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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 07.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Ich hab hier zur Übung neun Aufgaben bekommen, die ich vereinfachen soll. Die ersten 4 hab ich auch hinbekommen, auch wenns etwas gedauert hat.aber die letzten 5..... ich probier alles durch was ich weiss, aber irgendwie komm ich auf keinen grünen Ast. Vielleicht kann mir jemand zu den einzelnen Aufgaben nen Tipp geben,mit welchem Ausdruck ich dort arbeiten kann. Also keine komplette Vereinfachung, sondern wie gesagt, nur einen Hinweis auf die Umschreibung. Ich machs am besten mal an einem einfacheren Beispiel.
Die 1. Aufgabe war:
[mm] tan(\alpha)*cos(\alpha) [/mm] da könntet ihr mir zB den Hinweis geben [mm] tan(\alpha)=\bruch{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}
[/mm]
Mir gehts einfach darum,dass ich das ja selbst können muss....
nur komm ich wie gesagt bei den letzten 5 Aufgaben nicht weiter und bräuchte ein paar Tipps welche Umschreibungen ich hier am besten anwende...Wenn ich es dann selbst immer noch nicht hinbekomm, kann ich ja zur not nochmal nachfragen 
Die Aufgaben:
e) [mm] \wurzel{1 + cos(\alpha)}* \wurzel{1 - cos(\alpha)}
[/mm]
f) [mm] sin(\alpha) [/mm] + [mm] \bruch{cos(\alpha)}{tan(\alpha)}
[/mm]
g) [mm] sin^{4}(\alpha) [/mm] - [mm] cos^{4}(\alpha)
[/mm]
h) [mm] \bruch{tan(\alpha)}{sin(\alpha)} [/mm] - [mm] tan(\alpha) [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
i) [mm] \bruch{cos(\alpha)}{1 - sin(\alpha)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{cos(\alpha)}
[/mm]
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> e) [mm]\wurzel{1 + cos(\alpha)}* \wurzel{1 - cos(\alpha)}[/mm]
Hallo,
unter eine Wurzel schreiben, 3.binomische, [mm] sin^2+cos^2=1 [/mm] bedenken.
>
> f) [mm]sin(\alpha)[/mm] + [mm]\bruch{cos(\alpha)}{tan(\alpha)}[/mm]
[mm] ]\bruch{cos(\alpha)}{tan(\alpha)}=\bruch{cos(\alpha)}{\bruch{sin\alpha}{cos\alpha}}
[/mm]
Doppelbruch "wegmachen",
Summe auf den Hauptnenner bringen.
>
> g) [mm]sin^{4}(\alpha)[/mm] - [mm]cos^{4}(\alpha)[/mm]
3.binomische "rückwärts" anwenden und anschließend über cos(2x) (--> Additionstheoreme) nachdenken
>
> h) [mm]\bruch{tan(\alpha)}{sin(\alpha)}[/mm] - [mm]tan(\alpha)[/mm] *
> [mm]sin(\alpha)[/mm]
[mm] tan=\bruch{sin}{cos} [/mm] einsetzen, kürzen, [mm] \bruch{1}{cos} [/mm] ausklammern
>
> i) [mm]\bruch{cos(\alpha)}{1 - sin(\alpha)}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{cos(\alpha)}[/mm]
Hauptnenner. Dann: [mm] cos^2=1-sin^2
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 07.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Halle Angela,
Erstmal vielen lieben dank für deine schnelle Hilfe!
