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| Aufgabe | Ein Verband sei folgendermaßen definiert:
Eine Halbgeordnete Menge $ [mm] (A,\leq)$ [/mm] heißt VERBAND, wenn [mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] A$, die Menge [mm] $\{a,b\}$ [/mm] ein Infimum und ein Supremum besitzt.
Ein Verband heißt VOLLSTÄNDIG, wenn jede nichtleere Teilmenge ein Infimum und Supremum besitzt.
Eine Abbildung $f$ von einer halbgeordneten Menge in eine andere heißt ORDNUNGSERHALTEND, wenn $ a [mm] \leq [/mm] a' [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \leq [/mm] f(a') $
Zeige:
Sei $f$ eine ordnungserhaltenen Abbildung eines vollständigen Verbandes [mm] $(A,\leq)$ [/mm] auf sich selbst, so hat f einen Fixpunkt in A(d.h. [mm] $\exists [/mm] a [mm] \in [/mm] A , f(a)=a$) |
Also was bei mir bisher geschah.
Man kann das Lemma von Zorn benutzen um relativ schnell zu zeigen, dass in jedem Verband ein maximales Element existieren muss.
Eines ist mir klar. Hier kann ich sicher kein bestimmtes Element angeben und ihm eine Schleife umhängen und sagen das ist es (z.b. das Maximum). Ich kann immer eine Abbildung f konstruieren die irgendeinen Punkt von A nicht als Fixpunkt besitzt.
Also wenn es um solche Existenzbeweise geht dann kann das meiner Erfahrung nach ziemlich unangenehm werden.
Entweder ich brauche irgendeinen kleinen Trick um das zu lösen oder vielleicht wie beim Fixpunktsatz von Banach ein Verfahren um den Fixpunkt zu ermitteln? Meistens gehts jedoch mit Widerspruch also habe ich erst einmal angenommen es gäbe keinen Fixpunkt.
Bei genauerer Überlegung hat mir das jedoch nicht wirklich weitergeholfen und ich habe mich gefragt was mir wohl entgangen ist das kanns ja wohl nicht sein=)
Meine Frage ist
Wie beweist man so etwas???
>>Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hinweis: Dieses Beispiel ist eines der ersten Übungsbeispiele aus dem Buch "Algebra" von "Hungerford". Im Buch sind keine Lösungen
Mfg
Michael
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Hallo und guten Morgen,
sei [mm] 1=\sup [/mm] (V), dann gilt ja [mm] f(1)\leq [/mm] 1.
Sei also [mm] A:=\{a\in V|f(a)\leq a\}\neq\emptyset
[/mm]
A hat ein Infimum [mm] a_0. [/mm] Kann [mm] f(a_0)
Ordnungserhaltungseigenschaft von f auch [mm] f(f(a_0)_\leq f(a_0), [/mm] und also wäre [mm] f(a_0)\in [/mm] A und echt kleiner als [mm] a_0 [/mm] -
Widerspruch zur Infimums-Eigenschaft von [mm] a_0.
[/mm]
Gilt denn aber [mm] f(a_0)\leq a_0 [/mm] ? Ja, denn [mm] \forall a\in [/mm] A gilt [mm] a_0\leq [/mm] a, und mit a ist auch [mm] f(a)\in [/mm] A, und es gilt wg Ordnungserhaltung
[mm] f(a_0)\leq f(a)\leq [/mm] a
Also ist [mm] f(a_0) [/mm] untere Schranke zu A, und somit [mm] f(a_0)\leq [/mm] inf [mm] (A)=a_0.
[/mm]
Damit folgt ''=''.
Gruss,
Mathias
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Irgendwas verstehe ich nicht ganz
Was wäre denn wenn ich eine linear geordnete z.b. endliche Menge nehme.
a1<a2...<an
dann nehme ich das infimum a1 und bilde es auf a2 ab und so weiter. an bilde ich auf sich selbst ab. dann habe ich eine abbildung, die klarerweise ordnungserhaltend ist und bei der das infimum nicht der fixpunkt ist.
demnach kann irgendwas nicht stimmen oder? oder ist vielleicht mein beispiel falsch?
mfg
michael
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:44 Do 01.06.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael!
> Irgendwas verstehe ich nicht ganz
>
> Was wäre denn wenn ich eine linear geordnete z.b. endliche
> Menge nehme.
> a1<a2...<an
>
> dann nehme ich das infimum a1 und bilde es auf a2 ab und so
> weiter. an bilde ich auf sich selbst ab. dann habe ich eine
> abbildung, die klarerweise ordnungserhaltend ist und bei
> der das infimum nicht der fixpunkt ist.
> demnach kann irgendwas nicht stimmen oder? oder ist
> vielleicht mein beispiel falsch?
Schreib doch mal die Menge $A$ fuer dein Beispiel auf.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:45 Do 01.06.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo nochmal,
in dem Fall ist [mm] A=\{a_n\} [/mm] und [mm] \inf A=a_n.
[/mm]
Gruss,
Mathias
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