> > > >
> > > > wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind.
> > > >
> > > > Nun zeige, dass E ein Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] ist, zeige
> > > > also:
> > > >
> > > > aus x,y [mm]\in[/mm] E und r [mm]\in \IR[/mm] folgt: x+y, rx [mm]\in[/mm] E.
> > >
> > > Haben wir nicht das gleiche geschrieben:
> >
> > Nein, Du hast Unsinn geschrieben,
> > ich nicht.
> > >
> > > Ich: [mm]E_{1}: a_{1}*x_{1}+b_{1}*y_{1}[/mm]
> >
> > Was soll das sein ? Eine Menge ist es jedenfalls nicht !
> > >
> > > Du: [mm]E=\{ta+sb: t,s \in \IR\}[/mm]
> >
> > Na bitte, das ist doch eine prima Menge.
> >
> >
> > >
> > > wobei mein [mm]a_{1}[/mm] = dein t
> > > mein [mm]b_{1}[/mm] = dein s
> > > mein [mm]x_{1}[/mm] = dein a
> > > mein [mm]y_{1}[/mm] = dein b
> > >
> > > Du: "wobei a,b [mm]\in \IR^3[/mm] linear unabhängig sind."
> > > Ich: "Es existieren zwei linear
> > > > > unabhängige Vektoren x und y in U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm]"
>
> >
> >
> >
> > Du:
> >
> > [mm]E_{1}: a_{1}\cdot{}x_{1}+b_{1}\cdot{}y_{1}[/mm]
> >
> > Sei [mm]E_{2}: a_{2}\cdot{}x_{2}+b_{2}\cdot{}x_{2} \in[/mm] U
> >
> > Ich: Was treibt nun das Gebilde [mm]E_2[/mm] plötzlich ? Was ist U
> > ?
> >
> > DU: Dann ist [mm]E_{1}+E{2}: a_{1}\cdot{}x_{1}+b_{1}\cdot{}y_{1}+a_{2}\cdot{}x_{2}+b_{2}\cdot{}x_{2} \in[/mm]
> > U
> >
> > Ich: das ist kompletter Blödsinn.
>
> Ok, mein Gedankengang: Ich soll eine geometrische
> Beschreibung aller Unterräume des [mm]\IR^{3}[/mm] machen. Das
> wären der [mm]\IR^{3}[/mm] selber und die Ursprungsgeraden und die
> Ursprungsebenen.
.... und [mm] \{(0,0,0)^T\}
[/mm]
Nun muss ich beweisen, dass die
> Ursprungsgeraden und die Ursprungsebenen im Untervektorraum
> des [mm]\IR^{3}[/mm] sind.
Was soll den das bedeuten:
"... im Untervektorraum des [mm]\IR^{3}[/mm] sind."
?????
Du sollst zeigen, dass die Ursprungsgeraden und die Ursprungsebenen Untervektorräume sind (!)
>
> Es existieren 3 Bedingung für einen UVR (U):
> 1. [mm]0_{v} \in[/mm] U
> 2. Wenn x,y [mm]\in[/mm] U, dann auch x+y [mm]\in[/mm] U
> 3. Wenn x [mm]\in[/mm] U und [mm]\lambda \in \IR,[/mm] dann [mm]x*\lambda \in[/mm] U
>
> Sei U [mm]\subseteq \IR^{3}[/mm] mit dem Körper [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Was ist denn nun U ?????
>
> Die Ursprungsgerade ist g: { x*y | x [mm]\in[/mm] U und y [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Nein: g= { x*y | x [mm]\in[/mm] [mm] \IR^3 [/mm] und y [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Die Ursprungsebene ist E: { [mm]x_{1}*y_{1}+x_{2}*y_{2}[/mm] |
> [mm]x_{1}, x_{2} \in[/mm] U und [mm]y_{1}, y_{2} \in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Wieder: nein !
FRED
>
>
>
>
>
>
>
>
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Bei mir zeigt der das, was du geschrieben hast, nicht an.
Aber das erste konnte ich lesen:
Also sind die Ursprungsgeraden und -Ebenen die Untervektorräume selber.
1. [mm] 0_{v} \in [/mm] g: {a*u|a [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in \IR^{3} [/mm] }, da für a=0 g=0
2. Seien x,y [mm] \in [/mm] g: {a*u |a [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in \IR^{3} [/mm] }
Dann ist x+y [mm] \in [/mm] g: {a*u|a [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in \IR^{3} [/mm] }
Also [mm] a_{1}*u_{1}+a_{2}+u_{2} \in [/mm] g: {a*u| a [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in \IR^{3} [/mm] }
3. Sei x [mm] \in [/mm] g: {a*u| a [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in \IR^{3} [/mm] }
und [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
Dann [mm] \lambda [/mm] +x [mm] \in [/mm] g: {a*u|a [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in \IR^{3} [/mm] }
D.h. [mm] \lambda [/mm] *x = [mm] \lambda*a*u \in [/mm] g: {a*u| a [mm] \in \IR [/mm] und u [mm] \in\IR^{3} [/mm] }
Aber wie beweise ich das?
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Meine Güte,
kannst du mal bitte etwas umsichtiger zitieren?
Das ist total unübersichtlich, lösche das, was du nicht für das Zitat brauchst, einfach weg.
Du zitierst hier von 10 Antworten, da hat keiner Lust, sich da durchzuwühlen ...
Danke
schachuzipus
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> Also sind die Ursprungsgeraden und -Ebenen die
> Untervektorräume selber.
Hallo,
geht es hier um die Unterräume des [mm] \IR^3?
[/mm]
Wir können hier nur haben
0.
Den Unterraum der Dimension 0, also [mm] U:=\{\vektor{0\\0\\0}\}
[/mm]
1.
Unterräume der Dimension 1
Das sind die Geraden G durch den Ursprung (Basis ist ein vom Nullvektor verschiedener Vektor [mm] u\in \IR^3).
[/mm]
Die Gerade durch den Ursprung in Richtung u
kann man schreiben als [mm] G:=\{a*u|a\in \IR\}.
[/mm]
2.
Unterräume der Dimension 2
Das sind Ebenen, die durch den Ursprung gehen.
Ihre Basis besteht aus zwei linear unabhängigen Vektoren [mm] u,v\in \IR^3.
[/mm]
Man kann diese Ebenen schreiben als [mm] E:=\{a*u+b*v|a,b\in\IR\}.
[/mm]
3.
Unterräume der Dimension 3
gibt es nur einen, den [mm] \IR^3 [/mm] höchstpersönlich.
0. und 3. sind nicht sehr spannend, daß diese Räume Unterräume sind, ist klar.
Du willst nun beweisen, daß die Ursprungsgeraden in der Tat Unterräume des [mm] \IR^3 [/mm] sind?
> 1. [mm]0_{v} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g: {a*u|a [mm]\in \IR[/mm] und u [mm]\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}, da für
> a=0 g=0
Ömmm - irgendwie ist der Satz und damit die Argumentation nicht zu Ende gebracht.
Wolltest Du vielleicht sagen, daß der Nullvektor 0_{\IR^3} des \IR^3 in G liegt, da 0*u in G ist und 0*u=0_{\IR^3} für alle u\in \IR^3?
Dann sag' das auch! Auf Ungesagtes bekommst Du keine Punkte.
>
> 2. Seien x,y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g: {a*u |a [mm]\in \IR[/mm] und u [mm]\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Dann ist x+y [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g: {a*u|a [mm]\in \IR[/mm] und u [mm]\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
>
> Also [mm]a_{1}*u_{1}+a_{2}+u_{2} \in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g: {a*u| a [mm]\in \IR[/mm] und u
> [mm]\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Quatsch. Seien x,y\in G.
Dann gibt es a_1, a_2\in \IR mit x=a_1*u und y=a_2*u.
Nun rechne unter Anwendung der geltenden Gesetze vor, was x+y ergibt und mach plausibel, daß die Summe in G ist.
>
> 3. Sei x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g: {a*u| a [mm]\in \IR[/mm] und u [mm]\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> und [mm]\lambda \in \IR[/mm]
>
> Dann [mm]%5Clambda[/mm] +x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
g: {a*u|a [mm]\in \IR[/mm] und u [mm]\in \IR^{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
Quatsch.
Sei \lambda\in \IR und x\in G, dh. x=au für ein a\in \IR.
Nun ist vorzurechnen, daß \lambda(a*u)\in G.
> Aber wie beweise ich das?
Indem Du die VR-Axiome anwendest und vorrechnest, daß auch \lambda(a*u) ein Vielfaches von u ist.
Für die Ursprungsebenen geht es dann entsprechend.
LG Angela
>
>
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> Sei [mm] \lambda\in \IR [/mm] und [mm] x\in [/mm] G, dh. x=au für ein [mm] a\in [/mm]
> [mm] \IR.
[/mm]
>
> Nun ist vorzurechnen, daß [mm] \lambda(a*u)\in [/mm] G.
> > Aber wie beweise ich das?
>
> Indem Du die VR-Axiome anwendest und vorrechnest, daß auch
> [mm] \lambda(a*u) [/mm] ein Vielfaches von u ist.
Ok.
1) [mm] \lambda*(a*u)=\lambda*(au_{1},au_{2},au_{3}) =(\lambda*au_{1},\lambda*au_{2},\lambda*au_{3}) [/mm] = [mm] a*(\lambda*u_{1},\lambda*u_{2},\lambda*u_{3})=a+(\lambda*u) \Rightarrow \lambda*au \in [/mm] G
>
>
> Für die Ursprungsebenen geht es dann entsprechend.
Die Ursprungsebenen haben die Form: E: {au+bv|a,b [mm] \in \IR [/mm] u,v [mm] \in [/mm] E und [mm] \forall [/mm] a,b,u,v [mm] \not=0 :au+bv\not=0}
[/mm]
1) Der Nullvektor ist in E, da für a=b=0 au+bv=0 ist.
2) Seien x,y [mm] \in [/mm] E. Dann ist x+y [mm] \in [/mm] E
(x+y)= [mm] a_1*u+b_1*v+a_2*u+b_2*v [/mm] = [mm] a_1*a_2(u)+b_1*b_2(v) [/mm] ist [mm] \in [/mm] E, wegen Bedingung 3)
3) Sei [mm] \lambda \in \IR [/mm] und x [mm] \in [/mm] E. Dann ist [mm] \lambda*x \in [/mm] E
[mm] \lambda*x=\lambda*(au+bv) [/mm] = [mm] (\lambda*au+\lambda*bv) [/mm] = [mm] (\lambda*au+\lambda*bv) [/mm] = [mm] (\lambda*bv\+\lambda*au) [/mm] = [mm] \lambda*(bv+au) [/mm] = [mm] \lambda*x
[/mm]
Ich habe das Gefühl, dass ich bei 3) einfach im Kreis gegangen bin und bei 2) wusste ich keine andere Begründung.
>
> LG Angela
> >
> >
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> > Sei [mm]\lambda\in \IR[/mm] und [mm]x\in[/mm] G, dh. x=au für ein [mm]a\in[/mm]
> > [mm]\IR.[/mm]
> >
> > Nun ist vorzurechnen, daß [mm]\lambda(a*u)\in[/mm] G.
> > > Aber wie beweise ich das?
> >
> > Indem Du die VR-Axiome anwendest und vorrechnest, daß auch
> > [mm]\lambda(a*u)[/mm] ein Vielfaches von u ist.
> Ok.
> 1) [mm]\lambda*(a*u)=\lambda*(au_{1},au_{2},au_{3}) =(\lambda*au_{1},\lambda*au_{2},\lambda*au_{3})[/mm]
> =
> [mm]a*(\lambda*u_{1},\lambda*u_{2},\lambda*u_{3})=a+(\lambda*u) \Rightarrow \lambda*au \in[/mm]
> G
Hallo,
ich nehme an, daß das + ein * sein soll.
Was hast Du getan? Du hast gezeigt, daß [mm] \lambda*(a*u)=\lambda*(a*u). [/mm] Das ist nicht so aufregend...
Zu zeigen ist, daß [mm] \lambda*(a*u)=Zahl*u.
[/mm]
Paß auf: es ist doch der [mm] \IR^3 [/mm] ein Vektorraum über [mm] \IR, [/mm] also gilt für alle Vektoren [mm] v\in \IR^3 [/mm] und für alle Zahlen [mm] r,s\in \IR [/mm] nach den VR-Axiomen (nachschlagen!):
r*(s*v)=(rs)*v.
Also gilt das auch für den Vektor u und die Zahlen [mm] \lambda, [/mm] a, und wir bekommen
[mm] \lambda*(a*u)=(\lambda [/mm] a)*u.
Weil [mm] \lambda [/mm] und a reelle Zahlen sind, ist auch [mm] \lambda [/mm] a eine reelle Zahl, und damit ist
[mm] \lambda*(a*u)=(\lambda a)*u\in [/mm] G.
Ich gehe auch nochmal genauer darauf ein, was ich bei Dir gesehen habe.
Irgendwie magst Du nicht so gern mit [mm] u\in \IR^3 [/mm] arbeiten, sondern schreibst das lieber als [mm] u:=\vektor{u_1\\u_2\\u_3} [/mm] mit [mm] u_1,u_2,u_3\in\IR.
[/mm]
Wahrscheinlich, weil es Dich an die Schule erinnert.
Das kann man machen - es wird nur, wenn man es mal mit dem [mm] \IR^{123} [/mm] zu tun hat, ziemlich mühsam.
Du willst also zeigen, daß für [mm] a*\vektor{u_1\\u_2\\u_3}(\in [/mm] G) auch das [mm] \lambda-fache [/mm] in G ist.
Das geht dann so:
[mm] \lambda*(a*\vektor{u_1\\u_2\\u_3})= \lambda*\vektor{au_1\\au_2\\au_3} \qquad [/mm] Def. d. Mult. mit Skalaren
[mm] =\vektor{\lambda(au_1)\\\lambda(au_2)\\\lambda(au_3)}\qquad [/mm] Def. d. Mult. mit Skalaren
[mm] =\vektor{(\lambda a)u_1\\(\lambda a)u_2\\(\lambda a)u_3} \qquad [/mm] Assoziativgesetz in [mm] \IR
[/mm]
[mm] =(\lambda a)*\vektor{u_1\\u_2\\u_3}\qquad [/mm] Def. d. Mult. mit Skalaren
Wenn Du Dir angewöhnst, jeden Schritt zu begründen, kannst Du fast nichts mehr falsch machen.
> > Für die Ursprungsebenen geht es dann entsprechend.
> Die Ursprungsebenen haben die Form: E: [mm] \{au+bv|a,b \in \IR\}\quad [/mm] u,v [mm]\in[/mm] E und [mm]\forall[/mm] a,b,u,v [mm]\not=0 :au bv\not=0}[/mm]
>
> 1) Der Nullvektor ist in E, da für a=b=0 au+bv=0 ist.
jJa.
> 2) Seien x,y [mm]\in[/mm] E.
Dann gibt es [mm] a_1, a_2, b_1, b_2 [/mm] mit x=... und y=...
Zu zeigen:
> Dann ist x+y [mm]\in[/mm] E
> (x+y)= [mm]a_1*u b_1*v a_2*u b_2*v[/mm] = [mm]a_1*a_2(u)+b_1*b_2(v)[/mm] ist
> [mm]\in[/mm] E, wegen Bedingung 3)
Du machst Gewurschtel mit den Rechenzeichen. as darf nicht sein!
Wenn man es genau nimmt, müßte man auch Klammern setzen und Schritt für Schritt umformen:
(x+y)= (a_1u+b_1v)+(a_2u+b_2v)=... [mm] \qquad [/mm] Klammern dürfen weg wegen Gruppe bzgl +
=... [mm] \qquad [/mm] man darf Summanden vertauschen wegen Gruppe bzgl +
=... [mm] \quad [/mm] u und v ausklammern nach den VR-Axiomen
[mm] =(a_1+a_2)u+(b_1+b_2)v
[/mm]
> 3) Sei [mm]\lambda \in \IR[/mm] und x [mm]\in[/mm] E. Dann ist [mm]\lambda*x \in[/mm]
> E
> [mm]\lambda*x=\lambda*(au bv)[/mm] = [mm](\lambda*au+\lambda*bv)[/mm] =
> [mm](\lambda*au+\lambda*bv)[/mm] = [mm](\lambda*bv\+\lambda*au)[/mm] =
> [mm]\lambda*(bv+au)[/mm] = [mm]\lambda*x[/mm]
>
> Ich habe das Gefühl, dass ich bei 3) einfach im Kreis
> gegangen bin
Ja. Du willst ja zeigen, daß [mm] \lambda*x [/mm] auch in E ist, man [mm] \lambda [/mm] x also als Zahl*u+Zahl*v schreiben kann.
