Vereinfachung einer Funktion < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Mi 23.12.2009 | | Autor: | Ednukru |
| Aufgabe | f(x):= [mm] \bruch{(x²-1)}{(x²+2x+1)}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{(2x(x²+2x+1))-((2x+2)(x²-1))}{(x²+2x+1)²}
[/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{2}{(x+1)² }
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Moin,
Ich bin Biostudent und muss in meinem Grundstudium ein Semester Mathe machen. Jetzt nutze ich grade die Weihnachtsferien zum Lernen für die Klausur, dabei rechne ich Aufgaben nach, die bereits im Tutorium vorgerechnet wurden, damit ich weiß, ob ich es richtig oder falsch gemacht habe. Dabei bin ich auf die obrige Funktion gestoßen und hab versucht sie abzuleiten. Beim verwenden der Quotientenregel ergibt sich dann die zweite Funktion die ich dort hingeschrieben habe. Jetzt steht in meinen Notizen, und in einem Ableitungsrechner aus dem Internet, dass die abgeleitete Funktion die dritte ist, die ich oben angegeben habe, mit dem Kommentar, dass es die vereinfachte Version der Schreibweise ist, wie sie in Funktion 2 zu sehen ist. Ich versteh aber einfach nicht, was man dabei wie vereinfacht um die endgültige Ableitung heraus zu bekommen.
Ich hab schon alles ausmultipliziert und von einander abgezogen, aber dann bin ich immernoch meilenweit von der endgültigen Ableitung entfernt. Mit meiner Version lässt sich auch schwerlich weiterrechnen. Vielleicht kann mir ja jemand aufzeigen, wie man das alles vereinfachen kann.
Das (x+1)² ergibt sich vermutlich aus (x²+2x+1), das dies ja einfahc die ausmultiplizierte binomische Formel ist, aber ich hab ja (x²+2x+1) zum Quadrat, das kann ich ja nicht einfach verschwinden lassen.
verzweifelnde Grüße
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> f(x):= [mm]\bruch{(x^2-1)}{(x^2+2x+1)}[/mm]
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> f'(x)=
> [mm]\bruch{(2x(x^2+2x+1))-((2x+2)(x^2-1))}{(x^2+2x+1)^2}[/mm]
hier im zähler erstmal ausmultiplizieren
[mm] =\frac{2x^3+4x^2+2x-2x^3-2x^2+2x+2}{(x^2+2x+1)^2} [/mm]
schauen was sich aufhebt (nur die [mm] 2x^3 [/mm] terme), den rest zusammenfassen:
[mm] =\frac{2x^2+4x+2}{(x^2+2x+1)^2}
[/mm]
oben nun 2 ausklammern
[mm] =\frac{2*(x^2+2x+1)}{(x^2+2x+1)^2} [/mm]
nun kürzen
[mm] =\frac{2}{(x^2+2x+1)}=\frac{2}{(x+1)^2}
[/mm]
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> f'(x)= [mm]\bruch{2}{(x+1)^2 }[/mm]
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Moin,
>
> Ich bin Biostudent und muss in meinem Grundstudium ein
> Semester Mathe machen. Jetzt nutze ich grade die
> Weihnachtsferien zum Lernen für die Klausur, dabei rechne
> ich Aufgaben nach, die bereits im Tutorium vorgerechnet
> wurden, damit ich weiß, ob ich es richtig oder falsch
> gemacht habe. Dabei bin ich auf die obrige Funktion
> gestoßen und hab versucht sie abzuleiten. Beim verwenden
> der Quotientenregel ergibt sich dann die zweite Funktion
> die ich dort hingeschrieben habe. Jetzt steht in meinen
> Notizen, und in einem Ableitungsrechner aus dem Internet,
> dass die abgeleitete Funktion die dritte ist, die ich oben
> angegeben habe, mit dem Kommentar, dass es die vereinfachte
> Version der Schreibweise ist, wie sie in Funktion 2 zu
> sehen ist. Ich versteh aber einfach nicht, was man dabei
> wie vereinfacht um die endgültige Ableitung heraus zu
> bekommen.
> Ich hab schon alles ausmultipliziert und von einander
> abgezogen, aber dann bin ich immernoch meilenweit von der
> endgültigen Ableitung entfernt. Mit meiner Version lässt
> sich auch schwerlich weiterrechnen. Vielleicht kann mir ja
> jemand aufzeigen, wie man das alles vereinfachen kann.
> Das (x+1)² ergibt sich vermutlich aus (x²+2x+1), das
> dies ja einfahc die ausmultiplizierte binomische Formel
> ist, aber ich hab ja (x²+2x+1) zum Quadrat, das kann ich
> ja nicht einfach verschwinden lassen.
hallo,
also zuerst: potenzen bitte mit ^{} eingeben, sonst verschwinden die potenzen in den bildern und man kann es schlecht lesen
>
>
> verzweifelnde Grüße
gruß tee
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:12 Mi 23.12.2009 | | Autor: | Ednukru |
Moin,
oh Mann, jetzt wenn ich es lese macht es natürlich Sinn. Ich bin schlichtweg nicht aufs Ausklammern gekommen.
Vielen Dank für die Hilfe!
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:18 Mi 23.12.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hall und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wenn du die Quotientenregel anwendest, löse das Quadrat im Nenner (bei v²) erstmal noch nicht auf, meistens kann man diesen Teilterm in einer niedrigeren Potenz im Zähler ausklammern und dann kürzen.
Was mir hier allerdings noch aufgefallen ist:
[mm] f(x):=\bruch{(x^{2}-1)}{(x^{2}+2x+1)}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x-1)(x+1)}{(x+1)^{2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{x-1}{x+1}
[/mm]
Und das ist zwar auch mit der Quotientenregel abzuleiten, aber deutlich einfacher.
Marius
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