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Forum "Integration" - Veränderung einer Variablen
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Veränderung einer Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:47 Sa 18.01.2014
Autor: Wiesel89

Aufgabe
[mm]\int_{0}^{\infty}{1- \frac{1}{K}\sum_{i=1}^{K} I_\left \{\frac{1}{2}*log(1+(SNR)*\lambda_i^{(K)}) \leq x \right \}} dx = \int_{0}^{\infty}{ \frac{1}{2}*\frac{1-\frac{1}{K} \sum_{i=1}^{K}I_ \left \{ \lambda_i^{(K)} \leq z \right \}}{ \frac{1}{SNR} + z} dz}[/mm]
 



Hallo ihr Lieben,
es soll hier lediglich eine Veränderung der Integrationsvariablen stattgefunden haben. Ich komme aber nicht drauf. Jemand eine Idee?

P.S.: I ist die Indikatorfunktion

        
Bezug
Veränderung einer Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:35 Sa 18.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

setze [mm] $x=\frac{1}{2}\log\left(1+(SNR)z\right)$ [/mm]


edit: Dann hast du aber entweder einen Fehler in deiner Indikatorfunktion oder in deinem Ergebnisintegral.

Entweder es muss heißen:

$ [mm] \int_{0}^{\infty}{1- \frac{1}{K}\sum_{i=1}^{K} I_\left \{\frac{1}{2}\cdot{}log(1+\bruch{1}{(SNR)}\cdot{}\lambda_i^{(K)}) \leq x \right \}} [/mm] dx$

oder:

[mm] $\int_{0}^{\infty}{ \frac{1}{2}\cdot{}\frac{1-\frac{1}{K} \sum_{i=1}^{K}I_ \left \{ \lambda_i^{(K)} \leq z \right \}}{SNR + z} dz} [/mm] $

Gruß,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Veränderung einer Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:50 Sa 18.01.2014
Autor: Wiesel89

Hmm, dann wäre in diesem Paper wohl ein Fehler, richtig? (Formel (44),(45))

[]http://web.mit.edu/18.325/www/shamai_verdu.pdf

Oder hier per Bild:
http://abload.de/img/bildschirmfoto2014-01wsc33.png

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
Veränderung einer Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:55 Sa 18.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

machen wir es doch mal. Und zwar ein bisschen einfacher als durch deine Umformungen.

[mm] \int_0^\infty \left(1-F\left(h^{-1}(x)\right)\right) \, [/mm] dx

mit $h(x) = [mm] \bruch{1}{2}\log(1 [/mm] + SNRx)$ und Umkehrfunktion [mm] h^{-1} [/mm]

Nun wird substituiert: $z = [mm] h^{-1}(x)$ [/mm]

Und damit: [mm] $\bruch{dz}{dx} [/mm] = [mm] (h^{-1})'(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{h'\left(h^{-1}(x)\right)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{h'(z)}$ [/mm] ([]Ableitungsregel für die Umkehrfunktion)

[mm] \Rightarrow [/mm] $h'(z) dz = dx$

Also ergibt sich für das Integral:

[mm] $\int_0^\infty \left(1-F\left(h^{-1}(x)\right)\right) \, [/mm] dx  = [mm] \int_0^\infty \left(1-F\left(z\right)\right) [/mm] h'(z) [mm] \,dz$ [/mm]

Na und h'(z) zu berechnen, überlasse ich mal dir....

Gruß,
Gono.

Bezug
                                
Bezug
Veränderung einer Variablen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:22 Sa 18.01.2014
Autor: Wiesel89

[mm]h'(z) = (\frac{1}{2}*log(1+SNRz))'= \frac{SNR}{2(SNR*z+1)}[/mm]

Ergo:

[mm]\int_0^\infty \left(1-F\left(z\right)\right) h'(z) \,dz = \int_0^\infty \left(1-F\left(z\right)\right)\frac{SNR}{2(SNR*z+1)}\,dz = \frac{1}{2}\int_0^\infty \left(1-F\left(z\right)\right)\frac{SNR}{SNR*z+1}\,dz[/mm]

Das heißt, die Aussage des Papers ist falsch ... oder habe ich wieder etwas übersehen?

Danke auf jeden Fall Gonozal_IX :)

Bezug
                                        
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Veränderung einer Variablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:49 Sa 18.01.2014
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Das heißt, die Aussage des Papers ist falsch ... oder habe ich wieder etwas übersehen?

Klammer unten mal SNR aus und kürze ;-)

Gruß,
Gono.

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Veränderung einer Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:58 Sa 18.01.2014
Autor: Wiesel89

Gott steh mir bei.

Ich schiebe es aufs Wochenende oder die Zeit ... ich kann nicht einmal mehr kürzen!

Danke für die Mühe/Ausdauer :)

Bezug
                        
Bezug
Veränderung einer Variablen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:27 Sa 18.01.2014
Autor: Diophant

Hallo Wiesel89,

ich habe mir mal deinen Dateianhang vorgenommen, konnte das aber mit der LFFI-Lizenz nicht nachvollziehen.

Da dein Link eh die komplette Datei enthält, habe ich jetzt mal zur Sicherheit den Anhang gesperrt. Ich bitte da um Verständnis dafür und möchte betonen, dass dies kein Vorwurf an dich sein soll, sondern nach dem Motto 'Vorsicht ist die Mutter der Porzellankiste' erfolgt ist.

Gruß, Diophant

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