[mm] \lambda*x=\lambda*(a*u+b*v)
[/mm]
[mm] =\lambda*(au)+\lambda*(bv) \qquad[/mm] ![[]](/images/popup.gif) Vektorraumaxiome IIb
[mm] =(\lambda a)*u+(\lambda b)*v\qquad[/mm] Vektorraumaxiome I
LG Angela
> und bei 2) wusste ich keine andere
> Begründung.
> >
> > LG Angela
> > >
> > >
>
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Ok verstehe, aber ich kann mir die Untervektorräume geometrisch nicht vorstellen.
Der [mm] \IR^{3} [/mm] ist der gesamte Raum in einem Koordinatensystem, der Nullvektorraum ist geometrisch nicht vorhanden.
Sind dann die Ursprungsgeraden die x-y-z Achse und die Ursprungsebenen die xy, xz und yz- Ebenen?
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> Ok verstehe, aber ich kann mir die Untervektorräume
> geometrisch nicht vorstellen.
>
> Der [mm]\IR^{3}[/mm] ist der gesamte Raum in einem
> Koordinatensystem, der Nullvektorraum ist geometrisch nicht
> vorhanden.
Hallo,
Der Nullvektorraum ist die Menge, die nur den Koordinatenursprung enthält.
Der ist durchaus vorhanden.
>
> Sind dann die Ursprungsgeraden die x-y-z Achse
Ursprungsgeraden sind, wie das Wort schon sagt, Geraden, die durch den Ursprung gehen.
Natürlich sind die Achsen Ursprungsgeraden, aber es gibt noch viele andere, zB. die Gerade [mm] G:=\{t*\vektor{1\\2\\3}|t\in \IR\}.
[/mm]
In der Schule habt Ihr sicher dafür geschrieben
[mm] g:\quad \vec{x}=t*\vektor{1\\2\\3}
[/mm]
> und die
> Ursprungsebenen die xy, xz und yz- Ebenen?
Die genannten Ebenen sind Ursprungsebenen, aber es gibt doch noch viel mehr Ebenen, die durch den Ursprung gehen, nämlich alle Ebenen, die Du so schreiben kannst, daß der Stützvektor der Nullvektor ist.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:10 Mo 22.04.2013 | | Autor: | fred97 |
Zu a)
Sei U ein Unterraum von [mm] \IR^3.
[/mm]
Ich würde nach der Dimension schauen:
Fall 1: dim(U)=0. Was ist das für ein Ding ?
Fall 2: dim(U)=1. Was sind das für Dinger ?
Fall 3: dim(U)=2. Was sind das für Dinger ?
Fall 4: dim(U) =3. Was ist das für ein Ding ?
FRED
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> Zu a)
>
> Sei U ein Unterraum von [mm]\IR^3.[/mm]
>
> Ich würde nach der Dimension schauen:
>
> Fall 1: dim(U)=0. Was ist das für ein Ding ?
Ist ein Punkt
>
> Fall 2: dim(U)=1. Was sind das für Dinger ?
Ist Punkt oder eine Gerade
>
> Fall 3: dim(U)=2. Was sind das für Dinger ?
Ist ein Punkt eine Gerade oder eine Ebene
>
> Fall 4: dim(U) =3. Was ist das für ein Ding ?
Ist ein Punkt eine Gerade oder eine Ebene
>
> FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 04:07 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Zu a)
> >
> > Sei U ein Unterraum von [mm]\IR^3.[/mm]
> >
> > Ich würde nach der Dimension schauen:
> >
> > Fall 1: dim(U)=0. Was ist das für ein Ding ?
>
> Ist ein Punkt
langweilige Antwort, und die ist falsch: Es ist eine einpunktige Menge!
Zudem enthält diese den Ursprung bzw. "den Nullvektor". Erinnerst Du
Dich: Unterräume enthalten immer den Nullvektor. Das "Ding" oben nennt
man auch "Nullraum" (oder "Nullvektorraum"). Und für [mm] $U=\{\vektor{0\\0\\0}\}$ [/mm] schreiben manche
Autoren auch sowas wie [mm] $U=\vektor{0\\0\\0},$ [/mm] was strenggenommen falsch ist,
wenn [mm] $U\,$ [/mm] im Sinne eines Unterraums gemeint ist. Ändert aber nichts
dran, dass manche es dennoch machen (lies' Dir mal irgendwann in Bosch, Lineare Algebra,
entsprechende Teile durch)!
> > Fall 2: dim(U)=1. Was sind das für Dinger ?
>
> Ist Punkt oder eine Gerade
Die Antwort ist zwar richtig, aber nicht präzise. Ein Punkt kann ein solcher
Unterraum nicht sein. Es ist eine DURCH DEN URSPRUNG GEHENDE (anders
gesagt: DEN URSPRUNG ENTHALTENDE) Gerade des [mm] $\IR^3\,.$ [/mm] (Bei der Antwort
sage ich auch nur, dass sie richtig ist, weil in der Mathematik die Aussage
[mm] "$A\,$ [/mm] oder [mm] $B\,$" [/mm] wahr ist, wenn [mm] $A\,$ [/mm] wahr ist oder wenn [mm] $B\,$ [/mm] wahr ist.
In Deiner Antwort oben ist halt eine wahre und eine falsche Aussage
enthalten...)
> > Fall 3: dim(U)=2. Was sind das für Dinger ?
>
> Ist ein Punkt eine Gerade oder eine Ebene
Menschenskind: Welche Ebene hat denn bei Dir die Dimension [mm] $1\,$ [/mm] oder [mm] $0\,$? [/mm] Und nach
wie vor: Es sind Ebenen, die welchen - speziellen - Vektor enthalten?
> >
> > Fall 4: dim(U) =3. Was ist das für ein Ding ?
> Ist ein Punkt eine Gerade oder eine Ebene
Diese Antwort hattest Du schonmal. Und sie ist Quatsch: Das ist der
gesamte [mm] $\IR^3$!
[/mm]
Und jetzt beweise das mal! (Nebenher: Such' mal nach http://www.lehmanns.de/shop/nocategory/141400-9783891045664-grundlagen-der-linearen-algebra?PHPSESSID=e1da3fa98e579fd5b9f618063c497c4c]dem Buch hier!, allerdings auch zu dem Preis - das kostet eigentlich nur noch knapp 3 Euro, wird aber
momentan oft für 16 verkauft!)
Kann aber auch sein, dass es wegen dem billigen Preis gar nicht mehr
anders erhältlich ist. Es ist jedenfalls gut, weil es so ein bisschen hilft,
den Sprung von Schule zu Uni besser zu schaffen, wie ich finde. Allerdings
sollte der Preis meines Erachtens nach maximal 10 Euro für das Buch
betragen. Ich schau' demnächst auch nochmal, ob's das hier in der Bücherei
nicht doch noch für die 3 Euro gibt...
Gruß,
Marcel
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> b) Geben Sie eine explizite Liste aller Unterräume des
> [mm]\IZ_{2}-[/mm] Vektorraums [mm]\IZ_{2} (\IZ_{2})^{2}[/mm] an. Hinweis: es
> gibt fünf davon.
Hallo,
es wäre ganz gut, wenn wir erstmal eindeutig feststellen könnten, um welchen VR es geht. Auf [mm] \IZ_{2} (\IZ_{2})^{2} [/mm] kann ich mir nämlich keinen Reim machen.
Ist [mm] (\IZ_{2})^{2} [/mm] gemeint?
Das käme mir am wahrscheinlichsten vor.
> b) [mm]\IZ_{2}[/mm] heißt nur 0 und 1 kommen vor.
Ja, [mm] \IZ_2 [/mm] enthält nur die beiden Elemente 0 und 1.
Nun könntest Du ja mal alle Elemente des [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] aufschreiben.
[mm] (\IZ_2)^2=\{...\}.
[/mm]
Welche Dimension hat dieser Vektorraum?
Nenne eine Basis.
Nun zu den Unterräumen.
Welche Dimensionen kommen hier infrage?
Wenn Du dies alles herausgefunden hast, können wir weitersprechen.
>
> Also wären die Unterräume folgende Vektoren:
> (0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,1)(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0).
Mal ganz außen vorgelassen, daß Du hier aus irgendeinem Grund Elemente des [mm] (\IZ_2)^3 [/mm] listest:
Dir sollte selbst auffallen, daß hier etwas nicht stimmen kann.
Gefragt ist nach Unterräumen, und Du listest Vektoren auf und sagst: "Trallalla, da sind meine Unterräume."
Sind Unterräume Vektoren? Wenn ja: wofür gibt's dann den Begriff Unterraum?
Unterräume sind keine Vektoren. Unterräume sind Mengen, die Vektoren enthalten, und die bestimmte Eigenschaften haben.
Warnung: wenn Du Mathematik weiterbetreibst ohne die genaue Kenntnis der Definitionen, wirst Du Schiffbruch erleiden.
Nochwas: Du zählst oben die Elemente des [mm] (\IZ_2)^3 [/mm] auf. Gibt es einen Grund dafür, daß Du (1,0,1) wegläßt?
LG Angela
> Aber das
> sind 7.
>
>
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> > b) Geben Sie eine explizite Liste aller Unterräume des
> > [mm]\IZ_{2}-[/mm] Vektorraums [mm]\IZ_{2} (\IZ_{2})^{2}[/mm] an. Hinweis:
> es
> > gibt fünf davon.
>
> Hallo,
>
> es wäre ganz gut, wenn wir erstmal eindeutig feststellen
> könnten, um welchen VR es geht. Auf [mm]\IZ_{2} (\IZ_{2})^{2}[/mm]
> kann ich mir nämlich keinen Reim machen.
> Ist [mm](\IZ_{2})^{2}[/mm] gemeint?
> Das käme mir am wahrscheinlichsten vor.
>
> > b) [mm]\IZ_{2}[/mm] heißt nur 0 und 1 kommen vor.
>
> Ja, [mm]\IZ_2[/mm] enthält nur die beiden Elemente 0 und 1.
>
> Nun könntest Du ja mal alle Elemente des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> aufschreiben.
>
> [mm](\IZ_2)^2=\{...\}.[/mm]
>
> Welche Dimension hat dieser Vektorraum?
Der VR hast die Dimension 2, da es hoch 2 ist.
> Nenne eine Basis.
Eine Basis wäre: B = {u,v}= { [mm] \vektor{0\\ 1}, \vektor{1\\ 0} [/mm] }
>
> Nun zu den Unterräumen.
> Welche Dimensionen kommen hier infrage?
Die nullte, erste und zweite.
>
> Wenn Du dies alles herausgefunden hast, können wir
> weitersprechen.
>
>
>
>
> >
> > Also wären die Unterräume folgende Vektoren:
> > (0,0,1)(0,1,0)(1,0,0)(1,1,1)(0,0,0)(0,1,1)(1,1,0).
>
> Mal ganz außen vorgelassen, daß Du hier aus irgendeinem
> Grund Elemente des [mm](\IZ_2)^3[/mm] listest:
>
> Dir sollte selbst auffallen, daß hier etwas nicht stimmen
> kann.
> Gefragt ist nach Unterräumen, und Du listest Vektoren auf
> und sagst: "Trallalla, da sind meine Unterräume."
> Sind Unterräume Vektoren? Wenn ja: wofür gibt's dann den
> Begriff Unterraum?
> Unterräume sind keine Vektoren. Unterräume sind Mengen,
> die Vektoren enthalten, und die bestimmte Eigenschaften
> haben.
>
> Warnung: wenn Du Mathematik weiterbetreibst ohne die genaue
> Kenntnis der Definitionen, wirst Du Schiffbruch erleiden.
Muss man sich jede Definition, die vorkommt, merken? So wie Vokabeln in einer Fremdsprache?
>
> Nochwas: Du zählst oben die Elemente des [mm](\IZ_2)^3[/mm] auf.
> Gibt es einen Grund dafür, daß Du (1,0,1) wegläßt?
Nein, habe ich vergessen.
>
> LG Angela
>
>
> > Aber das
> > sind 7.
> >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
nur kurz:
> > Welche Dimension hat dieser Vektorraum?
>
> Der VR hast die Dimension 2, da es hoch 2 ist.
Die Dimension ist - bei endlichdimensionalen Vektorräumen - die Anzahl
der Elemente einer Basis - diese ist eindeutig! Deine Aussage "da es
hoch zwei ist", ist Unsinn. Welche Dimension hat [mm] $\IR^1$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum?
[/mm]
(Wir verlassen hier sogar die Endlichdimensionalität!)
Und zusätzlich: Welche hat [mm] $\IR^1$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum?
[/mm]
Und ein anderes Beispiel: Welche Dimension hat [mm] $\IC^1$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum?
[/mm]
Und welche hat [mm] $\IC^1$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum?
[/mm]
Und Testfrage: Kann man [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm] betrachten? Macht das
Sinn?
> > Warnung: wenn Du Mathematik weiterbetreibst ohne die genaue
> > Kenntnis der Definitionen, wirst Du Schiffbruch erleiden.
> Muss man sich jede Definition, die vorkommt, merken? So
> wie Vokabeln in einer Fremdsprache?
Angelas Warnung ist absolut berechtigt, denn oben hast Du schon den ersten
Schritt in Richtung Schiffbruch gemacht. Du musst diese Definition nicht so wie
Vokabeln einer Fremdsprache beherrschen, denn das wäre stupides, "wortwörtliches"
Lernen - Du musst die Definitionen lernen, verstehen und am Besten in eigenen
Worten auch selbstständig und korrekt wiedergeben können!
Gruß,
Marcel
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> > Ist [mm](\IZ_{2})^{2}[/mm] gemeint?
> >
> > > b) [mm]\IZ_{2}[/mm] heißt nur 0 und 1 kommen vor.
> >
> > Ja, [mm]\IZ_2[/mm] enthält nur die beiden Elemente 0 und 1.
> >
> > Nun könntest Du ja mal alle Elemente des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> > aufschreiben.
> >
> > [mm](\IZ_2)^2=\{...\}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
ich vermisse noch die Elemente.
> >
> > Welche Dimension hat dieser Vektorraum?
>
> Der VR hast die Dimension 2, da es hoch 2 ist.
Marcel hat Dir schon gesagt, daß diese Begründung nicht ganz richtig ist.
Vielleicht aber habt Ihr für jeden Körper K gezeigt, daß K^n die Dimension n hat.
Wenn Du weißt, daß \IZ_2 mit der Addition und Multiplikation einen Körper bildet, kannst Du Dich auf diesen Satz berufen.
>
> > Nenne eine Basis.
> Eine Basis wäre: B = {u,v}= { [mm]\vektor{0\\ 1}, \vektor{1\\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
Ja.
(Du solltest auch die Frage beantworten können, warum das eine Basis ist.)
Jede Basis enthält 2 Elemente, also ist die Dimension des fraglichen VRes =2.
> >
> > Nun zu den Unterräumen.
> > Welche Dimensionen kommen hier infrage?
>
> Die nullte, erste und zweite.
Gut.
Welche Elemente enthält der Untervektorraum, der die Dimension 0 hat?
Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1 zu.
Deren Basis enthält jeweils ein Element.
Welche Vektoren kommen als Basis eines Unterraumes infrage? Welche vektoren enthältder von ihnen aufgespannte UVR?
Der (\IZ_2)^2 hat die Dimension 2. Wieviele UVRe der Dimension 2 hat er? Welche?
Zu den Definitionen:
im Prinzip muß man alle Definitionen wissen - das ist natürlich realitätsfern.
Man muß aber, wenn Begriffe vorkommen, mit denen man arbeiten möchte oder muß, nachschlagen, wie die exakte Definition lautet und mit dieser arbeiten. "Pi mal Daumen" und "quasi" reichen nicht, und schon gar nicht die eigene Fantasie.
Stell es Dir so vor: die Definitionen sind das Material, mit welchem Du arbeitest, Sätze u.ä. sind Dein Werkzeug.