Aber irgendwie bau ich da immer Fehler ein, die ich dann leider selbst nicht als solche erkenn....
also, die e) hab ich hinbekommen : = [mm] \wurzel{sin(\alpha)}
[/mm]
die f) auch: = [mm] \bruch{1}{sin(\alpha)}
[/mm]
bei der g) bin ich nur bis hier gekommen:
= 1 * [mm] (sin²(\alpha) [/mm] - [mm] cos²(\alpha))
[/mm]
Ich weiss nicht wie ich hier das Additionstheorem anwenden kann
und bei der h) hab ich irgendwo einen Fehler gemacht,weil mein Ergebnis nicht stimmen kann:
[mm] =\bruch{sin(\alpha)}{\bruch{cos(\alpha)}{sin(\alpha)}} [/mm] - [mm] \bruch{sin(\alpha)}{cos(\alpha)} [/mm] * [mm] sin(\alpha)
[/mm]
= [mm] \bruch{sin²(\alpha)}{cos(\alpha)} \bruch{sin²(\alpha)}{cos(\alpha)}=0
[/mm]
und bei der i) stimmt leider auch irgendwas nicht:
[mm] =\bruch{cos²(\alpha)}{1-sin²(\alpha)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{cos²(\alpha)}
[/mm]
[mm] =\bruch{cos²(\alpha)}{cos²(\alpha)} [/mm] - [mm] \bruch{1}{cos²(\alpha)}
[/mm]
= 1 - [mm] \bruch{1}{cos²(\alpha)}
[/mm]
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> Halle Angela,
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> Erstmal vielen lieben dank für deine schnelle Hilfe!
> Aber irgendwie bau ich da immer Fehler ein, die ich dann
> leider selbst nicht als solche erkenn....
>
> also, die e) hab ich hinbekommen : = [mm]\wurzel{sin(\alpha)}[/mm]
leider nur fast richtig: [mm] \wurzel{1-cos^2a}=\wurzel{...}=...
[/mm]
>
> die f) auch: = [mm]\bruch{1}{sin(\alpha)}[/mm]
richtig.
>
> bei der g) bin ich nur bis hier gekommen:
>
> = 1 * [mm](sin²(\alpha)[/mm] - [mm]cos²(\alpha))[/mm]
> Ich weiss nicht wie ich hier das Additionstheorem anwenden
> kann
Es gilt cos(2a)=cos^2a-sin^2a
>
> und bei der h) hab ich irgendwo einen Fehler gemacht,weil
> mein Ergebnis nicht stimmen kann:
[mm] \bruch{tan}{sin}=\bruch{\bruch{sin}{cos}}{sin}=\bruch{sin}{cos*sin}
[/mm]
>
> und bei der i) stimmt leider auch irgendwas nicht:
>
> [mm]=\bruch{cos²(\alpha)}{1-sin²(\alpha)}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{cos²(\alpha)}[/mm]
Wo hast Du denn plötzlich die Quadrate her?
Die Aufgabe hieß doch
$ [mm] \bruch{cos(\alpha)}{1 - sin(\alpha)} [/mm] $ - $ [mm] \bruch{1}{cos(\alpha)} [/mm] $
Der Hauptnenner ist (1 - [mm] sin(\alpha))*cos(\alpha)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:12 Mi 07.03.2007 | | Autor: | kati93 |
okay, also bei der e) hab ich wohl etwas schnell gemacht und geschludert
=sin(a)
ich schreib jetzt einfach mal a statt [mm] \alpha, [/mm] so gehts wesentlich schneller...
bei der g) komm ich leider trotzdem nicht weiter, ich kann das einfach nicht anwenden. ich hab das ja schonmal nicht verstanden
bei der h) hab ich den bruchstrich auf meinem Zettel falsch gedeutet, dh nicht richtig erkannt was oberhalb und was unterhalb des bruchstrichs steht
=cos(a)
bei der i) komm ich auch nicht weiter
[mm] =\bruch{cos²(a)-1-sin(a)}{1-sin(a)*cos(a)}
[/mm]
ich könnte zwar noch so umschreiben:
[mm] =\bruch{-sin²(a)-sin(a)}{1-sin(a)*cos(a)} [/mm]
aber das hilft mir auch nicht so richtig weiter...
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Hallo Kati!
