Verdopplungszeit < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 So 08.01.2006 | | Autor: | Norman |
Wir sollen die Formel für die Verdopplungs- bzw. Halbwertzeit herleiten.
Ich habe aber in keinem Buch hinweise gefunden , wie sie sich nun herleiten lässt. Das einzige was ich weis ist, das die Formel für die Verdopplunszeit T= [mm] \bruch{ln2}{k} [/mm] sich irgendwie aus der Wachstumsgleichung N(t)= [mm] N_{0}*e^{k*t} [/mm] herleiten lässt. Aber wie genau? Was muss ich machem um auf diese Formel zu gelangen? Könnte mir da jemand behilflich sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 So 08.01.2006 | | Autor: | dominik |
Hallo Norman
Hier ein Vorschlag:
Wachstumsgleichung: [mm] $N(t)=2*N_{0} =N_{0}*e^{k*t}$
[/mm]
Der Wert [mm] $N_{0}$ [/mm] wird in einer bestimmten Zeit t verdoppelt, also zu [mm] $2*N_0$
[/mm]
Also:
[mm] $2*N_{0}=N_{0}*e^{k*t}$ [/mm] / mit [mm] $N_{0}$ [/mm] kürzen
[mm] $2=e^{k*t}$ [/mm] / mit $ln$ logarithmieren, damit der Exponent "herunter" geholt werden kann
$ln(2)=ln [mm] \left( e^{k*t} \right)$ [/mm] / [mm] $ln(e^a)=a$
[/mm]
$ln(2)=k*t$
$t= [mm] \br [/mm] {ln(2)}{k}$
voilà
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 08.01.2006 | | Autor: | Norman |
Kann ich das einfach so machen? Wir müssen das so richtig erklären wie man das herleitet und ich weiß nich ob das auch mathematisch korrekt ist.
Wär echt super wenn mir das jemand erklären könnte.
Ich bedank mich schon mal für die Mühe, ich weis das dass nich einfach ist.
Gruß
Norman
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:28 So 08.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Norman
vielleicht ist deine exakte Herleitung so: [mm] e^{ln2}=2 [/mm] das ist die Definition von ln2.
damit ist [mm] e^{kt}=e^{ln2*\bruch{kt}{ln2}}=2^{\bruch{kt}{ln2}}
[/mm]
und dass da die Verdoppelungszeit die ist, wo im exponenten 1 steht ist klar also [mm] \bruch{kT}{ln2}=1 [/mm] daraus dein T.
Aber das ist nur anders und Dominiks Weg ist auch exakt, wenn du aus der Wachstumsformel die Verdoppelungszeit ausrechnen sollst.
Bei meinem Vorgehen sieht man etwas leichter, dass e nicht so besonders ist, und man das Wachstum mit JEDER Grundzahl hinschreiben kann.
Gruss leduart
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