Vieles, was von Dir verlangt wird, ist wirklich nur Handwerk. Inspiration oder gar Genialität brauchst Du erstmal kaum - aber ohne Material und Werkzeug geht's nicht.
LG Angela
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> > > Ist [mm](\IZ_{2})^{2}[/mm] gemeint?
> > >
> > > > b) [mm]\IZ_{2}[/mm] heißt nur 0 und 1 kommen vor.
> > >
> > > Ja, [mm]\IZ_2[/mm] enthält nur die beiden Elemente 0 und 1.
> > >
> > > Nun könntest Du ja mal alle Elemente des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> > > aufschreiben.
> > >
> > > [mm](\IZ_2)^2=\{...\}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen
> immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
>
> Hallo,
>
> ich vermisse noch die Elemente.
Welche Elemente?
>
> > >
> > > Welche Dimension hat dieser Vektorraum?
> >
> > Der VR hast die Dimension 2, da es hoch 2 ist.
>
> Marcel hat Dir schon gesagt, daß diese Begründung nicht
> ganz richtig ist.
> Vielleicht aber habt Ihr für jeden Körper K gezeigt,
> daß K^n die Dimension n hat.
> Wenn Du weißt, daß \IZ_2 mit der Addition und
> Multiplikation einen Körper bildet, kannst Du Dich auf
> diesen Satz berufen.
>
>
> >
> > > Nenne eine Basis.
> > Eine Basis wäre: B = {u,v}= { [mm]\vektor{0\\ 1}, \vektor{1\\ 0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> }.
>
> Ja.
> (Du solltest auch die Frage beantworten können, warum das
> eine Basis ist.)
Eine Basis ist eine Menge von Vektoren mit deren Linearkombination man jeden beliebigen Vektor in der jeweiligen Dimension der Basis bilden kann.
>
> Jede Basis enthält 2 Elemente, also ist die Dimension des
> fraglichen VRes =2.
>
> > >
> > > Nun zu den Unterräumen.
> > > Welche Dimensionen kommen hier infrage?
> >
> > Die nullte, erste und zweite.
>
> Gut.
>
> Welche Elemente enthält der Untervektorraum, der die
> Dimension 0 hat?
Müsste ein Punkt sein, also der Nullvektor (0,0,0)
>
> Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1 zu.
> Deren Basis enthält jeweils ein Element.
Müsste eine Gerade oder Punkt sein sein. Also (1,0,0) und (0,0,0) . Das z-Element und das y-Element ist immer Null, da es in Dimension 1 nur x-Achse auf dem Koordinatensystem gibt.
>
> Welche Vektoren kommen als Basis eines Unterraumes infrage?
Die jenigen, mit denen man mit Linearkombination alle Vektoren des Unterraums bidlen kann.
> Welche vektoren enthältder von ihnen aufgespannte UVR?
Alle Vektoren, die sich als Linearkombination der Vektoren in der Basis bilden lassen.
>
> Der (\IZ_2)^2 hat die Dimension 2. Wieviele UVRe der
> Dimension 2 hat er? Welche?
Dimension 2 heißt x- und y-Achse auf dem KS. Das heißt (1,0,0), (1,1,0), (0,1,0) und (0,0,0)
>
Das sind aber nur 4?
> Zu den Definitionen:
> im Prinzip muß man alle Definitionen wissen - das ist
> natürlich realitätsfern.
> Man muß aber, wenn Begriffe vorkommen, mit denen man
> arbeiten möchte oder muß, nachschlagen, wie die exakte
> Definition lautet und mit dieser arbeiten. "Pi mal Daumen"
> und "quasi" reichen nicht, und schon gar nicht die eigene
> Fantasie.
> Stell es Dir so vor: die Definitionen sind das Material,
> mit welchem Du arbeitest, Sätze u.ä. sind Dein Werkzeug.
> Vieles, was von Dir verlangt wird, ist wirklich nur
> Handwerk. Inspiration oder gar Genialität brauchst Du
> erstmal kaum - aber ohne Material und Werkzeug geht's
> nicht.
>
> LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Di 23.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > (Du solltest auch die Frage beantworten können, warum
> das
> > eine Basis ist.)
>
> Eine Basis ist eine Menge von Vektoren mit deren
> Linearkombination man jeden beliebigen Vektor in der
> jeweiligen Dimension der Basis bilden kann.
das ist unvollständig: Ich kann auch mit [mm] $B:=\{(1,0,0)^T,(0,1,0)^T,(0,0,1)^T,(1,1,1)^T,(1,2,3)^T,(1,2,7)^T\}$
[/mm]
den ganzen [mm] $\IR^3$ [/mm] erzeugen [mm] ($B\,$ [/mm] ist ein EZS (Erzeugendensystem) des
[mm] $\IR^3$), [/mm] aber [mm] $B\,$ [/mm] ist keine Basis. Was bedeutet eigentlich bei Dir der
Teil "in der jeweiligen Dimension der Basis"? Was ist überhaupt die/eine
Dimension einer Basis?
"Grob" zum Auswendiglernen: Basis eines Vektorraums=minimales EZS=maximale Menge
linear unabhängiger Vektoren
(Das kannst Du eh nur verstehen, wenn Du die Definition und den Beweis
der entsprechenden Charakterisierung verstanden hast!)
Wobei Basen NICHT eindeutig sind!
P.S. Vielleicht hast Du aber auch gemeint, dass sich jedes Element eines
Vektorraums als EINDEUTIGE Linearkombination darstellen läßt. Dabei
darfst Du aber die EINDEUTIGKEIT nicht unterschlagen!
Ansonsten: Siehe hier (klick!), Wiki und hier (klick!).
Gruß,
Marcel
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> > > > Nun könntest Du ja mal alle Elemente des
> [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> > > > aufschreiben.
> > > >
> > > > [mm](\IZ_2)^2=\{...\}.[/mm]
> > ich vermisse noch die Elemente.
>
> Welche Elemente?
Hallo,
na, ich dachte, Du würdest mal die Elemente des [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] aufschreiben - und ich glaube nach wie vor, daß es eine gute Idee ist, dies zu tun.
> > > Eine Basis wäre: B [mm] =(\vektor{0\\ 1}, \vektor{1\\ 0})
[/mm]
> > Ja.
> > (Du solltest auch die Frage beantworten können, warum
> das
> > eine Basis ist.)
>
> Eine Basis ist eine Menge von Vektoren mit deren
> Linearkombination man jeden beliebigen Vektor in der
> jeweiligen Dimension der Basis bilden kann.
???
Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem,
also eine linear unabhängige Menge von Vektoren, mit denen man jeden beliebigen Vektor des VRes als Linearkombination schreiben kann.
Deine beiden Basisvektoren sind linear unabhängig und erzeugen den Raum, also bilden sie eine Basis.
> > Welche Elemente enthält der Untervektorraum, der die
> > Dimension 0 hat?
> Müsste ein Punkt sein, also der Nullvektor (0,0,0)
Quatsch!
Im [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] sind doch nur Vektoren mit 2 Einträgen!
> >
> > Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1 zu.
> > Deren Basis enthält jeweils ein Element.
>
> Müsste eine Gerade oder Punkt sein sein. Also (1,0,0) und
> (0,0,0) . Das z-Element und das y-Element ist immer Null,
> da es in Dimension 1 nur x-Achse auf dem Koordinatensystem
> gibt.
Unfug. Wir sind doch gerade im [mm] (\IZ_2)^{\red{2}}, [/mm] oder hab' ich etwas verpaßt?
LG Angela
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> > > > > Nun könntest Du ja mal alle Elemente des
> > [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> > > > > aufschreiben.
> > > > >
> > > > > [mm](\IZ_2)^2=\{...\}.[/mm]
> > > ich vermisse noch die Elemente.
> >
> > Welche Elemente?
>
> Hallo,
>
> na, ich dachte, Du würdest mal die Elemente des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> aufschreiben - und ich glaube nach wie vor, daß es eine
> gute Idee ist, dies zu tun.
(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
>
>
>
> > > > Eine Basis wäre: B [mm]=(\vektor{0\\ 1}, \vektor{1\\ 0})[/mm]
>
> > > Ja.
> > > (Du solltest auch die Frage beantworten können,
> warum
> > das
> > > eine Basis ist.)
> >
> > Eine Basis ist eine Menge von Vektoren mit deren
> > Linearkombination man jeden beliebigen Vektor in der
> > jeweiligen Dimension der Basis bilden kann.
>
> ???
>
> Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem,
> also eine linear unabhängige Menge von Vektoren, mit
> denen man jeden beliebigen Vektor des VRes als
> Linearkombination schreiben kann.
>
> Deine beiden Basisvektoren sind linear unabhängig und
> erzeugen den Raum, also bilden sie eine Basis.
>
>
> > > Welche Elemente enthält der Untervektorraum, der die
> > > Dimension 0 hat?
> > Müsste ein Punkt sein, also der Nullvektor (0,0,0)
>
> Quatsch!
> Im [mm](\IZ_2)^2[/mm] sind doch nur Vektoren mit 2 Einträgen!
Dann (0,0)
>
>
> > >
> > > Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1 zu.
> > > Deren Basis enthält jeweils ein Element.
> >
> > Müsste eine Gerade oder Punkt sein sein. Also (1,0,0)
> und
> > (0,0,0) . Das z-Element und das y-Element ist immer
> Null,
> > da es in Dimension 1 nur x-Achse auf dem
> Koordinatensystem
> > gibt.
>
> Unfug. Wir sind doch gerade im [mm](\IZ_2)^{\red{2}},[/mm] oder hab'
> ich etwas verpaßt?
Dann (0,0) und (1,0)
Und in der 2. Dimension dann (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)
>
> LG Angela
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Mi 24.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> > Hallo,
> >
> > na, ich dachte, Du würdest mal die Elemente des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> > aufschreiben - und ich glaube nach wie vor, daß es eine
> > gute Idee ist, dies zu tun.
>
> (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
> >
Ja.
> > [...]
> >
> > Quatsch!
> > Im [mm](\IZ_2)^2[/mm] sind doch nur Vektoren mit 2 Einträgen!
>
> Dann (0,0)
Erraten oder gezielt gefunden? Der Vektor ist jedenfalls korrekt.
>
> >
> >
> > > >
> > > > Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1
> zu.
> > > > Deren Basis enthält jeweils ein Element.
> > >
> > > Müsste eine Gerade oder Punkt sein sein. Also
> (1,0,0)
> > und
> > > (0,0,0) . Das z-Element und das y-Element ist immer
> > Null,
> > > da es in Dimension 1 nur x-Achse auf dem
> > Koordinatensystem
> > > gibt.
> >
> > Unfug. Wir sind doch gerade im [mm](\IZ_2)^{\red{2}},[/mm] oder hab'
> > ich etwas verpaßt?
>
> Dann (0,0) und (1,0)
Bist du hier bei [mm] $\IZ_{2}$?
[/mm]
>
> Und in der 2. Dimension dann (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)
Meinst du mit der zweiten Dimension [mm] $\IZ_{2}^{2}$?
[/mm]
Dann sind die vier Elemente korrekt, wie du ganz am Anfang schon erwähnt hast.
Marius
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> > > > > > [mm](\IZ_2)^2=\{...\}.[/mm]
> (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
Hallo,
die Elemente stimmen.
Es ist also [mm] (\IZ_2)^2=\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}
[/mm]
Aber eine kleine Frage: enthält [mm] K^n, [/mm] also etwa der [mm] \IR^3 [/mm] bei Euch Zeilenvektoren?
Falls es bei Euch Spaltenvektoren sind, solltest Du sie auch konsequent als Spaltenvektoren schreiben. (Späteres Chaos ist sonst vorprogrammiert.)
> > > > Welche Elemente enthält der Untervektorraum, der die
> > > > Dimension 0 hat?
>
> Dann (0,0)
Ja. Damit hast Du den ersten Unterraum gefunden, nämlich
[mm] U_1:=\{(0,0)\} [/mm] mit dim [mm] U_1=0.
[/mm]
> > > > Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1
> zu.
>
> (0,0) und (1,0)
Was meinst Du damit?
Du hast zwei Möglichkeiten, hier die Unterräume der Dimension 1 anzugeben:
entweder aufzählend, indem Du für jeden Unterraum sagst, welche Elemente drin sind, oder durch Angabe einer Basis.
Am besten sagst Du beides, die Basis und die Elemente, die im Unterraum sind.
Welche Vektoren kommen denn als Basis eines eindimensionalen Unterraumes infrage?
Welche Räume werden von ihnen erzeugt? (Angabe durch Aufzählen der Elemente.)
>
> Und in der 2. Dimension dann (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)
Was meinst Du mit "in der 2. Dimension"?
Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis.
Wolltest Du vielleicht sagen, daß es nur einen zweidimensionalen UVR des [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] gibt, nämlich den Raum selber, und daß folglich die von Dir aufgezählten Elemente enthalten sind?
Das wäre richtig.
LG Angela
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> > > > > > > [mm](\IZ_2)^2=\{...\}.[/mm]
>
> > (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
>
> Hallo,
>
> die Elemente stimmen.
>
> Es ist also [mm](\IZ_2)^2=\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}[/mm]
>
> Aber eine kleine Frage: enthält [mm]K^n,[/mm] also etwa der [mm]\IR^3[/mm]
> bei Euch Zeilenvektoren?
> Falls es bei Euch Spaltenvektoren sind, solltest Du sie
> auch konsequent als Spaltenvektoren schreiben. (Späteres
> Chaos ist sonst vorprogrammiert.)
>
> > > > > Welche Elemente enthält der Untervektorraum, der die
> > > > > Dimension 0 hat?
>
> >
> > Dann (0,0)
>
> Ja. Damit hast Du den ersten Unterraum gefunden, nämlich
> [mm]U_1:=\{(0,0)\}[/mm] mit dim [mm]U_1=0.[/mm]
>
> > > > > Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1
> > zu.
>
> >
> > (0,0) und (1,0)
>
> Was meinst Du damit?
Alle Elemente, die im Unterraum der [mm] Z_2^2 [/mm] mit der Dimension 1 enthalten sind
>
> Du hast zwei Möglichkeiten, hier die Unterräume der
> Dimension 1 anzugeben:
> entweder aufzählend, indem Du für jeden Unterraum sagst,
> welche Elemente drin sind, oder durch Angabe einer Basis.
> Am besten sagst Du beides, die Basis und die Elemente, die
> im Unterraum sind.
Die Basis wäre dann ja [mm] (\lambda,0), [/mm] da man nur die x-Achse zur Verfügung hat.
>
> Welche Vektoren kommen denn als Basis eines
> eindimensionalen Unterraumes infrage?
Diejenigen, die nur im ersten Eintrag des Vektores einen Eintrag haben und der Rest 0 ist. (x,0) z.B
> Welche Räume werden von ihnen erzeugt? (Angabe durch
> Aufzählen der Elemente.)
Alle Elemente auf der x-Achse. (0,0) und (1,0)
>
> >
> > Und in der 2. Dimension dann (0,0), (1,0), (1,1), (0,1)
>
> Was meinst Du mit "in der 2. Dimension"?
> Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis.
>
> Wolltest Du vielleicht sagen, daß es nur einen
> zweidimensionalen UVR des [mm](\IZ_2)^2[/mm] gibt, nämlich den Raum
> selber, und daß folglich die von Dir aufgezählten
> Elemente enthalten sind?
> Das wäre richtig.
Die 2.Dimension enthält die Basis [mm] (\lamda,0)(0,\lambda) [/mm] und bei [mm] Z_{2}^{2} [/mm] kommen nur 0 und 1 für [mm] \lambda [/mm] in Frage also sind alle Vektoren (0,0),(1,0),(0,0),(0,1)
>
> LG Angela
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Hallo!
> > Es ist also [mm](\IZ_2)^2=\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}[/mm]
> > Ja. Damit hast Du den ersten Unterraum gefunden, nämlich
> > [mm]U_1:=\{(0,0)\}[/mm] mit dim [mm]U_1%253D0.[/mm]
> >
> > > > > > Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension 1
> > > zu.
> >
> > >
> > > (0,0) und (1,0)
> >
> > Was meinst Du damit?
>
> Alle Elemente, die im Unterraum der [mm]Z_2^2[/mm] mit der Dimension
> 1 enthalten sind
Du willst sagen, daß
[mm] U_2:=\{(0,0), (1,0)\}
[/mm]
ein eindimensionaler UVR des [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] ist?
