Vereinfachung eines Produktes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Folgende Aussage soll ich vereinfachen, dabei ist z eine komplexe Zahl, und [mm] z^{n} [/mm] = 1 !
[mm] \produkt_{k=0}^{n-1} z^{k} [/mm] = [mm] z^{0} [/mm] * [mm] z^{1} [/mm] * [mm] z^{2} [/mm] * ... * [mm] z^{n-1} [/mm]
Dazu habe ich mir folgendes überlegt : Man kann ja "Pärchen" bilden, die jeweils [mm] z^{n} [/mm] ergeben - also:
[mm] z^{1} [/mm] * z ^ {n-1} = z {n},
[mm] z^{2} [/mm] * z ^ {n-2} = z {n}, ... usw.
[mm] z^{0} [/mm] ist ja eh 1.
Das geht auch prima auf, wenn man z hoch eine gerade Zahl als letzten Faktor hat, wenn man aber z hoch eine ungerade Zahl als letzten Faktor hat, bleibt noch [mm] z^{n/2} [/mm] übrig.
Und dazu jetzt meine Frage : Kann ich eine Aussage über [mm] z^{n/2} [/mm] machen, oder muss ich die beiden Fällen unterscheiden?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Verwirrter,
da [mm]z^n=(z^{n/2})^2[/mm] ist kannst du folgern, dass [mm]z^{n/2}[/mm] entweder 1 oder -1 ist.
Damit ist dein gesamtes Produkt auch immer 1 oder -1, wobei -1 bei ungeradem n wegfällt, weil du ja keinen z-Faktor mehr übrig hast.
du kannst aber auch mal in deinem produkt die exponenten aufaddieren (potenzgesetze), etvl bringt dir das auch etwas.
Hugo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:28 So 28.11.2004 | | Autor: | verwirrter |
Hat sich erledigt .. entschuldige.
Trotzdem : Vielen Dank für die Antwort.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 00:53 So 28.11.2004 | | Autor: | dominik |
Es kommt nicht darauf an, ob die Anzahl gerade oder ungerade ist, weil
z hoch (n über 2) gleich Wurzel aus z hoch n ist, also Wurzel aus 1 [gemäss Angaben ist ja z hoch n gleich 1].
Somit ist z hoch (n über 2) auch gleich 1.
[mm] z^{n/2} [/mm] = [mm] \wurzel{z^{n}}=\wurzel{1}=1
[/mm]
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Hallo Dominik,
es ist nicht richtig, dass der halbe Exponent auf die Wurzel führt. Die Berücksichtigung der Doppeldeutigkeit ist wesentlich.
Bsp.:
[mm]z=i, n=4[/mm]
Dann gilt, dass [mm]z^4=1[/mm], aber [mm]z^2=-1[/mm]
Hugo
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