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Forum "Trigonometrische Funktionen" - Vereinfachen mit sin,cos,tan
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Vereinfachen mit sin,cos,tan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 So 11.10.2009
Autor: Sanny

Hallo,

die Aufgabenstellung lautet "Vereinfachen Sie".

cos [mm] (\bruch{1}{3} \Pi [/mm] + [mm] \alpha) [/mm] + cos [mm] (\bruch{7}{6} \Pi [/mm] + [mm] \alpha) [/mm]

Ich habe auf beide Summanden die Additionstheoreme angewendet und habe folgendes rausbekommen:

cos [mm] \bruch{1}{3} \Pi [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] - sin [mm] \bruch{1}{3} \Pi [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] + cos [mm] \bruch{7}{6} \Pi [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] - sin [mm] \bruch{7}{6} \Pi [/mm] sin [mm] \alpha [/mm]

Das habe ich nun zusammengefasst:

2 cos [mm] 1\bruch{1}{2} \pi [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] - 2 sin [mm] -\bruch{5}{6} \pi [/mm] sin [mm] \alpha [/mm]

(bin mir aber auch nicht sicher, ob das stimmt)

Nun weiß ich nicht, was ich machen muss... :-(

Die Lösung soll [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] (-1 + [mm] \wurzel{3}) [/mm] (cos [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \alpha) [/mm]
sein.

Kann mir vielleicht jemand helfen?
Vielen Dank und liebe Grüße im vorraus :-)

        
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:22 So 11.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Sandra,

> Hallo,
>
> die Aufgabenstellung lautet "Vereinfachen Sie".
>  
> cos [mm](\bruch{1}{3} \Pi[/mm] + [mm]\alpha)[/mm] + cos [mm](\bruch{7}{6} \Pi[/mm] +  [mm]\alpha)[/mm]
>  
> Ich habe auf beide Summanden die Additionstheoreme
> angewendet

Das ist eine sehr gute Idee!

> und habe folgendes rausbekommen:
>  
> cos [mm]\bruch{1}{3} \Pi[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] - sin [mm]\bruch{1}{3} \Pi[/mm] sin [mm]\alpha[/mm] + cos [mm]\bruch{7}{6} \Pi[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] - sin [mm]\bruch{7}{6} \Pi[/mm]  sin [mm]\alpha[/mm] [ok]
>
> Das habe ich nun zusammengefasst:
>  
> 2 cos [mm]1\bruch{1}{2} \pi[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] - 2 sin [mm]-\bruch{5}{6} \pi[/mm]  sin [mm]\alpha[/mm]
>  
> (bin mir aber auch nicht sicher, ob das stimmt)

Das sieht komisch aus.

Sortiere in dem Term darüber mal die Terme mit [mm] $\cos(\alpha)$ [/mm] und [mm] $\sin(\alpha)$, [/mm] also:

[mm] $...=\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\cdot{}\cos(\alpha)+\cos\left(\frac{7\pi}{6}\right)\cdot{}\cos(\alpha)\right] [/mm] \ - \ [mm] \left[\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\cdot{}\sin(\alpha)+\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)\cdot{}\sin(\alpha)\right]$ [/mm]

Nun klammere in der ersten Klammer [mm] $\cos(\alpha)$ [/mm] aus, in der zweiten Klammer entsprechend [mm] $\sin(\alpha)$ [/mm]

Dann sind die Werte von [mm] $\sin\left(\frac{\pi}{3}\right),\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right)$ [/mm] und die entsprechenden Cosinuswerte bekannt.

Die setze ein und du bist fast fertig ...