Dann solltest Du das auch so schreiben.
Es stimmt übrigens.
> Die Basis wäre dann ja [mm] (\lambda,0), [/mm] da man nur die x-Achse
> zur Verfügung hat.
Was meinst Du mit [mm] (\lambda,0)?
[/mm]
Der Basisvektor von [mm] U_2 [/mm] muß doch ein Vektor aus dem [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] sein.
Ich sehe in [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] keinen Vektor [mm] (\lambda,0)...
[/mm]
Da mußt Du nochmal drüber nachdenken.
Etwas anderes aber alarmiert mich noch viel mehr: "da man nur die x-Achse zurVerfügung hat".
Was meinst Du damit?
Kommt irgendwo in der Definition von Vektorraum oder Untervektorraum "x-Achse" vor?
Kommt in der Definition von Dimension "x-Achse" vor?
Dimension hat nichts mit Achsen zu tun.
Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis des Vektorraumes.
Nichts anderes. Nichts von Raumschiff enterprise und nichts von Odyssee im Weltall.
> >
> > Welche Vektoren kommen denn als Basis eines
> > eindimensionalen Unterraumes infrage?
> Diejenigen, die nur im ersten Eintrag des Vektores einen
> Eintrag haben und der Rest 0 ist. (x,0) z.B
Nein. Hast Du irgendetwas davon gelesen in Deinen Definitionen, daß "eindimensional" etwas damit zu tun hat, an welcher Stelle der Eintrag steht? Nee, oder? Das hast Du Dir ausgedacht! Das darfst Du nicht. (D.h. Du darfst es natürlich, aber Du gewinnst damit bei Deinen Chefs keinen Blumentopf.)
>
> > Welche Räume werden von ihnen erzeugt? (Angabe durch
> > Aufzählen der Elemente.)
> Alle Elemente auf der x-Achse. (0,0) und (1,0)
Die x-Achse vergessen wir mal.
Ich verrate Dir, daß (1,0) eine Basis des eindimensionalen Unterraumes [mm] U_2:=\{(0,0), (1,0)\} [/mm] ist.
Also erzeugt (1,0) diesen Raum. Warum?
Und kannst Du für [mm] U_2 [/mm] auch die Unterraumkriterien nachweisen?
Wie lauten sie? Gelten sie?
Das ist aber nicht der einzige eindimensionale Unterraum.
Du kannst doch mit fast allen Vektoren des [mm] (\IZ_2)^2 [/mm] einen eindimensionalen Unterraum erzeugen.
(Wenn Du das getan hast, mußt Du sicherheitshalber noch sicherstellen=gucken, ob Du keinen UVR doppelt hast.)
> > Wolltest Du vielleicht sagen, daß es nur einen
> > zweidimensionalen UVR des [mm](\IZ_2)^2[/mm] gibt, nämlich den Raum
> > selber, und daß folglich die von Dir aufgezählten
> > Elemente enthalten sind?
> > Das wäre richtig.
Grober Unfug!
Was meinst Du mit "2.Dimension"?
Wurde das bei Euch definiert? Wäre ungewöhnlich...
Es gibt nur eine Dimension:
Dimension ist die Anzahl (!) der Elemente einer Basis.
Ein Vektorraum ist zweidimensional, wenn eine jegliche seiner Basen genau zwei Elemente enthält.
> Die 2.Dimension enthält die Basis
> [mm](\lamda,0)(0,\lambda)[/mm]
> und bei [mm]Z_{2}^{2}[/mm] kommen nur 0 und 1 für [mm]\lambda[/mm] in Frage
> also sind alle Vektoren (0,0),(1,0),(0,0),(0,1)
Wahrscheinlich möchtest Du uns sagen, daß ((1,0), (0,1)) eine Basis des zweidimensionalen Vektorraumes [mm] Z_{2}^{2} [/mm] ist.
Das stimmt.
((1,1), (0,1)) ist übrigens auch eine Basis dieses Raumes.
Du studierst Mathematik? Im Hauptfach, fürs Höhere Lehramt oder als Nebenfach für Physik?
Du mußt Dich auf den Stoff der Uni einlassen. Mit einem wolkig wabernden Nebel aus Fantasie und Halbwissen aus der Schule kommst Du nicht weiter. Am besten vergißt Du alles und arbeitest nur mit dem, was in Deinem Skript oder in der Mitschrift steht.
Sonst wird das nichts!
LG Angela
P.S.:
Denke nicht, daß ich Dich ärgern will! Ich sag' das nur so drastisch, weil ich befürchte, daß zarte Andeutungen überlesen oder unterbewertet werden. Das wäre nicht gut (für Dich).
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> Hallo!
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> > > Es ist also [mm](\IZ_2)^2=\{(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)\}[/mm]
>
> > > Ja. Damit hast Du den ersten Unterraum gefunden, nämlich
> > > [mm]U_1:=\{(0,0)\}[/mm] mit dim [mm]U_1%253D0.[/mm]
> > >
> > > > > > > Wenden wir uns den Unterräumen der Dimension
> 1
> > > > zu.
> > >
> > > >
> > > > (0,0) und (1,0)
> > >
> > > Was meinst Du damit?
> >
> > Alle Elemente, die im Unterraum der [mm]Z_2^2[/mm] mit der
> Dimension
> > 1 enthalten sind
>
> Du willst sagen, daß
> [mm]U_2:=\{(0,0), (1,0)\}[/mm]
> ein eindimensionaler UVR des
> [mm](\IZ_2)^2[/mm] ist?
> Dann solltest Du das auch so schreiben.
> Es stimmt übrigens.
>
> > Die Basis wäre dann ja [mm](\lambda,0),[/mm] da man nur die
> x-Achse
> > zur Verfügung hat.
>
> Was meinst Du mit [mm](\lambda,0)?[/mm]
> Der Basisvektor von [mm]U_2[/mm] muß doch ein Vektor aus dem
> [mm](\IZ_2)^2[/mm] sein.
> Ich sehe in [mm](\IZ_2)^2[/mm] keinen Vektor [mm](\lambda,0)...[/mm]
> Da mußt Du nochmal drüber nachdenken.
>
> Etwas anderes aber alarmiert mich noch viel mehr: "da man
> nur die x-Achse zurVerfügung hat".
> Was meinst Du damit?
> Kommt irgendwo in der Definition von Vektorraum oder
> Untervektorraum "x-Achse" vor?
> Kommt in der Definition von Dimension "x-Achse" vor?
>
> Dimension hat nichts mit Achsen zu tun.
> Dimension ist die Anzahl der Elemente einer Basis des
> Vektorraumes.
> Nichts anderes. Nichts von Raumschiff enterprise und
> nichts von Odyssee im Weltall.
>
>
> > >
> > > Welche Vektoren kommen denn als Basis eines
> > > eindimensionalen Unterraumes infrage?
> > Diejenigen, die nur im ersten Eintrag des Vektores
> einen
> > Eintrag haben und der Rest 0 ist. (x,0) z.B
>
> Nein. Hast Du irgendetwas davon gelesen in Deinen
> Definitionen, daß "eindimensional" etwas damit zu tun hat,
> an welcher Stelle der Eintrag steht? Nee, oder? Das hast Du
> Dir ausgedacht! Das darfst Du nicht. (D.h. Du darfst es
> natürlich, aber Du gewinnst damit bei Deinen Chefs keinen
> Blumentopf.)
>
> >
> > > Welche Räume werden von ihnen erzeugt? (Angabe durch
> > > Aufzählen der Elemente.)
> > Alle Elemente auf der x-Achse. (0,0) und (1,0)
>
> Die x-Achse vergessen wir mal.
> Ich verrate Dir, daß (1,0) eine Basis des
> eindimensionalen Unterraumes [mm]U_2:=\{(0,0), (1,0)\}[/mm] ist.
> Also erzeugt (1,0) diesen Raum. Warum?
Weil man mit (1,0) jeden der Vektoren oben mit einer Linearkombination bilden kann. 0*(1,0)=(0,0) und 1*(1,0)=(1,0)
>
> Und kannst Du für [mm]U_2[/mm] auch die Unterraumkriterien
> nachweisen?
> Wie lauten sie?
1. Enthält den Nullvektor
(0,0) ist drin also gilt
2. Sei x,y [mm] \in U_{2}. [/mm] Dann ist auch x+y [mm] \in U_{2}
[/mm]
Wir haben nur zwei Elemente und die Summe der zwei ist wiederum in der Menge: (1,0)(0,0)=(1,0)
3. Sei x [mm] \in U_{2} [/mm] und [mm] \lambda \in \IZ_{2}^{2}, [/mm] dann ist [mm] x*\lambda \in U_{2}
[/mm]
Stimmt: 1*(0,1)=(0,1) 1*(0,0)=(0,0)
0*(1,0)=(0,0) 0*(0,0)=(0,0)
Gelten sie?
>
>
> Das ist aber nicht der einzige eindimensionale Unterraum.
> Du kannst doch mit fast allen Vektoren des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> einen eindimensionalen Unterraum erzeugen.
Also mit den Vektoren (1,0), (0,1), (1,1), (0,0) kann man einen eindimensionalen Vektorraum erzeugen
>
> (Wenn Du das getan hast, mußt Du sicherheitshalber noch
> sicherstellen=gucken, ob Du keinen UVR doppelt hast.)
>
>
> > > Wolltest Du vielleicht sagen, daß es nur einen
> > > zweidimensionalen UVR des [mm](\IZ_2)^2[/mm] gibt, nämlich den
> Raum
> > > selber, und daß folglich die von Dir aufgezählten
> > > Elemente enthalten sind?
> > > Das wäre richtig.
>
>
> Grober Unfug!
> Was meinst Du mit "2.Dimension"?
> Wurde das bei Euch definiert? Wäre ungewöhnlich...
>
> Es gibt nur eine Dimension:
> Dimension ist die Anzahl (!) der Elemente einer Basis.
>
> Ein Vektorraum ist zweidimensional, wenn eine jegliche
> seiner Basen genau zwei Elemente enthält.
>
>
>
> > Die 2.Dimension enthält die Basis
> > [mm](\lamda,0)(0,\lambda)[/mm]
> > und bei [mm]Z_{2}^{2}[/mm] kommen nur 0 und 1 für [mm]\lambda[/mm] in
> Frage
> > also sind alle Vektoren (0,0),(1,0),(0,0),(0,1)
>
> Wahrscheinlich möchtest Du uns sagen, daß ((1,0), (0,1))
> eine Basis des zweidimensionalen Vektorraumes [mm]Z_{2}^{2}[/mm]
> ist.
> Das stimmt.
> ((1,1), (0,1)) ist übrigens auch eine Basis dieses
> Raumes.
Aber mit der Basis ((1,1), (0,1)) kann man doch den Vektor (1,0) nicht erzeugen, welcher im zweidimensionalen Unterraum von [mm] (\IZ_{2}^_{2}) [/mm] enthalten ist.
>
> Du studierst Mathematik? Im Hauptfach, fürs Höhere
> Lehramt oder als Nebenfach für Physik?
> Du mußt Dich auf den Stoff der Uni einlassen. Mit einem
> wolkig wabernden Nebel aus Fantasie und Halbwissen aus der
> Schule kommst Du nicht weiter. Am besten vergißt Du alles
> und arbeitest nur mit dem, was in Deinem Skript oder in der
> Mitschrift steht.
> Sonst wird das nichts!
>
> LG Angela
>
> P.S.:
> Denke nicht, daß ich Dich ärgern will! Ich sag' das nur
> so drastisch, weil ich befürchte, daß zarte Andeutungen
> überlesen oder unterbewertet werden. Das wäre nicht gut
> (für Dich).
>
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> > Ich verrate Dir, daß (1,0) eine Basis des
> > eindimensionalen Unterraumes [mm]U_2:=\{(0,0), (1,0)\}[/mm] ist.
> > Also erzeugt (1,0) diesen Raum. Warum?
>
> Weil man mit (1,0) jeden der Vektoren oben mit einer
> Linearkombination bilden kann. 0*(1,0)=(0,0) und
> 1*(1,0)=(1,0)
Hallo,
ja.
Und das sind auch die beiden einzigen Linearkombinationen, die man bilden kann.
Im von (1,0) erzeugten Raum sind also tatsächlich keine weiteren Elemente.
>
> >
> > Und kannst Du für [mm]U_2[/mm] auch die Unterraumkriterien
> > nachweisen?
> > Wie lauten sie?
> 1. Enthält den Nullvektor
> (0,0) ist drin also gilt
Ja.
> 2. Sei x,y [mm]\in U_{2}.[/mm] Dann ist auch x+y [mm]\in U_{2}[/mm]
> Wir
> haben nur zwei Elemente und die Summe der zwei ist wiederum
> in der Menge: [mm] (1,0)\red{+}(0,0)=(1,0)
[/mm]
Du mußt noch ein bißchen mehr untersuchen:
(0,0)+(1,0)=
(0,0)+(0,0)=
(1,0)+(1,0)=
> 3. Sei x [mm]\in U_{2}[/mm] und [mm]%5Clambda%20%5Cin%20%5CIZ_%7B2%7D%5E%7B2%7D%2C[/mm] dann ist
> [mm]x*\lambda \in U_{2}[/mm]
> Stimmt: 1*(0,1)=(0,1)
> 1*(0,0)=(0,0)
> 0*(1,0)=(0,0)
> 0*(0,0)=(0,0)
Ja, genau.
> > Das ist aber nicht der einzige eindimensionale Unterraum.
> > Du kannst doch mit fast allen Vektoren des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> > einen eindimensionalen Unterraum erzeugen.
> Also mit den Vektoren (1,0), (0,1), (1,1), (0,0) kann man
> einen eindimensionalen Vektorraum erzeugen
Na! Welchen Raum bekommst Du, wenn Du (0,0) als erzeugenden Vektor nimmst?
Welche Dimension hat dieser Raum.
Der Rest stimmt.
> >
> > (Wenn Du das getan hast, mußt Du sicherheitshalber noch
> > sicherstellen=gucken, ob Du keinen UVR doppelt hast.)
> > Wahrscheinlich möchtest Du uns sagen, daß ((1,0), (0,1))
> > eine Basis des zweidimensionalen Vektorraumes [mm]Z_{2}^{2}[/mm]
> > ist.
> > Das stimmt.
> > ((1,1), (0,1)) ist übrigens auch eine Basis dieses
> > Raumes.
> Aber mit der Basis ((1,1), (0,1)) kann man doch den Vektor
> (1,0) nicht erzeugen, welcher im zweidimensionalen
> Unterraum von [mm](\IZ_{2}^_{2})[/mm] enthalten ist.
Doch!
Berechne (1,1)+(0,1).
LG Angela
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> > > Ich verrate Dir, daß (1,0) eine Basis des
> > > eindimensionalen Unterraumes [mm]U_2:=\{(0,0), (1,0)\}[/mm]
> ist.
> > > Also erzeugt (1,0) diesen Raum. Warum?
> >
> > Weil man mit (1,0) jeden der Vektoren oben mit einer
> > Linearkombination bilden kann. 0*(1,0)=(0,0) und
> > 1*(1,0)=(1,0)
>
> Hallo,
>
> ja.
> Und das sind auch die beiden einzigen Linearkombinationen,
> die man bilden kann.
> Im von (1,0) erzeugten Raum sind also tatsächlich keine
> weiteren Elemente.
>
>
> >
> > >
> > > Und kannst Du für [mm]U_2[/mm] auch die Unterraumkriterien
> > > nachweisen?
> > > Wie lauten sie?
> > 1. Enthält den Nullvektor
> > (0,0) ist drin also gilt
>
> Ja.
>
> > 2. Sei x,y [mm]\in U_{2}.[/mm] Dann ist auch x+y [mm]\in U_{2}[/mm]
> > Wir
> > haben nur zwei Elemente und die Summe der zwei ist
> wiederum
> > in der Menge: [mm](1,0)\red{+}(0,0)=(1,0)[/mm]
>
> Du mußt noch ein bißchen mehr untersuchen:
>
> (0,0)+(1,0)=
> (0,0)+(0,0)=
> (1,0)+(1,0)=
>
> > 3. Sei x [mm]\in U_{2}[/mm] und
> [mm]%5Clambda%20%5Cin%20%5CIZ_%7B2%7D%5E%7B2%7D%2C[/mm] dann ist
> > [mm]x*\lambda \in U_{2}[/mm]
> > Stimmt: 1*(0,1)=(0,1)
> > 1*(0,0)=(0,0)
> > 0*(1,0)=(0,0)
> > 0*(0,0)=(0,0)
>
> Ja, genau.
