Vereinfachung von Ausdruecken < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Integrale:
a) [mm] \bruch{e^{2x}-2*e^{x}}{e^{2x}+1}
[/mm]
b) [mm] \bruch{e^{3x}}{e^{2x}-1} [/mm] |
Hallo,
kurz zu meiner vorgehensweise:
für a) habe ich [mm] e^x=u [/mm] substituiert, danach eine partialbruchzerlegung durchgeführt und nochmal u=tan(z) substituiert. Ich komme auch auf das richtige ergebnis, nämlich:
[mm] -ln(cos(arctan(e^x)))-2*arctan(e^x) [/mm]
Allerdings kann laut CAS der ausdruck [mm] -ln(cos(arctan(e^x))) [/mm] noch zu [mm] ln(x^2+1)*\bruch{1}{2} [/mm] vereinfacht werden. nur habe ich keine ahnung wie... Das ist also meine erste Frage
für b) habe ich ein ähnliches spiel getrieben und wieder erst [mm] u=e^x [/mm] substituiert, polynomdivision und denn u=sec(z) gesetzt, woraufhin ich zu dem ergebnis:
[mm] e^x+log\left(\bruch{sin(arcsec(e^x))}{cos(arcsec(e^x))+1}\right) [/mm] komme, was auch wieder korrekt ist, nur zu
[mm] e^x+0,5*log\left(\bruch{e^x-1}{e^x+1}\right) [/mm] vereinfacht werden kann. Das wäre dann meine zweite Frage.
Vielen Dank für eure baldige Hilfe :)
frohes fest,
exe
|
|
| |
|
Hallo exeqter,
es geht ja nur noch um die Vereinfachung.
Dazu sagt eine ![[]](/images/popup.gif) Formelsammlung folgendes Hilfreiche:
1) [mm] \cos{(\arctan{x})}=\bruch{1}{\wurzel{1+x^2}}
[/mm]
2) [mm] \sin{(\arccos{x})}=\wurzel{1-x^2}
[/mm]
Mit der ersten Formel kannst Du die Aufgabe a) vereinfachen, aber dass die zweite für Aufgabe b) passend ist, sieht man nicht sofort, was an dem in Deutschland ja kaum üblichen Sekans/Kosekans und den dazugehörigen Arcusfunktionen liegt.
Es ist ja [mm] \sec{x}=\bruch{1}{\cos{x}} [/mm] und mithin [mm] arc\sec{x}=\arccos{\bruch{1}{x}}
[/mm]
So, jetzt hast Du alle nötigen Formeln beisammen, denke ich.
Viel Erfolg,
reverend
|
|
|
|