>  
> Nun weiß ich nicht, was ich machen muss... :-(
>  
> Die Lösung soll [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] (-1 + [mm]\wurzel{3})[/mm] (cos
> [mm]\alpha[/mm] + sin [mm]\alpha)[/mm]
>  sein.
>
> Kann mir vielleicht jemand helfen?
> Vielen Dank und liebe Grüße im vorraus :-)
>  

Gruß

schachuzipus
Bezug
                
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:35 So 11.10.2009
Autor: Sanny

Hm...Vielen Dank erstmal für die Antwort... aber ich komme immer noch nicht auf das richtige Ergebnis [verwirrt]

= [mm] cos\alpha (\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2}) \wurzel3) [/mm] - [mm] (sin\alpha (\bruch{1}{2} \wurzel3 [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2})) [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2}) \wurzel3) [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] - [mm] (\bruch{1}{2} \wurzel3 [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] + (- [mm] \bruch{1}{2}) sin\alpha) [/mm]

= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2}) \wurzel3) [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] - [mm] \bruch{1}{2} \wurzel3 [/mm] sin [mm] \alpha [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} sin\alpha) [/mm]

= [mm] \wurzel3 [/mm] cos [mm] \alpha [/mm] + [mm] \wurzel3 [/mm] sin [mm] \alpha [/mm]

= [mm] \wurzel3 [/mm] (cos [mm] \alpha [/mm] + sin [mm] \alpha) [/mm]

Das ist mein Ergebnis. Aber laut Lösung (siehe 1. Frage) ist das ja falsch... Wieso???? [verwirrt]

Bezug
                        
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:46 So 11.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hm...Vielen Dank erstmal für die Antwort... aber ich komme
> immer noch nicht auf das richtige Ergebnis [verwirrt]
>  
> = [mm]cos\alpha (\bruch{1}{2}[/mm] + [mm](-\bruch{1}{2}) \wurzel3)[/mm] -  [mm](sin\alpha (\bruch{1}{2} \wurzel3[/mm] + [mm](-\bruch{1}{2}))[/mm] [ok]

Ziehe hier das "-" in der Mitte in die letzte Klammer:

[mm] $=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\cdot{}\cos(\alpha) [/mm] \ [mm] \blue{+} [/mm] \ [mm] \left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\cdot{}\sin(\alpha)$ [/mm]

Nun kannst du den Klammerfaktor, der in beiden Summanden steckt, ausklammern:

[mm] $=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)\cdot{}\left[\cos(\alpha)+\sin(\alpha)\right]$ [/mm]

Geht's nun weiter?

>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] + [mm](-\bruch{1}{2}) \wurzel3)[/mm] cos  [mm]\alpha[/mm] - [mm](\bruch{1}{2} \wurzel3[/mm] sin [mm]\alpha[/mm] + (-  [mm]\bruch{1}{2}) sin\alpha)[/mm]
>  
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] + [mm](-\bruch{1}{2}) \wurzel3)[/mm] cos  [mm]\alpha[/mm] - [mm]\bruch{1}{2} \wurzel3[/mm] sin [mm]\alpha[/mm] + [mm]\bruch{1}{2} sin\alpha)[/mm] [ok]

Das sieht bis hierher richtig aus, wenn auch nicht so sehr zielführend ;-)

>  
> = [mm]\wurzel3[/mm] cos [mm]\alpha[/mm] + [mm]\wurzel3[/mm] sin [mm]\alpha[/mm] [notok]
>  

Hier hast du komisch zusammengefasst ...

Wie hast du das gerechnet?

> = [mm]\wurzel3[/mm] (cos [mm]\alpha[/mm] + sin [mm]\alpha)[/mm]
>  
> Das ist mein Ergebnis. Aber laut Lösung (siehe 1. Frage)
> ist das ja falsch... Wieso???? [verwirrt]
>  

Gruß

schachuzipus
Bezug
                                
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:13 So 11.10.2009
Autor: Sanny

Jaaaaaaaaaa, vielen Dank. Jetzt hab ichs [happy].

Aber wozu muss man dieses [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] nochmal ausklammern? Könnte man es nich einfach so lassen?!
Bezug
                                        
Bezug
Vereinfachen mit sin,cos,tan: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 So 11.10.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Jaaaaaaaaaa, vielen Dank. Jetzt hab ichs [happy].

Das freut micht!

>  
> Aber wozu muss man dieses [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] nochmal
> ausklammern? Könnte man es nich einfach so lassen?!

Natürlich, es sind wohl rein (subjektive) kosmetische Gründe, die für das Ausklammern von [mm] $-\frac{1}{2}$ [/mm] sprechen ;-)

Gruß

schachuzipus

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