>
>
> > > Das ist aber nicht der einzige eindimensionale Unterraum.
> > > Du kannst doch mit fast allen Vektoren des [mm](\IZ_2)^2[/mm]
> > > einen eindimensionalen Unterraum erzeugen.
> > Also mit den Vektoren (1,0), (0,1), (1,1), (0,0) kann
> man
> > einen eindimensionalen Vektorraum erzeugen
>
> Na! Welchen Raum bekommst Du, wenn Du (0,0) als erzeugenden
> Vektor nimmst?
> Welche Dimension hat dieser Raum.
Aber mit dem Vektor (0,0) kann man doch den Vektor (0,0) bilden, welcher auch im eindimensionalen Raum ist.
>
> Der Rest stimmt.
>
>
> > >
> > > (Wenn Du das getan hast, mußt Du sicherheitshalber
> noch
> > > sicherstellen=gucken, ob Du keinen UVR doppelt hast.)
>
>
> > > Wahrscheinlich möchtest Du uns sagen, daß ((1,0), (0,1))
> > > eine Basis des zweidimensionalen Vektorraumes
> [mm]Z_{2}^{2}[/mm]
> > > ist.
> > > Das stimmt.
> > > ((1,1), (0,1)) ist übrigens auch eine Basis dieses
> > > Raumes.
>
> > Aber mit der Basis ((1,1), (0,1)) kann man doch den Vektor
> > (1,0) nicht erzeugen, welcher im zweidimensionalen
> > Unterraum von [mm](\IZ_{2}^_{2})[/mm] enthalten ist.
>
> Doch!
> Berechne (1,1)+(0,1).
Aber kann man mit der Basis ((1,0)(0,1)) dann den Vektor (0,0) erzeugen?
>
> LG Angela
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> > > Also mit den Vektoren (1,0), (0,1), (1,1), (0,0) kann
> > man
> > > einen eindimensionalen Vektorraum erzeugen
> >
> > Na! Welchen Raum bekommst Du, wenn Du (0,0) als erzeugenden
> > Vektor nimmst?
> > Welche Dimension hat dieser Raum.
> Aber mit dem Vektor (0,0) kann man doch den Vektor (0,0)
> bilden, welcher auch im eindimensionalen Raum ist.
Hallo,
wenn Du den Vektor (0,0) als Erzeugenden"system" nimmst,
bekommst Du wegen
0*(0,0)=(0,0)
1*(0,0)=(0,0)
nur den Nullvektor.
Der von (0,0) erzeugte Raum ist also der Raum [mm] U_1=\{(0,0)\}.
[/mm]
Dieser Raum ist nicht eindimensional, sondern er hat die Dimension 0.
Warum? Ich sag Dir's:
(0,0) erzeugt diesen Raum, aber dieses aus einem Vektor bestehende Erzeugendensystem ist nicht linear unabhängig!
Der Nullvektor ist NIE linear unabhängig, denn es gibt eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors, mit welcher man den Nullvektor darstellen kann, nämlich 1*(0,0)=(0,0)
(Schau Dir für dieses Argument das Kriterium für lineare Unabhängigkeit an.)
> > > Aber mit der Basis ((1,1), (0,1)) kann man doch den Vektor
> > > (1,0) nicht erzeugen, welcher im zweidimensionalen
> > > Unterraum von [mm](\IZ_{2}^_{2})[/mm] enthalten ist.
> >
> > Doch!
> > Berechne (1,1)+(0,1).
Und? Hast Du es getan?
>
> Aber kann man mit der Basis ((1,0)(0,1)) dann den Vektor
> (0,0) erzeugen?
Natürlich! 0*(1,0)+0*(0,1)=(0,0)
LG Angela
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> > > > Also mit den Vektoren (1,0), (0,1), (1,1), (0,0) kann
> > > man
> > > > einen eindimensionalen Vektorraum erzeugen
> > >
> > > Na! Welchen Raum bekommst Du, wenn Du (0,0) als
> erzeugenden
> > > Vektor nimmst?
> > > Welche Dimension hat dieser Raum.
>
> > Aber mit dem Vektor (0,0) kann man doch den Vektor (0,0)
> > bilden, welcher auch im eindimensionalen Raum ist.
>
> Hallo,
>
> wenn Du den Vektor (0,0) als Erzeugenden"system" nimmst,
> bekommst Du wegen
> 0*(0,0)=(0,0)
> 1*(0,0)=(0,0)
>
> nur den Nullvektor.
>
> Der von (0,0) erzeugte Raum ist also der Raum
> [mm]U_1=\{(0,0)\}.[/mm]
>
> Dieser Raum ist nicht eindimensional, sondern er hat die
> Dimension 0.
>
> Warum? Ich sag Dir's:
> (0,0) erzeugt diesen Raum, aber dieses aus einem Vektor
> bestehende Erzeugendensystem ist nicht linear unabhängig!
> Der Nullvektor ist NIE linear unabhängig, denn es gibt
> eine nichttriviale Linearkombination des Nullvektors, mit
> welcher man den Nullvektor darstellen kann, nämlich
> 1*(0,0)=(0,0)
> (Schau Dir für dieses Argument das Kriterium für lineare
> Unabhängigkeit an.)
>
>
>
> > > > Aber mit der Basis ((1,1), (0,1)) kann man doch den Vektor
> > > > (1,0) nicht erzeugen, welcher im zweidimensionalen
> > > > Unterraum von [mm](\IZ_{2}^_{2})[/mm] enthalten ist.
> > >
> > > Doch!
> > > Berechne (1,1)+(0,1).
>
> Und? Hast Du es getan?
Ja, (1,1)+(0,1) ist (1,0)
>
> >
> > Aber kann man mit der Basis ((1,0)(0,1)) dann den
> Vektor
> > (0,0) erzeugen?
>
> Natürlich! 0*(1,0)+0*(0,1)=(0,0)
>
> LG Angela
Danke für die Hilfe zu b)
Also ist die Antwort zu der Frage Geben Sie eine explizite Liste aller Unterräume des $ [mm] \IZ_{2}- [/mm] $ Vektorraums $ [mm] \IZ_{2} (\IZ_{2})^{2} [/mm] $ an. Hinweis: es gibt fünf davon.
(0,0), (0,1), (1,0), (0,0) und(1,1)
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> Danke für die Hilfe zu b)
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> Also ist die Antwort zu der Frage Geben Sie eine explizite
> Liste aller Unterräume des [mm]\IZ_{2}-[/mm] Vektorraums [mm]\IZ_{2} (\IZ_{2})^{2}[/mm]
> an. Hinweis: es gibt fünf davon.
>
> (0,0), (0,1), (1,0), (0,0) und(1,1)
Hallo,
neiiiiiiin!!!!
Du zählst hier 5 Vektoren auf, von denen einer noch doppelt vorkommt...
Was aber ist gefragt? Du sollst die 5 UVRe des [mm] \IZ_2^2 [/mm] sagen.
Das sind Mengen, die Vektoren enthalten. Ich hatte doch sogar schon angefangen, sie aufzuschreiben.
Wir haben den Nullvektorraum,
dann die drei eindimensionalen Unterräume und schließlich noch den [mm] \IZ_2^2 [/mm] selber.
LG Angela
>
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> > Danke für die Hilfe zu b)
> >
> > Also ist die Antwort zu der Frage Geben Sie eine
> explizite
> > Liste aller Unterräume des [mm]\IZ_{2}-[/mm] Vektorraums [mm]\IZ_{2} (\IZ_{2})^{2}[/mm]
>
> > an. Hinweis: es gibt fünf davon.
> >
> > (0,0), (0,1), (1,0), (0,0) und(1,1)
>
> Hallo,
>
> neiiiiiiin!!!!
>
> Du zählst hier 5 Vektoren auf, von denen einer noch
> doppelt vorkommt...
> Was aber ist gefragt? Du sollst die 5 UVRe des [mm]\IZ_2^2[/mm]
> sagen.
> Das sind Mengen, die Vektoren enthalten. Ich hatte doch
> sogar schon angefangen, sie aufzuschreiben.
>
> Wir haben den Nullvektorraum,
> dann die drei eindimensionalen Unterräume und
> schließlich noch den [mm]\IZ_2^2[/mm] selber.
>
> LG Angela
Ok, wie du gesagt hast:
Wie haben den Nullvektorraum (0,0),
dann haben wir den eindimensionalen UVR mit (1,0)(0,1)(0,0)
Und zum Schluss haben wir den zweidimensionalen Raum mit (0,0)(1,0)(0,1)(1,1)
Jetzt richtig?
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> > Wir haben den Nullvektorraum,
> > dann die drei eindimensionalen Unterräume und
> > schließlich noch den [mm]\IZ_2^2[/mm] selber.
> >
> > LG Angela
>
> Ok, wie du gesagt hast:
>
> Wie haben den Nullvektorraum (0,0),
Hallo,
(0,0) ist ein Vektor! KEIN Vektorraum!
Wir haben den Nullvektorraum
[mm] U_1:=\{(0,0)\},
[/mm]
> dann haben wir den eindimensionalen UVR mit
> (1,0)(0,1)(0,0)
Allergröbster Unfug!
Wir haben die eindimensionalen UVRe
[mm] U_2:=\{(0,0), (1,0)\},
[/mm]
[mm] U_3:=\{(0,0), (0,1)\},
[/mm]
[mm] U_4:=\{(0,0), (1,1)\}.
[/mm]
> Und zum Schluss haben wir den zweidimensionalen Raum mit
den Elementen
> (0,0)(1,0)(0,1)(1,1),
also [mm] U_5:=\IZ_2^2.
[/mm]
LG Angela
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> > > Wir haben den Nullvektorraum,
> > > dann die drei eindimensionalen Unterräume und
> > > schließlich noch den [mm]\IZ_2^2[/mm] selber.
> > >
> > > LG Angela
> >
> > Ok, wie du gesagt hast:
> >
> > Wie haben den Nullvektorraum (0,0),
>
> Hallo,
>
> (0,0) ist ein Vektor! KEIN Vektorraum!
>
> Wir haben den Nullvektorraum
>
> [mm]U_1:=\{(0,0)\},[/mm]
>
> > dann haben wir den eindimensionalen UVR mit
> > (1,0)(0,1)(0,0)
>
> Allergröbster Unfug!
>
> Wir haben die eindimensionalen UVRe
>
> [mm]U_2:=\{(0,0), (1,0)\},[/mm]
> [mm]U_3:=\{(0,0), (0,1)\},[/mm]
>
> [mm]U_4:=\{(0,0), (1,1)\}.[/mm]
>
> > Und zum Schluss haben wir den zweidimensionalen Raum mit
> den Elementen
> > (0,0)(1,0)(0,1)(1,1),
> also [mm]U_5:=\IZ_2^2.[/mm]
>
> LG Angela
Wieso ist denn der (1,1) Vektor im eindimensionalen?
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> > Wir haben den Nullvektorraum
> >
> > [mm]U_1:=\{(0,0)\},[/mm]
> > Wir haben die eindimensionalen UVRe
> >
> > [mm]U_2:=\{(0,0), (1,0)\},[/mm]
> > [mm]U_3%3A%3D%5C%7B(0%2C0)%2C%20(0%2C1)%5C%7D%2C[/mm]
> >
> > [mm]U_4:=\{(0,0), (1,1)\}.[/mm]
> >
> > > Und zum Schluss haben wir den
> > also [mm]U_5:=\IZ_2^2.[/mm]
> >
>
> Wieso ist denn der (1,1) Vektor im eindimensionalen?
Hallo,
was meinst Du mit "im Eindimensionalen"?
Es ist [mm] U_4 [/mm] ein UVR des [mm] \IZ^2_2, [/mm] wovon Du Dich durch Prüfen der Kriterien überzeugen kannst.
[mm] U_4 [/mm] hat die Dimension 1, da der Vektor (1,1) eine Basis dieses Raumes ist, wovon Du Dich ebenfalls überzeugen kannst.
Nochmal: nicht Raumschiff Enterprise, nicht die Umgangssprache, sondern die Definitionen und Sätze geben hier den Takt an.
LG Angela
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>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:49 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi Angela,
> Vielleicht aber habt Ihr für jeden Körper K gezeigt,
> daß [mm] K^n [/mm] die Dimension n hat.
man sollte dabei erwähnen, dass hier [mm] $K^n$ [/mm] als $K$-Vektorraum
betrachtet wird. Denn schon [mm] $\IR^1$ [/mm] hat als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] nicht
die Dimension 1 - [mm] $\IQ$ [/mm] ist allerdings auch (echter) Unterkörper
von [mm] $K=\IR\,.$
[/mm]
Nebenbei: Ich hatte MatheDell gefragt, warum es nicht sinnvoll ist,
zu sagen: "Betrachten wir [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum..."
[/mm]
Ich hätte das gerne beantwortet, denn die Antwort auf diese Frage
zeigt schon, inwiefern es noch Verständnisprobleme gibt!
P.S. Auch ergänzend für MatheDell: Anstatt [mm] "$V\,$ [/mm] ist $K$-Vektorraum" sagt man
auch [mm] "$V\,$ [/mm] ist Vektorraum über [mm] $K\,.$"
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] \IR [/mm] auf eine natürliche Weise als [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] aufgefasst werden kann. Aus der Vorlesung wissen Sie, dass [mm] \IR [/mm] ebenfalls auf natürliche Weise ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist. Daher haben wir zwei unterschiedliche Begriffe von "Unterräumen", die Sie in dieser Aufgabe unterscheiden üben sollen: Welche der folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind [mm] \IR- [/mm] Unterräume, welche sind [mm] \IQ- [/mm] Unterräume?
A= {0};
B= [mm] \IR;
[/mm]
C= [mm] \IQ;
[/mm]
D= { [mm] a\wurzel{2}+b\wurzel{3} [/mm] | a,b [mm] \in \IQ [/mm] };
E= [mm] \IZ [/mm] (die Menge der ganzen Zahlen ...,-2,-1,0,1,2,...) |
> Hi Angela,
>
> > Vielleicht aber habt Ihr für jeden Körper K gezeigt,
> > daß [mm]K^n[/mm] die Dimension n hat.
>
> man sollte dabei erwähnen, dass hier [mm]K^n[/mm] als [mm]K[/mm]-Vektorraum
> betrachtet wird. Denn schon [mm]\IR^1[/mm] hat als [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum
> nicht
> die Dimension 1 - [mm]\IQ[/mm] ist allerdings auch (echter)
> Unterkörper
> von [mm]K=\IR\,.[/mm]
>
> Nebenbei: Ich hatte MatheDell gefragt, warum es nicht
> sinnvoll ist,
> zu sagen: "Betrachten wir [mm]\IR[/mm] als [mm]\IC[/mm]-Vektorraum..."
>
> Ich hätte das gerne beantwortet, denn die Antwort auf
> diese Frage
> zeigt schon, inwiefern es noch Verständnisprobleme gibt!
>
> P.S. Auch ergänzend für MatheDell: Anstatt "[mm]V\,[/mm] ist
> [mm]K[/mm]-Vektorraum" sagt man
> auch "[mm]V\,[/mm] ist Vektorraum über [mm]K\,.[/mm]"
>
> Gruß,
> Marcel
Ich verstehe nicht wie man einen [mm] \IR-Vektorraum [/mm] als einen anderen Vektorraum betrachten kann. Deshalb habe ich auch Schwierigkeiten mit meiner nächsten Aufgabe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:16 Mi 24.04.2013 | | Autor: | fred97 |
In einem Vektorraum V über einem Körper K hast Du neben der Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation, welche jedem Paar (t,v) [mm] \in [/mm] K [mm] \times [/mm] V ein Element
$t*v [mm] \in [/mm] V$
zuordnet.
Nun nehmen wir V= [mm] \IR [/mm] und K= [mm] \IR. [/mm] Dann ist [mm] \IR [/mm] ein Vektorraum über [mm] \IR.
[/mm]
Einverstanden ? Prima !
