Vereinfachung linearer Teil < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:20 Sa 30.08.2008 | | Autor: | bigalow |
| Aufgabe | Ich habe folgende Quadrik Q: [mm] 5x_1²+4x_2-4x_3=0 [/mm] bezüglich des Koordinatensystems [mm] \IG=(P;f_1,f_2,f_3)=(\frac{1}{25}\vektor{3 \\ 4 \\ 0};\frac{1}{5}\vektor{3 \\ 4 \\ 0},\frac{1}{5}\vektor{4 \\ -3 \\ 0},\vektor{0 \\0 \\-1})
[/mm]
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Ich möchte die Quadrik nun auf euklidische Normalform bringen. Dazu müsste ich einen Linearanteil eliminieren. Wie geht das?
Besten Dank im Voraus für eure Hilfe!
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Hallo bigalow,
> Ich habe folgende Quadrik Q: [mm]5x_1²+4x_2-4x_3=0[/mm] bezüglich
> des Koordinatensystems
> [mm]\IG=(P;f_1,f_2,f_3)=(\frac{1}{25}\vektor{3 \\ 4 \\ 0};\frac{1}{5}\vektor{3 \\ 4 \\ 0},\frac{1}{5}\vektor{4 \\ -3 \\ 0},\vektor{0 \\0 \\-1})[/mm]
>
>
> Ich möchte die Quadrik nun auf euklidische Normalform
> bringen. Dazu müsste ich einen Linearanteil eliminieren.
> Wie geht das?
Was Du noch machen kannst, ist den linearen Teil durch eine Transformation auf nur eine Variable zu reduzieren. Damit Du
den Typ dieser Quadrik ermitteln kannst.
Wählst Du die Transformation
[mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
[mm]x_{2}=a_{1}*y_{2}+b_{1}*y_{3}[/mm]
[mm]x_{3}=a_{2}*y_{2}+b_{2}*y_{3}[/mm]
So musst Du dafür sorgen, daß [mm]4x_{2}-4x_{3}=4y_{2}[/mm] oder
[mm] x_{2}-4x_{3}=4y_{3}[/mm] ist, was gleichbedeutend damit ist,
daß entweder [mm]b_{1}=b_{2}[/mm] oder [mm]a_{1}=a_{2}[/mm] sein muß.
>
> Besten Dank im Voraus für eure Hilfe!
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 Sa 30.08.2008 | | Autor: | bigalow |
> Hallo bigalow,
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> > Ich habe folgende Quadrik Q: [mm]5x_1²+4x_2-4x_3=0[/mm] bezüglich
> > des Koordinatensystems
> > [mm]\IG=(P;f_1,f_2,f_3)=(\frac{1}{25}\vektor{3 \\ 4 \\ 0};\frac{1}{5}\vektor{3 \\ 4 \\ 0},\frac{1}{5}\vektor{4 \\ -3 \\ 0},\vektor{0 \\0 \\-1})[/mm]
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> >
> > Ich möchte die Quadrik nun auf euklidische Normalform
> > bringen. Dazu müsste ich einen Linearanteil eliminieren.
> > Wie geht das?
>
> Was Du noch machen kannst, ist den linearen Teil durch eine
> Transformation auf nur eine Variable zu reduzieren. Damit
> Du
> den Typ dieser Quadrik ermitteln kannst.
>
> Wählst Du die Transformation
>
> [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
>
> [mm]x_{2}=a_{1}*y_{2}+b_{1}*y_{3}[/mm]
>
> [mm]x_{3}=a_{2}*y_{2}+b_{2}*y_{3}[/mm]
>
Wenn ich in y-Koordinaten transformiere möchte ich doch aber entweder [mm] y_2=a_1x_2+b_1x_3
[/mm]
oder [mm] y_3=a_2x_2+b_2x_3
[/mm]
"herstellen".
> So musst Du dafür sorgen, daß [mm]4x_{2}-4x_{3}=4y_{2}[/mm] oder
> [mm]x_{2}-4x_{3}=4y_{3}[/mm] ist, was gleichbedeutend damit ist,
> daß entweder [mm]b_{1}=b_{2}[/mm] oder [mm]a_{1}=a_{2}[/mm] sein muß.
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> >
> > Besten Dank im Voraus für eure Hilfe!
>
>
> Gruß
> MathePower
Ich komme einfach nicht weiter....
Der Lösung entnehme ich das Ergebnis [mm] 5y_1²+4\wurzel{2}y_2=0
[/mm]
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Hallo bigalow,
> >
> > Wählst Du die Transformation
> >
> > [mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
> >
> > [mm]x_{2}=a_{1}*y_{2}+b_{1}*y_{3}[/mm]
> >
> > [mm]x_{3}=a_{2}*y_{2}+b_{2}*y_{3}[/mm]
> >
> Wenn ich in y-Koordinaten transformiere möchte ich doch
> aber entweder [mm]y_2=a_1x_2+b_1x_3[/mm]
> oder [mm]y_3=a_2x_2+b_2x_3[/mm]
> "herstellen".
Das hat jetzt absolut nichts mit der Transformation in y-Koordinaten zu tun.
Die Koordinaten in dem neuen transformierten System habe ich eben so gewählt.
>
> > So musst Du dafür sorgen, daß [mm]4x_{2}-4x_{3}=4y_{2}[/mm] oder
> > [mm]x_{2}-4x_{3}=4y_{3}[/mm] ist, was gleichbedeutend damit
> ist,
> > daß entweder [mm]b_{1}=b_{2}[/mm] oder [mm]a_{1}=a_{2}[/mm] sein muß.
> >
> >
> > >
> > > Besten Dank im Voraus für eure Hilfe!
> >
> >
> > Gruß
> > MathePower
> Ich komme einfach nicht weiter....
> Der Lösung entnehme ich das Ergebnis
> [mm]5y_1²+4\wurzel{2}y_2=0[/mm]
Hier wurde die geschilderte Transformation angewendet:
[mm]x_{1}=y_{1}[/mm]
[mm]x_{2}=a_{1}*y_{2}+b_{1}*y_{3}[/mm]
[mm]x_{3}=a_{2}*y_{2}+b_{2}*y_{3}[/mm]
mit [mm]a_{1}-a_{2}=\wurzel{2}[/mm] und [mm]b_{1}-b_{2}=0[/mm]
Wie man in der Musterlösung auf die [mm]\wurzel{2}[/mm] kommt, weiss ich leider auch nicht.
Gruß
MathePower
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