Erweitere bei Aufgabe i.) vor dem Zusammenfassen den ersten Bruch mit [mm] $1+\sin(\alpha)$ [/mm] .
Dann kannst Du anschließend im Nenner ersetzen: [mm] $1-\sin^2(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] \cos^2(\alpha)$ [/mm] . Nun sollte das weitere Zusammenfassen einfach(er) sein.
Ich erhalte letztendlich: $... \ = \ [mm] \bruch{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} [/mm] \ = \ [mm] \tan(\alpha)$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:31 Mi 07.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Hallo roadrunner,
ich bin grad etwas verunsichert ob ich das richtig verstanden hab....
meinst du das so, mit dem erweitern des 1.bruches???
[mm] \bruch{cos²(a)+1+sin(a)}{1-sin(a)*cos(a)+1+sin(a)} [/mm] ???
So versteh ich das nämlich nicht wirklich. Jetzt hab ich ja auch keinen Hauptnenner mehr
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Hallo,
du hast sicherlich einige Klammern nicht gesetzt
[mm] \bruch{cos\alpha}{1-sin\alpha }-\bruch{1}{cos\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{cos\alpha*(1+sin\alpha)}{(1-sin\alpha)*(1+sin\alpha)}-\bruch{1}{cos\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{cos\alpha*(1+sin\alpha)}{(1-sin^{2}\alpha)}-\bruch{1}{cos\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{cos\alpha*(1+sin\alpha)}{cos^{2}\alpha}-\bruch{1}{cos\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{1+sin\alpha}{cos\alpha}-\bruch{1}{cos\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{1+sin\alpha-1}{cos\alpha}
[/mm]
[mm] \bruch{sin\alpha}{cos\alpha}
[/mm]
[mm] tan\alpha
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Mi 07.03.2007 | | Autor: | kati93 |
vielen lieben dank steffi ! Ich hab auch jeden Schritt verstanden, ist auch in sich logisch! Aber ich weiss halt leider, dass ich von allein niemals (!) auf die Idee gekommen wäre den ersten Bruch so zu erweitern. Und ich hab auch im 1.Moment nicht erkannt, wie ich beide Brüche auf einen Nenner bring. Aber wie gesagt,eigentlich ist es in sich logisch! Danke schön!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:05 Mi 07.03.2007 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo kati93,
wenn du oft genug solche Aufgaben löst, "siehst" du die möglichen Schritte, welche Additionstheoreme du benutzt, [mm] 1-sin^{2}\alpha=cos^{2}\alpha [/mm] ist übrigens der umgestellte trigonometrische Pythagoras [mm] 1=sin^{2}\alpha+cos^{2}\alpha
[/mm]
Steffi
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Hallo Kati!
> okay, also bei der e) hab ich wohl etwas schnell gemacht
> und geschludert
> =sin(a)
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> bei der g) komm ich leider trotzdem nicht weiter, ich kann
> das einfach nicht anwenden. ich hab das ja schonmal nicht
> verstanden
Entweder lässt du als Ergebnis [mm] $\sin^2(\alpha)-\cos^2(\alpha)$ [/mm] stehen. Oder Du setzt hier nochmals den trigonometrischen Pythagoras mit [mm] $\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) [/mm] \ = \ 1$ ein.
Damit erhältst Du dann die beiden gleichwertigen Ergebnisse [mm] $1-2*\cos^2(\alpha) [/mm] \ = \ [mm] 2*\sin^2(\alpha)-1$ [/mm] .
Und diese beiden Terme sind gleichwertig mit [mm] $\red{-}\cos(2\alpha)$ [/mm] .
> bei der h) hab ich den bruchstrich auf meinem Zettel falsch
> gedeutet, dh nicht richtig erkannt was oberhalb und was
> unterhalb des bruchstrichs steht
> =cos(a)
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:57 Mi 07.03.2007 | | Autor: | kati93 |
Danke Roadrunner!!!!!!
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