Gibt es jetzt jemanden, der Dich daran hindert reelle Zahlen mit rationalen Zahlen zu multiplizieren ? Nein, gibt es nicht !
Also kannst Du auch V= [mm] \IR [/mm] und K= [mm] \IQ [/mm] nehmen.
dann erhalten wir den tollen Vektorraum [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ [/mm] ( der übrigends die Dimension [mm] \infty [/mm] hat (warum?))
FRED
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> In einem Vektorraum V über einem Körper K hast Du neben
> der Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation, welche
> jedem Paar (t,v) [mm]\in[/mm] K [mm]\times[/mm] V ein Element
>
> [mm]t*v \in V[/mm]
>
> zuordnet.
>
> Nun nehmen wir V= [mm]\IR[/mm] und K= [mm]\IR.[/mm] Dann ist [mm]\IR[/mm] ein
> Vektorraum über [mm]\IR.[/mm]
>
> Einverstanden ? Prima !
>
> Gibt es jetzt jemanden, der Dich daran hindert reelle
> Zahlen mit rationalen Zahlen zu multiplizieren ? Nein, gibt
> es nicht !
Aber wenn mich keiner hindert mit rationalen Zahlen zu multiplizieren, dann sind ja alle Unterräume oben [mm] \IR- [/mm] Unterräume und A,C,D und E könnten auch [mm] \IQ [/mm] -Unterräume sein, oder nicht?
>
> Also kannst Du auch V= [mm]\IR[/mm] und K= [mm]\IQ[/mm] nehmen.
>
> dann erhalten wir den tollen Vektorraum [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ( der
> übrigends die Dimension [mm]\infty[/mm] hat (warum?))
Ich weiß es nicht. Mit der Basis { [mm] (\lambda,0,0)(0,\lambda,0)(0,0,\lambda) [/mm] } könnte man doch jeden Vektoren in [mm] \IR^{3} [/mm] über Q erreichen?
Und die Anzahl der Basisvektoren ist doch die Dimension. Also 3.
>
> FRED
3.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:43 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > In einem Vektorraum V über einem Körper K hast Du neben
> > der Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation, welche
> > jedem Paar (t,v) [mm]\in[/mm] K [mm]\times[/mm] V ein Element
> >
> > [mm]t*v \in V[/mm]
> >
> > zuordnet.
> >
> > Nun nehmen wir V= [mm]\IR[/mm] und K= [mm]\IR.[/mm] Dann ist [mm]\IR[/mm] ein
> > Vektorraum über [mm]\IR.[/mm]
> >
> > Einverstanden ? Prima !
> >
> > Gibt es jetzt jemanden, der Dich daran hindert reelle
> > Zahlen mit rationalen Zahlen zu multiplizieren ? Nein, gibt
> > es nicht !
>
> Aber wenn mich keiner hindert mit rationalen Zahlen zu
> multiplizieren, dann sind ja alle Unterräume oben [mm]\IR-[/mm]
> Unterräume und A,C,D und E könnten auch [mm]\IQ[/mm] -Unterräume
> sein, oder nicht?
ich verstehe gerade die Frage nicht, aber eigentlich ist's so, dass
man immer dazuschreiben sollte, über welchem Körper [mm] $K\,$ [/mm] man
einen Vektorraum betrachtet. Zu fragen "Welche Dimension hat der
Vektorraum [mm] $\IR^3$?" [/mm] ist 'eigentlich' blauäugig. Nur geht der Fragende
davon aus, dass jeder davon ausgeht, dass man [mm] $\IR^3$ [/mm] als [mm] $\IR$-Vektorraum
[/mm]
betrachtet. [mm] $\IR^3$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] - da braucht man anscheinend
in den Augen der Fragestellenden "viel Phantasie". Gute Dozenten sagen aber
etwas dazu, wie man einen Vektorraum wie etwa den [mm] $\IR^3$ [/mm] zu verstehen
hat, wenn nichts weiter dazugesagt wird. Strenggenommen ist ja auch zu
beachten, dass eigentlich auch die Addition und die skalare Multiplikation,
mit der der [mm] $\IR^3$ [/mm] als ausgestattet betrachtet wird, zu erwähnen ist. Da
steht dann meistens auch etwas in den Aufgaben "Wir betrachten den [mm] $\IR^3$
[/mm]
mit üblicher komponentenweiser Addition..." bzw. es wird irgendwann gesagt, dass
man davon ausgehen soll, wenn sonst nichts weiter dazu gesagt wird!
> >
> > Also kannst Du auch V= [mm]\IR[/mm] und K= [mm]\IQ[/mm] nehmen.
> >
> > dann erhalten wir den tollen Vektorraum [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ( der
> > übrigends die Dimension [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
hat (warum?))
>
> Ich weiß es nicht. Mit der Basis {
> [mm](\lambda,0,0)(0,\lambda,0)(0,0,\lambda)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} könnte man doch
> jeden Vektoren in [mm]\IR^{3}[/mm] über Q erreichen?
Also erstens geht's nur um [mm] $\IR^1$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum. [/mm] Natürlich gilt dann
[mm] $\IR=\{r \in \IR\}\,,$ [/mm] aber eine Basis kann hier nicht nur einelementig sein (dass
[mm] $\IR$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $\IQ$ [/mm] eine unendliche Basis haben muss, das will ich noch
nicht mal beweisen - aber auch das sehen wir gleich).
Angenommen, es gäbe ein [mm] $r_0 \in \IR\,,$ [/mm] o.E. [mm] $r_0 \not=0$ [/mm] (warum?) derart, dass
[mm] $\text{linspan}\{r_0\}=\IR\,,$ [/mm] wobei [mm] $\IR$ [/mm] - wie gesagt - als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] betrachtet
wird. (Beachte: Jede Basis ist insbesondere ein EZS!)
Dann folgt insbesondere wegen [mm] $\IR \subseteq \text{linspan}\{r_0\}\,,$ [/mm] dass sich jede
reelle Zahl $r [mm] \in \IR$ [/mm] schreiben läßt als
[mm] $r=q*r_0 \text{ mit einem }q \in \red{\;\IQ\;}\,.$ [/mm] (Edit: Korrgiert!)
(Hierbei ist
[mm] $\text{linspan}\{r_0\}=\{\sum_{k=1}^n \underbrace{\lambda_k *x_k}_{\text{Skalarmultiplikation!}},\;\;\lambda_k \in \red{\;\IQ\;}, x_k \in \{r_0\} \text{ für alle }k=1,...,n;\;\;\;n \in \IN\}=\{\lambda*r_0:\;\lambda \in \red{\;\IQ\;}\}$!)
[/mm]
Daraus folgte, dass [mm] $\IR$ [/mm] abzählbar sein müßte:
[mm] $$\IR \subseteq \{q*r_0:\;\;q \in \IQ\}=\bigcup_{q \in \IQ}\{q*r_0\}\,,$$
[/mm]
weil [mm] $\IQ$ [/mm] abzählbar ist und Teilmengen abzählbarer Mengen abzählbar sind.
Widerspruch.
(Ergänzend: "abzählbar"="endlich oder abzählbar unendlich"!)
Und eigentlich kannst Du nun auch schließen, sofern Du weißt, dass abzählbare Vereinigungen
abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, dass [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] dann insbesondere
keine endliche Basis haben kann - noch nicht mal eine abzählbare Basis:
siehe auch hier (klick!)
Und natürlich hat der [mm] $\IR^3$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] dann insbesondere erst recht keine abzählbare
Basis. Begründe das jetzt auch mal!
Gruß,
Marcel
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> Hallo,
>
> > > In einem Vektorraum V über einem Körper K hast Du neben
> > > der Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation, welche
> > > jedem Paar (t,v) [mm]\in[/mm] K [mm]\times[/mm] V ein Element
> > >
> > > [mm]t*v \in V[/mm]
> > >
> > > zuordnet.
> > >
> > > Nun nehmen wir V= [mm]\IR[/mm] und K= [mm]\IR.[/mm] Dann ist [mm]\IR[/mm] ein
> > > Vektorraum über [mm]\IR.[/mm]
> > >
> > > Einverstanden ? Prima !
> > >
> > > Gibt es jetzt jemanden, der Dich daran hindert reelle
> > > Zahlen mit rationalen Zahlen zu multiplizieren ? Nein, gibt
> > > es nicht !
> >
> > Aber wenn mich keiner hindert mit rationalen Zahlen zu
> > multiplizieren, dann sind ja alle Unterräume oben [mm]\IR-[/mm]
> > Unterräume und A,C,D und E könnten auch [mm]\IQ[/mm] -Unterräume
> > sein, oder nicht?
>
> ich verstehe gerade die Frage nicht, aber eigentlich ist's
> so, dass
> man immer dazuschreiben sollte, über welchem Körper [mm]K\,[/mm]
> man
> einen Vektorraum betrachtet. Zu fragen "Welche Dimension
> hat der
> Vektorraum [mm]\IR^3[/mm]?" ist 'eigentlich' blauäugig. Nur geht
> der Fragende
> davon aus, dass jeder davon ausgeht, dass man [mm]\IR^3[/mm] als
> [mm]\IR[/mm]-Vektorraum
> betrachtet. [mm]\IR^3[/mm] als [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum - da braucht man
> anscheinend
> in den Augen der Fragestellenden "viel Phantasie". Gute
> Dozenten sagen aber
> etwas dazu, wie man einen Vektorraum wie etwa den [mm]\IR^3[/mm] zu
> verstehen
> hat, wenn nichts weiter dazugesagt wird. Strenggenommen
> ist ja auch zu
> beachten, dass eigentlich auch die Addition und die
> skalare Multiplikation,
> mit der der [mm]\IR^3[/mm] als ausgestattet betrachtet wird, zu
> erwähnen ist. Da
> steht dann meistens auch etwas in den Aufgaben "Wir
> betrachten den [mm]\IR^3[/mm]
> mit üblicher komponentenweiser Addition..." bzw. es wird
> irgendwann gesagt, dass
> man davon ausgehen soll, wenn sonst nichts weiter dazu
> gesagt wird!
>
> > >
> > > Also kannst Du auch V= [mm]\IR[/mm] und K= [mm]\IQ[/mm] nehmen.
> > >
> > > dann erhalten wir den tollen Vektorraum [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ[/mm] ( der
> > > übrigends die Dimension [mm]\infty[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}"
> müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil
> ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> hat (warum?))
> >
> > Ich weiß es nicht. Mit der Basis {
> > [mm](\lambda,0,0)(0,\lambda,0)(0,0,\lambda)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{"
> und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> } könnte man doch
> > jeden Vektoren in [mm]\IR^{3}[/mm] über Q erreichen?
>
> Also erstens geht's nur um [mm]\IR^1[/mm] als [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum.
> Natürlich gilt dann
> [mm]\IR=\{r \in \IR\}\,,[/mm] aber eine Basis kann hier nicht nur
> einelementig sein (dass
> [mm]\IR[/mm] als Vektorraum über [mm]\IQ[/mm] eine unendliche Basis haben
> muss, das will ich noch
> nicht mal beweisen - aber auch das sehen wir gleich).
>
> Angenommen, es gäbe ein [mm]r_0 \in \IR\,,[/mm] o.E. [mm]r_0 \not=0[/mm]
> (warum?) derart, dass
> [mm]\text{linspan}\{r_0\}=\IR\,,[/mm] wobei [mm]\IR[/mm] - wie gesagt - als
> [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum betrachtet
> wird. (Beachte: Jede Basis ist insbesondere ein EZS!)
>
> Dann folgt insbesondere wegen [mm]\IR \subseteq \text{linspan}\{r_0\}\,,[/mm]
> dass sich jede
> reelle Zahl [mm]r \in \IR[/mm] schreiben läßt als
> [mm]r=q*r_0 \text{ mit einem }q \in \IR\,.[/mm]
müsste es nicht [mm] "r=q*r_0 \text{ mit einem }q \in \IQ"
[/mm]
>
> (Hierbei ist
>
> [mm]\text{linspan}\{r_0\}=\{\sum_{k=1}^n \underbrace{\lambda_k *x_k}_{\text{Skalarmultiplikation!}},\;\;\lambda_k \in \red{\;\IQ\;}, x_k \in \{r_0\} \text{ für alle }k=1,...,n;\;\;\;n \in \IN\}=\{\lambda*r_0:\;\lambda \in \red{\;\IQ\;}\}[/mm]!)
>
> Daraus folgte, dass [mm]\IR[/mm] abzählbar sein müßte:
> [mm]\IR \subseteq \{q*r_0:\;\;q \in \IQ\}=\bigcup_{q \in \IQ}\{q*r_0\}\,,[/mm]
>
> weil [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist und Teilmengen abzählbarer Mengen
> abzählbar sind.
> Widerspruch.
> (Ergänzend: "abzählbar"="endlich oder abzählbar
> unendlich"!)
>
> Und eigentlich kannst Du nun auch schließen, sofern Du
> weißt, dass abzählbare Vereinigungen
> abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, dass [mm]\IR[/mm] als
> [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum dann insbesondere
> keine endliche Basis haben kann - noch nicht mal eine
> abzählbare Basis:
> siehe auch hier (klick!)
>
> Und natürlich hat der [mm]\IR^3[/mm] als [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum dann
> insbesondere erst recht keine abzählbare
> Basis. Begründe das jetzt auch mal!
>
> Gruß,
> Marcel
Also kann man für [mm] \IR-Vektorräume [/mm] über [mm] \IQ [/mm] keine Basen angeben, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > [mm]r=q*r_0 \text{ mit einem }q \in \IR\,.[/mm]
> müsste es
> nicht [mm]"r=q*r_0 \text{ mit einem }q \in \IQ"[/mm]
richtig! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ich korrigiere meinen Verschreiber gleich mal. Danke für
den Hinweis!
> > (Hierbei ist
> >
> > [mm]\text{linspan}\{r_0\}=\{\sum_{k=1}^n \underbrace{\lambda_k *x_k}_{\text{Skalarmultiplikation!}},\;\;\lambda_k \in \red{\;\IQ\;}, x_k \in \{r_0\} \text{ für alle }k=1,...,n;\;\;\;n \in \IN\}=\{\lambda*r_0:\;\lambda \in \red{\;\IQ\;}\}[/mm]!)
>
> >
> > Daraus folgte, dass [mm]\IR[/mm] abzählbar sein müßte:
> > [mm]\IR \subseteq \{q*r_0:\;\;q \in \IQ\}=\bigcup_{q \in \IQ}\{q*r_0\}\,,[/mm]
>
> >
> > weil [mm]\IQ[/mm] abzählbar ist und Teilmengen abzählbarer Mengen
> > abzählbar sind.
> > Widerspruch.
> > (Ergänzend: "abzählbar"="endlich oder abzählbar
> > unendlich"!)
> >
> > Und eigentlich kannst Du nun auch schließen, sofern Du
> > weißt, dass abzählbare Vereinigungen
> > abzählbarer Mengen wieder abzählbar sind, dass [mm]\IR[/mm]
> als
> > [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum dann insbesondere
> > keine endliche Basis haben kann - noch nicht mal eine
> > abzählbare Basis:
> > siehe auch hier (klick!)
>
> >
> > Und natürlich hat der [mm]\IR^3[/mm] als [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum dann
> > insbesondere erst recht keine abzählbare
> > Basis. Begründe das jetzt auch mal!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
> Also kann man für [mm]\IR-Vektorräume[/mm] über [mm]\IQ[/mm]
Du meinst "den" [mm] $\red{\IQ}$-Vektorraum $\IR\,.$ [/mm] Du vermischst da Sprechweisen:
[mm] $\bullet$ [/mm] der [mm] $\IQ$-Vektorraum $\IR$ [/mm] (allg.: [mm] $K\,$-Vektorraum $V\,$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ $\IR$ [/mm] als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] (allg.: [mm] $V\,$ [/mm] als [mm] $K\,$-Vektorraum)
[/mm]
[mm] $\bullet$ $\IR$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $\IQ$ [/mm] (allg.: [mm] $V\,$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $K\,$)
[/mm]
.
.
.
