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| Aufgabe | Es sei V Vektorraum und v1; v2; v3 Vektoren. Sie seien linear unabhängig
Zeige:
Dann sind auch v1 + v2; v1 + v3; v2 + v3 linear unabhängig |
kann mir da wohl mal jemand helfen? ich weiß nicht wie ich das machen soll bzw. kann,wäre super
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Mo 01.05.2006 | | Autor: | felixf |
> Es sei V Vektorraum und v1; v2; v3 Vektoren. Sie seien
> linear unabhängig
> Zeige:
> Dann sind auch v1 + v2; v1 + v3; v2 + v3 linear
> unabhängig
> kann mir da wohl mal jemand helfen? ich weiß nicht wie ich
> das machen soll bzw. kann,wäre super
Nimm an, es gibt [mm] $\lambda_1, \dots, \lambda_3 \in [/mm] K$ mit [mm] $\lambda_1 (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 (v_1 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] + [mm] \lambda_3 (v_2 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] = 0$. Jetzt formst du das so um, dass du was a la [mm] $\mu_1 v_1 [/mm] + [mm] \mu_2 v_2 [/mm] + [mm] \mu_3 v_3 [/mm] = 0$ da stehen hast. Da [mm] $v_1, \dots, v_3$ [/mm] l.u. sind, muss [mm] $\mu_1 [/mm] = [mm] \mu_2 [/mm] = [mm] \mu_3 [/mm] = 0$ sein. Jetzt musst du dadraus folgern, dass auch [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3 [/mm] = 0$ sind.
(Ist praktisch das gleiche wie ein lineares Gleichungssystem mit drei Variablen und drei Gleichungen zu loesen.)
LG Felix
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danke,also ich habe es nun mal alleine versucht,aber ich bekomme wirklich nichts hin udn dein lösungsvorschlag versteh ich irgendwie nicht,mathe ist doch nur sch....,man hängt echt nur die ganze zeit an den aufgaben,man man,ich hoffe mir kann da nochmal jemand weiterhelfen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Mo 01.05.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
vielleicht sollte man sich am Anfang einfach daran gewöhnen Definitionen nachzuschlagen und zu verwenden?
Felix hat dir praktisch die komplette Lösung schon geschrieben !
also - wann sind drei vektoren linear unabhängig?
genau, wenn es nur die triviale Darstellung der 0 gibt.
(d.h. alle Koeffizienten sind 0, wenn man eine beliebige linearkombination gleich 0 setzt)
Was bedeutet das jetzt für die Aufgabe und für die 3 neuen Vektoren?
[mm] $\lambda_1 (v_1 [/mm] + [mm] v_2) [/mm] + [mm] \lambda_2 (v_1 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] + [mm] \lambda_3 (v_2 [/mm] + [mm] v_3) [/mm] = 0$
wenn man folgern kann, dass alle Lambda's gleich 0 sind, so sind die Vektoren linear unabhängig !
Und jetzt musst du mit dieser Gleichung genau das machen, was Felix schon geschrieben hatte : einfach ausmultiplizieren und die [mm] v_i [/mm] zusammenfassen, so dass du $ [mm] \mu_1 v_1 [/mm] + [mm] \mu_2 v_2 [/mm] + [mm] \mu_3 v_3 [/mm] = 0 $ dastehen hast, wobei die [mm] $\mu_i$ [/mm] in abhängigkeit der lambda's gegeben sind...
weil aber die [mm] v_i [/mm] linear unabhängig sind, weißt du bereits, dass alle [mm] $\mu_i$ [/mm] gleich 0 sind - also was kannst du dann über die lambda's schlussfolgern ?
> ,mathe ist doch nur sch....,
DAS ist irgendwie nicht clever in einem MatheForum zu sagen, wenn man noch weitere Hilfe möchte...
(es gibt hier durchaus sehr viele Leute, die Mathe recht schön finden (und sich bei sowas aufm Schlips getreten fühlen) - sonst wärest du wohl kaum hier, oder ?)
Die Mathematik ist sicher nicht daran schuld, dass es nicht einfach ist.
Aber ich hoffe mal, das liegt einfach nur an einer gewissen Frustschwelle, die bei dir überschritten wurde - daran gewöhnt man sich...
Also einfach Zähne zusammenbeißen und durch !
viele Grüße
DaMenge
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