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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:26 Fr 12.04.2013 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
[mm] -\bruch{3}{\wurzel{-x^{2}+1}}-\bruch{3-12x^{2}}{\wurzel{1-9x^{2}+24x^{4}-16x^{6}}} [/mm] (mit [mm] x\in(-1;1)) [/mm] |
Eigentlich habe ich keine wirklichen Schwierigkeiten mit dieser Aufgabe, ich wollte nur fragen, ob ich denn alles richtig gemacht habe / was vergessen habe /....
Also was ich gemacht habe:
Zu allererst habe ich von jedem einzelnen Polynom die Nullstellen berechnet, also:
(1.) [mm] -x^{2}+1
[/mm]
hierbei sind die Nullstellen [mm] x_{1}=1 [/mm] v [mm] x_{2}=-1 [/mm] und somit kann ich dieses Polynom auch als [mm] (x+1)\*(x-1) [/mm] zusammenfassen.
(2.) [mm] 3-12x^{2}
[/mm]
hierbei sind die Nullstellen [mm] x_{1}=\bruch{1}{2} [/mm] v [mm] x_{2}=-\bruch{1}{2}. [/mm] Somit kann ich dieses Polynom auch als [mm] (x+\bruch{1}{2})\*(x-\bruch{1}{2}) [/mm] zusammenfassen.
(3.) [mm] 1-9x^{2}+24x^{4}-16x^{6}
[/mm]
zunächst bin ich mit einer Substitution vorgegangen und habe gesagt [mm] x^{2}=\alpha.
[/mm]
Nun lautet das Polynom also: [mm] -16\alpha^{3}+24\alpha^{2}-9\alpha+1. [/mm] Durch Probieren mit dem Horner-Schema, konnte ich feststellen, dass
[mm] \alpha_{1}=1. [/mm] Weiterhin konnte ich feststellen, dass [mm] \alpha_{2/3}=\bruch{1}{4}. [/mm] Durch das Aufheben der Substitution konnte ich herausbekommen, dass
die Nullstellen wie folgt lauten: [mm] x_{1}=1 [/mm] v [mm] x_{2}=-1 [/mm] v [mm] x_{3/4}=\bruch{1}{2} [/mm] v [mm] x_{5/6}=-\bruch{1}{2}. [/mm] Also lässt sich dieses Polynom auch als [mm] (x-1)\*(x+1)\*(x-\bruch{1}{2})^{2}\*(x+\bruch{1}{2})^{2} [/mm] zusammenfassen.
Nun muss ich also nur noch folgenden Ausdruck zusammenfassen:
[mm] -\bruch{3}{\wurzel{(x+1)\*(x-1)}}-\bruch{(x+\bruch{1}{2})\*(x-\bruch{1}{2})}{\wurzel{(x-1)\*(x+1)\*(x-\bruch{1}{2})^{2}\*(x+\bruch{1}{2})^{2}}}
[/mm]
Dann folgten einige Zwischenschritte, aber ich spare mir jetzt einfach mal die hinzuschreiben und schreibe einfach mal hin was ich als Endergebnis raushabe:
[mm] -\bruch{3}{\wurzel{(x+1)\*(x-1)}}-\bruch{(x+\bruch{1}{2})\*(x-\bruch{1}{2})}{\wurzel{(x-1)\*(x+1)\*(x-\bruch{1}{2})^{2}\*(x+\bruch{1}{2})^{2}}}=-\bruch{4}{\wurzel{(x+1)\*(x-1)}} [/mm] mit [mm] x\in(-1;1)
[/mm]
Wäre sehr dankbar, wenn einer sich das mal ansehen und gegebenfalls korrigieren würde :)
mit Dank im Voraus
Bquadrat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:39 Fr 12.04.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
sieht alles richtig aus.
Gruss leduart
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Hallo [mm]b^2[/mm]
> Vereinfachen Sie so weit wie möglich:
>
> [mm]-\bruch{3}{\wurzel{-x^{2}+1}}-\bruch{3-12x^{2}}{\wurzel{1-9x^{2}+24x^{4}-16x^{6}}}[/mm]
> (mit [mm]x\in(-1;1))[/mm]
> Eigentlich habe ich keine wirklichen Schwierigkeiten mit
> dieser Aufgabe, ich wollte nur fragen, ob ich denn alles
> richtig gemacht habe / was vergessen habe /....
>
> Also was ich gemacht habe:
> Zu allererst habe ich von jedem einzelnen Polynom die
> Nullstellen berechnet, also:
>
> (1.) [mm]-x^{2}+1[/mm]
> hierbei sind die Nullstellen [mm]x_{1}=1[/mm] v [mm]x_{2}=-1[/mm] und
> somit kann ich dieses Polynom auch als [mm](x+1)\*(x-1)[/mm]
> zusammenfassen. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Es ist [mm]x^2-1=(x+1)(x-1)[/mm]
Du hast aber [mm]-x^2+1=-(x^2-1)[/mm]
Das kannst du schreiben als [mm]\red -(x+1)(x-1)[/mm] !
>
> (2.) [mm]3-12x^{2}[/mm]
> hierbei sind die Nullstellen [mm]x_{1}=\bruch{1}{2}[/mm] v
> [mm]x_{2}=-\bruch{1}{2}.[/mm] Somit kann ich dieses Polynom auch als
> [mm](x+\bruch{1}{2})\*(x-\bruch{1}{2})[/mm] zusammenfassen.
Wie oben hast du einen Faktor vergessen, multipliziere mal aus, da kommt nicht [mm]3-12x^2[/mm] raus.
Richtig: [mm]3-12x^2=\red{-12}(x+1/2)(x-1/2)[/mm]
>
> (3.) [mm]1-9x^{2}+24x^{4}-16x^{6}[/mm]
> zunächst bin ich mit einer Substitution vorgegangen
> und habe gesagt [mm]x^{2}=\alpha.[/mm]
> Nun lautet das Polynom also:
> [mm]-16\alpha^{3}+24\alpha^{2}-9\alpha+1.[/mm] Durch Probieren mit
> dem Horner-Schema, konnte ich feststellen, dass
> [mm]\alpha_{1}=1.[/mm] Weiterhin konnte ich feststellen, dass
> [mm]\alpha_{2/3}=\bruch{1}{4}.[/mm] Durch das Aufheben der
> Substitution konnte ich herausbekommen, dass
> die Nullstellen wie folgt lauten: [mm]x_{1}=1[/mm] v [mm]x_{2}=-1[/mm]
> v [mm]x_{3/4}=\bruch{1}{2}[/mm] v [mm]x_{5/6}=-\bruch{1}{2}.[/mm] Also lässt
> sich dieses Polynom auch als
> [mm](x-1)\*(x+1)\*(x-\bruch{1}{2})^{2}\*(x+\bruch{1}{2})^{2}[/mm]
Wieder: Wenn du ausmultiplizierst, hast du als Koeffizient vor dem [mm]x^6[/mm] eine 1, es muss aber [mm]-16[/mm] sein ...
Gruß
schachuzipus
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