Sowas kann man sagen! Achte drauf, wo [mm] $V\,$ [/mm] steht und wo [mm] $K\,$ [/mm] steht! Übrigens
wäre eine der möglichen Begründungen oben:
Für jedes [mm] $n\,$ [/mm] kann [mm] $\IR^n$ [/mm] als Vektorraum über [mm] $\IQ$ [/mm] keine endliche (noch nicht mal
abzählbare) Basis haben - dies folgt durch Betrachten des Unterraums [mm] $\text{linspan}\{e_1\}$ [/mm] mit
[mm] $e_1:=(1,0,...,0)^T \in \IR^n\,.$ [/mm] (Man beachte [mm] $e_1=e_1(n)\,.$) [/mm]
> keine Basen
> angeben, oder?
Warum nicht? Du kannst auch nicht alle Elemente von [mm] $\IR$ [/mm] hinschreiben - und dennoch kann
man [mm] $\IR$ [/mm] hinschreiben bzw. angeben, was das sein soll. Ist halt die Frage, was Du mit "hinschreiben"
oder "angeben" konktet meinst! "Aufzählen/Abzählen" lassen sich Basen von [mm] $\IR^n$ [/mm] als [mm] $\IQ$-VR [/mm] jedenfalls
nicht, wenn Du das meinst...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
@ MatheDell:
> In einem Vektorraum V über einem Körper K hast Du neben
> der Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation, welche
> jedem Paar (t,v) [mm]\in[/mm] K [mm]\times[/mm] V ein Element
>
> [mm]t*v \in V[/mm]
>
> zuordnet.
So: Und wieso kann man nun nicht [mm] $\IR$ [/mm] als [mm] $\IC$-Vektorraum [/mm]
auffassen?
Gilt für $z [mm] \in \IC=K$ [/mm] und $v [mm] \in \IR=V$ [/mm] denn auch stets
$$z * v [mm] \in V=\IR \text{ ?}$$
[/mm]
Dabei ist [mm] $\cdot$ [/mm] die übliche Multiplikation in [mm] $\IC\,.$
[/mm]
Und falls Du diese Frage mit der Antwort "Nein!" beantwortest:
Beispiel?
Gruß,
Marcel
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> @ MatheDell:
> > In einem Vektorraum V über einem Körper K hast Du
> neben
> > der Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation, welche
> > jedem Paar (t,v) [mm]\in[/mm] K [mm]\times[/mm] V ein Element
> >
> > [mm]t*v \in V[/mm]
> >
> > zuordnet.
>
> So: Und wieso kann man nun nicht [mm]\IR[/mm] als [mm]\IC[/mm]-Vektorraum
> auffassen?
>
> Gilt für [mm]z \in \IC=K[/mm] und [mm]v \in \IR=V[/mm] denn auch stets
> [mm]z * v \in V=\IR \text{ ?}[/mm]
Das heißt, wenn ich einen Vektorraum [mm] \IR [/mm] über C hätte, wäre z.B.
[mm] \pi*\pi+i=\pi^{2}+\pi*i, [/mm] was nicht in [mm] \IR [/mm] ist und deshalb kann der Vektorraum [mm] \IR [/mm] nicht über C sein, oder?
>
> Dabei ist [mm]\cdot[/mm] die übliche Multiplikation in [mm]\IC\,.[/mm]
>
> Und falls Du diese Frage mit der Antwort "Nein!"
> beantwortest:
> Beispiel?
>
> Gruß,
> Marcel
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> > So: Und wieso kann man nun nicht [mm]\IR[/mm] als [mm]\IC[/mm]-Vektorraum
> > auffassen?
> >
> > Gilt für [mm]z \in \IC=K[/mm] und [mm]v%20%5Cin%20%5CIR%3DV[/mm] denn auch stets
> > [mm]z * v \in V=\IR \text{ ?}[/mm]
>
Hallo,
> Das heißt, wenn ich einen Vektorraum [mm]\IR[/mm] über C hätte,
> wäre
wegen [mm] z:=(\pi+i)\in \IC [/mm] und [mm] v:=\pi\in\IR
[/mm]
der Vektor [mm] (\pi+i)*\pi=
[/mm]
> [mm]=\pi^{2}+\pi*i,[/mm] in [mm] \IR.
[/mm]
> was nicht in [mm]\IR[/mm] ist und deshalb
> kann der Vektorraum [mm]%5CIR[/mm] nicht über C sein, oder?
Ja, genau.
LG Angela
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > @ MatheDell:
> > > In einem Vektorraum V über einem Körper K hast Du
> > neben
> > > der Vektoraddition noch die Skalarmultiplikation, welche
> > > jedem Paar (t,v) [mm]\in[/mm] K [mm]\times[/mm] V ein Element
> > >
> > > [mm]t*v \in V[/mm]
> > >
> > > zuordnet.
> >
> > So: Und wieso kann man nun nicht [mm]\IR[/mm] als [mm]\IC[/mm]-Vektorraum
> > auffassen?
> >
> > Gilt für [mm]z \in \IC=K[/mm] und [mm]v \in \IR=V[/mm] denn auch stets
> > [mm]z * v \in V=\IR \text{ ?}[/mm]
>
> Das heißt, wenn ich einen Vektorraum [mm]\IR[/mm] über C hätte,
> wäre z.B.
> [mm]\pi*\pi+i=\pi^{2}+\pi*i,[/mm]
Du meinst sicher [mm] $\pi*\red{(\;}\pi+i\red{\;)}=\pi^2+\pi*i$
[/mm]
(Klammern nicht verschlampen!)
> was nicht in [mm]\IR[/mm] ist und deshalb
> kann der Vektorraum [mm]\IR[/mm] nicht über C sein, oder?
Ich würde es formulieren als "kann [mm] $\IR$ [/mm] nicht als Vektorraum über [mm] $\IC$ [/mm]
aufgefasst werden"!
Beispielsweise. Du darfst aber einfacher denken:
Für $i [mm] \in (\IC \setminus \IR) \subseteq \IC$ [/mm] und $1 [mm] \in \IR$ [/mm] ist
$$i*1=i [mm] \in \IC \setminus \IR\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass [mm] \IR [/mm] auf eine natürliche Weise als [mm] \IQ-Vektorraum [/mm] aufgefasst werden kann. Aus der Vorlesung wissen Sie, dass [mm] \IR [/mm] ebenfalls auf natürliche Weise ein [mm] \IR-Vektorraum [/mm] ist. Daher haben wir zwei unterschiedliche Begriffe von "Unterräumen", die Sie in dieser Aufgabe unterscheiden üben sollen: Welche der folgenden Teilmengen von [mm] \IR [/mm] sind [mm] \IR- [/mm] Unterräume, welche sind [mm] \IQ- [/mm] Unterräume?
A= {0};
B= [mm] \IR;
[/mm]
C= [mm] \IQ;
[/mm]
D= { [mm] a\wurzel{2}+b\wurzel{3} [/mm] | a,b [mm] \in \IQ [/mm] };
E= [mm] \IZ [/mm] (die Menge der ganzen Zahlen ...,-2,-1,0,1,2,...) |
Eigentlich sind doch alle Mengen sowohl [mm] \IR- [/mm] Vektorräume [mm] \IR [/mm] als auch [mm] \IQ- [/mm] Vektorräume [mm] \IR,
[/mm]
weil man mit mit einer reellen und reellen bzw reellen und rationalen alle reellen Zahlen bilden kann.
Oder nicht?
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> Zeigen Sie, dass [mm]\IR[/mm] auf eine natürliche Weise als
> [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] aufgefasst werden kann. Aus der Vorlesung
> wissen Sie, dass [mm]\IR[/mm] ebenfalls auf natürliche Weise ein
> [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist. Daher haben wir zwei unterschiedliche
> Begriffe von "Unterräumen", die Sie in dieser Aufgabe
> unterscheiden üben sollen: Welche der folgenden Teilmengen
> von [mm]\IR[/mm] sind [mm]\IR-[/mm] Unterräume, welche sind [mm]\IQ-[/mm]
> Unterräume?
>
> A= {0};
> B= [mm]\IR;[/mm]
> C= [mm]\IQ;[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> D= { [mm]a\wurzel{2} b\wurzel{3}[/mm] | a,b [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
};
> E= [mm]\IZ[/mm] (die Menge der ganzen Zahlen ...,-2,-1,0,1,2,...)
>
>
> Eigentlich sind doch alle Mengen sowohl [mm]\IR-[/mm] Vektorräume
> [mm]\IR[/mm] als auch [mm]\IQ-[/mm] Vektorräume [mm]\IR,[/mm]
Hallo,
leider sieht man schon hier, daß Du die Frage überhaupt nicht verstanden hast.
Daß [mm] \IR [/mm] sowohl ein VR über dem Körper [mm] \IR [/mm] als auch über dem Körper [mm] \IQ [/mm] ist, wurde doch bereits besprochen und steht überhaupt nicht zur Debatte.
Kümmern wir uns zuerst um [mm] \IR, [/mm] betrachtet als VR über [mm] \IR:
[/mm]
Als VR über [mm] \IR [/mm] hat [mm] \IR [/mm] die Dimension 1,
was zur Folge hat, daß es nur die beiden Unterräume gibt, die jeder VR hat: den Nullraum und den VR selber.
Schon mit dieser Überlegung scheiden oben drei der Mengen als UVR des [mm] \IR-Vektorraumes \IR [/mm] aus.
Aber man sollte sich das auch anders überlegen, nämlich mit den Unterraumkriterien.
Nehmen wir examplarisch die Menge C.
1.
Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
2.
Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
3.
wenn ich ein Element aus C mit einer reellen Zahl multipliziere, ist das Ergebnis dann stets in C?
Ähnlich ist bei den anderen Mengen auch zu überlegen.
Als VR über [mm] \IQ [/mm] betrachtet, hat [mm] \IR [/mm] die Dimension [mm] \infty, [/mm] woran man schon merkt, daß sich der [mm] \IR-VR \IR [/mm] und der [mm] \IQ-VR \IR [/mm] ganz deutlich unterscheiden.
Schauen wir nun, ob C ein UVR des [mm] \IQ-Vektorraumes \IR [/mm] ist. Dazu müssen wir wieder mit den Unterraumkriterien arbeiten:
1.
Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
2.
Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
3.
wenn ich ein Element aus C mit einer rationalen Zahl multipliziere, ist das Ergebnis dannstets in C?
> weil man mit mit einer reellen und reellen bzw reellen und
> rationalen alle reellen Zahlen bilden kann.
Es steht bei der Frage nach "Unterraum" nicht zur Debatte, ob man alle reellen Zahlen bilden kann.
Zur Debatte steht, ob die Unterraumkriterien erfüllt sind.
LG Angela
>
> Oder nicht?
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> > Zeigen Sie, dass [mm]\IR[/mm] auf eine natürliche Weise als
> > [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] aufgefasst werden kann. Aus der
> Vorlesung
> > wissen Sie, dass [mm]\IR[/mm] ebenfalls auf natürliche Weise
> ein
> > [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist. Daher haben wir zwei
> unterschiedliche
> > Begriffe von "Unterräumen", die Sie in dieser Aufgabe
> > unterscheiden üben sollen: Welche der folgenden
> Teilmengen
> > von [mm]\IR[/mm] sind [mm]\IR-[/mm] Unterräume, welche sind [mm]\IQ-[/mm]
> > Unterräume?
> >
> > A= {0};
> > B= [mm]\IR;[/mm]
> > C= [mm]\IQ;[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
>
> > D= { [mm]a\wurzel{2} b\wurzel{3}[/mm] | a,b [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> };
> > E= [mm]\IZ[/mm] (die Menge der ganzen Zahlen
> ...,-2,-1,0,1,2,...)
> >
> >
> > Eigentlich sind doch alle Mengen sowohl [mm]\IR-[/mm]
> Vektorräume
> > [mm]\IR[/mm] als auch [mm]\IQ-[/mm] Vektorräume [mm]\IR,[/mm]
>
> Hallo,
>
> leider sieht man schon hier, daß Du die Frage überhaupt
> nicht verstanden hast.
> Daß [mm]\IR[/mm] sowohl ein VR über dem Körper [mm]\IR[/mm] als auch
> über dem Körper [mm]\IQ[/mm] ist, wurde doch bereits besprochen
> und steht überhaupt nicht zur Debatte.
>
> Kümmern wir uns zuerst um [mm]\IR,[/mm] betrachtet als VR über
> [mm]\IR:[/mm]
>
> Als VR über [mm]\IR[/mm] hat [mm]\IR[/mm] die Dimension 1,
> was zur Folge hat, daß es nur die beiden Unterräume
> gibt, die jeder VR hat: den Nullraum und den VR selber.
> Schon mit dieser Überlegung scheiden oben drei der Mengen
> als UVR des [mm]\IR-Vektorraumes \IR[/mm] aus.
>
> Aber man sollte sich das auch anders überlegen, nämlich
> mit den Unterraumkriterien.
> Nehmen wir examplarisch die Menge C.
> 1.
> Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
Der Nullvektor ist in allen Räumen von A-E enthalten.
> 2.
> Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
Sei x,y [mm] \in \IQ, [/mm] dann ist x+y [mm] \IQ
[/mm]
Stimmt, jedes mehrfache einer rationalen Zahl ist wieder eine rationale Zahl
> 3.
> wenn ich ein Element aus C mit einer reellen Zahl
> multipliziere, ist das Ergebnis dann stets in C?
Nein, wenn man eine rationale Zahl mit einer reellen multipliziert, ist sie nicht mehr [mm] \in \IQ.
[/mm]
>
> Ähnlich ist bei den anderen Mengen auch zu überlegen.
>
>
> Als VR über [mm]\IQ[/mm] betrachtet, hat [mm]\IR[/mm] die Dimension [mm]\infty,[/mm]
> woran man schon merkt, daß sich der [mm]\IR-VR \IR[/mm] und der
> [mm]\IQ-VR \IR[/mm] ganz deutlich unterscheiden.
>
> Schauen wir nun, ob C ein UVR des [mm]\IQ-Vektorraumes \IR[/mm] ist.
> Dazu müssen wir wieder mit den Unterraumkriterien
> arbeiten:
>
> 1.
> Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
Der Nullvektor ist in allen Räumen von A-E enthalten.
> 2.
> Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
Sei x,y [mm] \in \IQ, [/mm] dann ist x+y [mm] \IQ
[/mm]
Stimmt, jedes mehrfache einer rationalen Zahl ist wieder eine rationale Zahl
> 3.
> wenn ich ein Element aus C mit einer rationalen Zahl
> multipliziere, ist das Ergebnis dannstets in C?
Wie bei 2.
>
>
> > weil man mit mit einer reellen und reellen bzw reellen und
> > rationalen alle reellen Zahlen bilden kann.
>
> Es steht bei der Frage nach "Unterraum" nicht zur Debatte,
> ob man alle reellen Zahlen bilden kann.
>
> Zur Debatte steht, ob die Unterraumkriterien erfüllt
> sind.
>
> LG Angela
> >
> > Oder nicht?
Also sind C und E keine [mm] \IR- [/mm] Untervektorräume R bzw. [mm] \IQ-Untervektorräume \IR
[/mm]
Für A und B gelten alle Bedingungen.
Bei D bin ich mir unsicher:
Wenn ich ein Element aus D mit einer reellen Zahl multipliere ist es ja reell, aber das ist es ja sowieso schon wegen [mm] \wurzel{2} [/mm] bzw. [mm] \wurzel{3}
[/mm]
Und wenn ich zwei Elemente miteinander addiere ist die wegen den irrationalen Wurzeln nicht mehr in [mm] \IQ [/mm] also ist D weder ein UVR von [mm] \IR- [/mm] Untervektorraum R noch von [mm] \IQ-Untervektorraum \IR
[/mm]
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> > > Zeigen Sie, dass [mm]%25255CIR[/mm] auf eine natürliche Weise als
> > > [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] aufgefasst werden kann. Aus der
> > Vorlesung
> > > wissen Sie, dass [mm]%25255CIR[/mm] ebenfalls auf natürliche Weise
> > ein
> > > [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist. Daher haben wir zwei
> > unterschiedliche
> > > Begriffe von "Unterräumen", die Sie in dieser
> Aufgabe
> > > unterscheiden üben sollen: Welche der folgenden
> > Teilmengen
> > > von [mm]%25255CIR[/mm] sind [mm]\IR-[/mm] Unterräume, welche sind [mm]\IQ-[/mm]
> > > Unterräume?
