Vereinfachung von Termen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 So 03.01.2010 | | Autor: | rapalot |
| Aufgabe | Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktoin (nach n) anhand eines Beweises für folgende Behauptung:
[mm] (1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)*(1+x^8)...(1+x^{2^{n}})=(1-x^{2^{n+1}})/(1-x)
[/mm]
für alle n є N |
Ich bin soweit gekommen dass ich auf der linken Seite [mm] (1-x^{2^{n+1}})*(1+x^{2^{n+1}}) [/mm] und auf der rechten Seite [mm] 1-x^{2^{n+2}} [/mm] habe, also
[mm] (1-x^{2^{n+1}})*(1+x^{2^{n+1}}) [/mm] = [mm] 1-x^{2^{n+2}}
[/mm]
Den Nenner habe ich hier weggelassen, da er sowieso gleich ist.
Wie kann ich die LS bzw. RS so vereinfachen, dass nun auf beiden Seiten dasselbe steht?
Irgendwie komme ich hier nicht zurecht. Kann ich da nicht die Binomischen Formeln anwenden? Ich hab's probiert, aber ich bekomme nicht dasselbe Ergebnis. Mich verwirren da die Potenzen.
Vielleicht kann mir ja jemand helfen.
Danke schon Mal im Voraus!
LG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rapalot,
> Man erläutere das Prinzip der vollständigen Induktoin
> (nach n) anhand eines Beweises für folgende Behauptung:
>
> [mm](1+x)*(1+x^2)*(1+x^4)*(1+x^8)...(1+x^2^n)=(1-x^2^{n+1})/(1-x)[/mm]
> für alle n є N
Deine Formel hat's ein bisschen mitgenommen... Du meintest:
[mm] $(1+x)*(1+x^{2})*(1+x^{4})*...*(1+x^{(2^{n})}) [/mm] = [mm] \frac{1-x^{(2^{n+1})}}{1-x}$
[/mm]
bzw.
[mm] $\produkt_{k=0}^{n}(1+x^{(2^{k})}) [/mm] = [mm] \frac{1-x^{(2^{n+1})}}{1-x}$
[/mm]
> Ich bin soweit gekommen dass ich auf der linken Seite
> [mm](1-x^2^{n+1})*(1+x^2^{n+1})[/mm] und auf der rechten Seite
> [mm]1-x^2^{n+2}[/mm] habe, also
> [mm](1-x^2^{n+1})*(1+x^2^{n+1})[/mm] = [mm]1-x^2^{n+2}[/mm]
> Den Nenner habe ich hier weggelassen, da er sowieso gleich
> ist.
> Wie kann ich die LS bzw. RS so vereinfachen, dass nun auf
> beiden Seiten dasselbe steht?
> Irgendwie komme ich hier nicht zurecht. Kann ich da nicht
> die Binomischen Formeln anwenden? Ich hab's probiert, aber
> ich bekomme nicht dasselbe Ergebnis. Mich verwirren da die
> Potenzen.
Noch mehr verwirrt es, dass die Potenzen gar nicht angezeigt werde 
Du willst zeigen, dass
[mm] $(1-x^{(2^{n+1})})*(1+x^{(2^{n+1})}) [/mm] = [mm] 1-x^{(2^{n+2})}$
[/mm]
gilt. Das ist einfach die dritte binomische Formel! Nach der gilt:
$(a-b)*(a+b) = [mm] a^{2}-b^{2}$.
[/mm]
Hier ist $a = 1$ und $b = [mm] x^{(2^{n+1})}$. [/mm] Dann ist
[mm] $(1-x^{(2^{n+1})})*(1+x^{(2^{n+1})}) [/mm] = (a-b)*(a+b) = [mm] a^{2}-b^{2} [/mm] = [mm] 1^{2} [/mm] - [mm] \left(x^{(2^{n+1})}\right)^{2} [/mm] = 1 - [mm] x^{2*(2^{n+1})} [/mm] = [mm] 1-x^{(2^{n+2})}$.
[/mm]
Der vorletzte Schritt war dabei das Potenzgesetz [mm] (a^{n})^{m} [/mm] = [mm] a^{m*n}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:00 Mo 04.01.2010 | | Autor: | rapalot |
Hallo Sefan!
Super danke! Die Lösung war ja super einfach. Wieso hab' ich Depp das nicht gesehen.
Ich habe versucht die einzelnen Terme aufzulösen.
[mm] 1-x^{{2}^{n+1}} [/mm] habe ich z.B. als [mm] 1^{{2}^{n+1}}^-x^{{2}^{n+1}} [/mm] interpretiert und wollte die 3. Binomische Formel anwenden. Aber es ist mir nicht gelungen.
Ich werde jetzt noch die Formeln in meinem Ursprungspost korrigieren.
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