> > >
> > > A= {0};
> > > B= [mm]\IR;[/mm]
> > > C= [mm]\IQ;[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> [color=red]paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne [/color]
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> >
> > > D= { [mm]a\wurzel{2} b\wurzel{3}[/mm] | a,b [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> [color=red]"{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde [/color]
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> [color=red]Markierung)[/color]
>
> Eingabefehler:
> > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> > };
> > > E= [mm]\IZ[/mm] (die Menge der ganzen Zahlen
> > ...,-2,-1,0,1,2,...)
> > >
Hallo,
> >
> > Kümmern wir uns zuerst um [mm]\IR,[/mm] betrachtet als VR über
> > [mm]\IR:[/mm]
> >
> > mit den Unterraumkriterien.
> > Nehmen wir examplarisch die Menge C.
> > 1.
> > Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
> Der Nullvektor ist in allen Räumen von A-E enthalten.
Ja.
> > 2.
> > Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
> Sei x,y [mm]\in \IQ,[/mm] dann ist x+y [mm]\IQ[/mm]
> Stimmt, jedes mehrfache einer rationalen Zahl ist wieder
> eine rationale Zahl
Um Mehrfache geht es hier nicht, sondern um die Summe. Die Summe zweier rationaler zahlen ist eine rationale Zahl.
> > 3.
> > wenn ich ein Element aus C mit einer reellen Zahl
> > multipliziere, ist das Ergebnis dann stets in C?
> Nein, wenn man eine rationale Zahl mit einer reellen
> multipliziert, ist sie nicht mehr [mm]\in \IQ.[/mm]
Bedenke, daß [mm] \bruch{1}{2} [/mm] auch eine reelle Zahl ist. (Jede rationale Zahl ist auch reell. Die reellen Zahlen teilen sich auf in rationale und irrationale Zahlen.)
Du meinst es aber richtig:
wenn man eine rationale Zahl mit einer reellen multipliziert, kann es sein, daß das Ergebnis nicht rational ist.
Oder: wenn man eine rationale Zahl mit einer irrationalen multipliziert, ist das Ergebnis irrational.
So, und weil es so ist, wie Du es herausgefunden hast, wissen wir nun, daß die Menge [mm] \IQ [/mm] kein [mm] \IR-Untervektorraum [/mm] von [mm] \IR [/mm] ist.
> > Schauen wir nun, ob C ein UVR des [mm]\IQ-Vektorraumes \IR[/mm] ist.
> > Dazu müssen wir wieder mit den Unterraumkriterien
> > arbeiten:
> >
> > 1.
> > Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
> Der Nullvektor ist in allen Räumen von A-E enthalten.
Ja.
> > 2.
> > Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
> Sei x,y [mm]\in \IQ,[/mm] dann ist x+y [mm]\IQ[/mm]
> Stimmt, jedes mehrfache einer rationalen Zahl ist wieder
> eine rationale Zahl
s.o.
> > 3.
> > wenn ich ein Element aus C mit einer rationalen Zahl
> > multipliziere, ist das Ergebnis dannstets in C?
> Wie bei 2.
Nö. Du multiplizerst hier doch zwei rationale Zahlen.
>
> Also sind C und E keine [mm]\IR-[/mm] Untervektorräume R bzw.
> [mm]\IQ-Untervektorräume \IR[/mm]
Schreib mal genauer auf, was Du meinst, damit man eindeutig mit "richtig" oder "falsch" antworten kann.
C ist ein/kein [mm] \IR-Untervektorraum [/mm] von [mm] \IR
[/mm]
C ist ein/kein [mm] \IQ-Untervektorraum [/mm] von [mm] \IR
[/mm]
usw.
>
> Für A und B gelten alle Bedingungen.
Ja. Die sind Untervektorräume von [mm] \IR [/mm] über [mm] \IR [/mm] und von [mm] \IR [/mm] über [mm] \IQ.
[/mm]
>
> Bei D bin ich mir unsicher:
> Wenn ich ein Element aus D mit einer reellen Zahl
> multipliere ist es ja reell, aber das ist es ja sowieso
> schon wegen [mm]\wurzel{2}[/mm] bzw. [mm]\wurzel{3}[/mm]
Naja, in D sind ja nur Zahlen, die genau die angegebene Form haben.
Z.B. ist [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{2}+7\wurzel{3}\in [/mm] D.
Was ist, wenn ich diese Zahl mit 5 multipliziere?
Was ist, wenn ich sie mit [mm] \pi [/mm] multipliziere?
Oder mit [mm] \wurzel{2}?
[/mm]
>
> Und wenn ich zwei Elemente miteinander addiere ist die
> wegen den irrationalen Wurzeln nicht mehr in [mm]\IQ[/mm] also ist D
Moment! Es geht darum, ob die Summe zweier zahlen aus D auch von der Gestalt
"rationale Zahl [mm] *\wurzel{2}+rationale Zahl*\wurzel{3}" [/mm] ist.
LG Angela
> weder ein UVR von [mm]\IR-[/mm] Untervektorraum R noch von
> [mm]\IQ-Untervektorraum \IR[/mm]
>
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> > > > Zeigen Sie, dass [mm]%25255CIR[/mm] auf eine natürliche Weise als
> > > > [mm]\IQ-Vektorraum[/mm] aufgefasst werden kann. Aus der
> > > Vorlesung
> > > > wissen Sie, dass [mm]%25255CIR[/mm] ebenfalls auf natürliche
> Weise
> > > ein
> > > > [mm]\IR-Vektorraum[/mm] ist. Daher haben wir zwei
> > > unterschiedliche
> > > > Begriffe von "Unterräumen", die Sie in dieser
> > Aufgabe
> > > > unterscheiden üben sollen: Welche der folgenden
> > > Teilmengen
> > > > von [mm]%25255CIR[/mm] sind [mm]\IR-[/mm] Unterräume, welche sind
> [mm]\IQ-[/mm]
> > > > Unterräume?
> > > >
> > > > A= {0};
> > > > B= [mm]\IR;[/mm]
> > > > C= [mm]\IQ;[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > [color=red]paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> [/color]
> > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> >
> > Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer
> > > paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne
> > > Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> > >
> > >
> > > > D= { [mm]a\wurzel{2} b\wurzel{3}[/mm] | a,b [mm]\in \IQ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler:
> "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde
> aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler:
> > [color=red]"{" und "}" müssen immer paarweise auftreten,
> es wurde [/color]
> > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > [color=red]Markierung)[/color]
> >
> > Eingabefehler:
> > > "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es
> wurde
> > > aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > > Markierung)
> > >
> > > };
> > > > E= [mm]\IZ[/mm] (die Menge der ganzen Zahlen
> > > ...,-2,-1,0,1,2,...)
> > > >
>
> Hallo,
>
> > >
> > > Kümmern wir uns zuerst um [mm]\IR,[/mm] betrachtet als VR
> über
> > > [mm]\IR:[/mm]
> > >
>
> > > mit den Unterraumkriterien.
> > > Nehmen wir examplarisch die Menge C.
> > > 1.
> > > Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
> > Der Nullvektor ist in allen Räumen von A-E enthalten.
>
> Ja.
>
> > > 2.
> > > Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
> > Sei x,y [mm]\in \IQ,[/mm] dann ist x+y [mm]\IQ[/mm]
> > Stimmt, jedes mehrfache einer rationalen Zahl ist
> wieder
> > eine rationale Zahl
>
> Um Mehrfache geht es hier nicht, sondern um die Summe. Die
> Summe zweier rationaler zahlen ist eine rationale Zahl.
>
> > > 3.
> > > wenn ich ein Element aus C mit einer reellen Zahl
> > > multipliziere, ist das Ergebnis dann stets in C?
> > Nein, wenn man eine rationale Zahl mit einer reellen
> > multipliziert, ist sie nicht mehr [mm]\in \IQ.[/mm]
>
> Bedenke, daß [mm]\bruch{1}{2}[/mm] auch eine reelle Zahl ist. (Jede
> rationale Zahl ist auch reell. Die reellen Zahlen teilen
> sich auf in rationale und irrationale Zahlen.)
> Du meinst es aber richtig:
> wenn man eine rationale Zahl mit einer reellen
> multipliziert, kann es sein, daß das Ergebnis nicht
> rational ist.
> Oder: wenn man eine rationale Zahl mit einer irrationalen
> multipliziert, ist das Ergebnis irrational.
>
> So, und weil es so ist, wie Du es herausgefunden hast,
> wissen wir nun, daß die Menge [mm]\IQ[/mm] kein [mm]\IR-Untervektorraum[/mm]
> von [mm]\IR[/mm] ist.
>
>
> > > Schauen wir nun, ob C ein UVR des [mm]\IQ-Vektorraumes \IR[/mm]
> ist.
> > > Dazu müssen wir wieder mit den Unterraumkriterien
> > > arbeiten:
> > >
> > > 1.
> > > Ist der Nullvektor (also die 0) drin?
> > Der Nullvektor ist in allen Räumen von A-E enthalten.
>
> Ja.
>
> > > 2.
> > > Ist die Summe zweier Elemente aus C wieder in C?
> > Sei x,y [mm]\in \IQ,[/mm] dann ist x+y [mm]\IQ[/mm]
> > Stimmt, jedes mehrfache einer rationalen Zahl ist
> wieder
> > eine rationale Zahl
>
> s.o.
>
> > > 3.
> > > wenn ich ein Element aus C mit einer rationalen Zahl
> > > multipliziere, ist das Ergebnis dannstets in C?
> > Wie bei 2.
>
> Nö. Du multiplizerst hier doch zwei rationale Zahlen.
Also zwei rationale Zahlen multipliziert ergibt wieder eine rationale und deshalb ist die Zahl wieder in [mm] \IQ.
[/mm]
>
>
> >
> > Also sind C und E keine [mm]\IR-[/mm] Untervektorräume R bzw.
> > [mm]\IQ-Untervektorräume \IR[/mm]
>
> Schreib mal genauer auf, was Du meinst, damit man eindeutig
> mit "richtig" oder "falsch" antworten kann.
>
> C ist ein/kein [mm]\IR-Untervektorraum[/mm] von [mm]\IR[/mm]
> C ist ein/kein [mm]\IQ-Untervektorraum[/mm] von [mm]\IR[/mm]
>
> usw.
A und B sind [mm] \IR-Untervektorräume [/mm] von [mm] \IR
[/mm]
A, B, C und D sind [mm] \IQ-Untervektorräume [/mm] von [mm] \IR [/mm]
>
> >
> > Für A und B gelten alle Bedingungen.
>
> Ja. Die sind Untervektorräume von [mm]\IR[/mm] über [mm]\IR[/mm] und von
> [mm]\IR[/mm] über [mm]\IQ.[/mm]
>
> >
> > Bei D bin ich mir unsicher:
> > Wenn ich ein Element aus D mit einer reellen Zahl
> > multipliere ist es ja reell, aber das ist es ja sowieso
> > schon wegen [mm]\wurzel{2}[/mm] bzw. [mm]\wurzel{3}[/mm]
>
> Naja, in D sind ja nur Zahlen, die genau die angegebene
> Form haben.
> Z.B. ist [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}+7\wurzel{3}\in[/mm] D.
>
> Was ist, wenn ich diese Zahl mit 5 multipliziere?
Dann ist die Zahl in [mm] \IQ.
[/mm]
> Was ist, wenn ich sie mit [mm]\pi[/mm] multipliziere?
Dann ist die Zahl in [mm] \IR [/mm] aber nicht in [mm] \IQ.
[/mm]
> Oder mit [mm]\wurzel{2}?[/mm]
Dann ist die Zahl in [mm] \IR [/mm] aber nicht in [mm] \IQ.
[/mm]
>
> >
> > Und wenn ich zwei Elemente miteinander addiere ist die
> > wegen den irrationalen Wurzeln nicht mehr in [mm]\IQ[/mm] also
> ist D
>
> Moment! Es geht darum, ob die Summe zweier zahlen aus D
> auch von der Gestalt
> "rationale Zahl [mm]*\wurzel{2}+rationale Zahl*\wurzel{3}"[/mm]
> ist.
Dann gilt das für alle Zahlen aus dem [mm] \IQ-UVR [/mm] von [mm] \IR [/mm] und für manche Zahlen aus dem [mm] \IR-UVR [/mm] von [mm] \IR
[/mm]
>
> LG Angela
>
> > weder ein UVR von [mm]\IR-[/mm] Untervektorraum R noch von
> > [mm]\IQ-Untervektorraum \IR[/mm]
> >
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> > > > Welche der folgenden
> > > > Teilmengen
> > > > > von [mm]%5CIR[/mm] sind [mm]\IR-[/mm] Unterräume, welche sind
> > [mm]\IQ-[/mm]
> > > > > Unterräume?
> > > > >
> > > > > A= [mm] \{0\};
[/mm]
> > > > > B= [mm]\IR;[/mm]
> > > > > C= [mm]\IQ;[/mm]
> > > > > D= [mm] \{a\wurzel{2} +b\wurzel{3}| a,b\in \IQ\}
[/mm]
> > > > > E= [mm]\IZ[/mm] (die Menge der ganzen Zahlen ...,-2,-1,0,1,2,...)
Hallo,
> A und B sind [mm]\IR-Untervektorräume[/mm] von [mm]%5CIR[/mm]
Ja.
> A, B, C und D sind [mm]\IQ-Untervektorräume[/mm] von [mm]%5CIR[/mm]
Ja.
> > in D sind ja nur Zahlen, die genau die angegebene
> > Form haben.
> > Z.B. ist [mm]\bruch{1}{2}\wurzel{2}+ 7\wurzel{3}\in[/mm] D.
> >
> > Was ist, wenn ich diese Zahl mit 5 multipliziere?
> Dann ist die Zahl in [mm]\IQ.[/mm]
Nein. Wir bekommen dann doch [mm] 5*(\bruch{1}{2}\wurzel{2}+ 7\wurzel{3})=\bruch{5}{2}\wurzel{2}+ 35\wurzel{3}.
[/mm]
Die zahl ist nicht in [mm] \IQ, [/mm] aber sie ist in D, weil sie die entsprechende Gestalt hat.
> > Was ist, wenn ich sie mit [mm]\pi[/mm] multipliziere?
> Dann ist die Zahl in [mm]%5CIR[/mm] aber nicht in [mm]\IQ.[/mm]
Wahrscheinlich meinst Du es richtig:
die Faktoren vor [mm] \wurzel{2} [/mm] und [mm] \wurzel{3} [/mm] sind dann nicht in [mm] \IQ, [/mm] und deshalb ist die Zahl nicht in D.
Du mußt genau schreiben, was Du meinst. Sonst ist es falsch!
> > Oder mit [mm]\wurzel{2}?[/mm]
> Dann ist die Zahl in [mm]%5CIR[/mm] aber nicht in [mm]\IQ.[/mm]
Wir bekommen dann 1+ [mm] (7\wurzel{2})*\wurzel{3}, [/mm] und diese Zahl hat überhaupt nicht die geforderte Gestalt, ist also nicht in D.
> >
> > >
> > > Und wenn ich zwei Elemente miteinander addiere ist
> > Es geht darum, ob die Summe zweier zahlen aus D
> > auch von der Gestalt
> > "rationale Zahl [mm]*\wurzel{2} rationale Zahl*\wurzel{3}"[/mm]
> > ist.
> Dann gilt das für alle Zahlen aus dem [mm]\IQ-UVR[/mm] von [mm]%5CIR[/mm] und
> für manche Zahlen aus dem [mm]\IR-UVR[/mm] von
[mm]%5CIR[/mm]
???
Seien [mm] a,b,c,d\in \IQ.
[/mm]
Dann sind [mm] a\wurzel{2} +b\wurzel{3} [/mm] und [mm] c\wurzel{2} +d\wurzel{3} [/mm] in D.
Nun die Summe:
[mm] (a\wurzel{2} +b\wurzel{3})+(c\wurzel{2} +d\wurzel{3})=...=(a+c)\wurzel{2}+(b+d)\wurzel{3}.
[/mm]
Weil die Summen a+c und b+d beide in [mm] \IQ [/mm] sind, ist die erhaltene Zahl [mm] (a+c)\wurzel{2}+(b+d)\wurzel{3} [/mm] in D.
Was haben wir nun herausgefunden?
Über [mm] \IR [/mm] klappt die Multiplikation nicht.
D ist ein [mm] \IQ-UVR.
[/mm]
D ist kein [mm] \IR-UVR.
[/mm]
LG Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:02 Fr 26.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
OK, danke für die Hilfe.
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