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Vereingung: Geraden
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:22 Fr 14.08.2009
Autor: Pacapear

Aufgabe
Sei $ [mm] G_1 [/mm]  = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 | x+y=0 \} [/mm] $ und $ [mm] G_2 [/mm]  = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 | 2x-3y=5 \} [/mm] $.

Bestimme $ [mm] G_1 \cap G_2 [/mm] $ und $ [mm] G_1 \cup G_2 [/mm] $.

Hallo zusammen!

Ich habe eine Frage zu der Aufgabe.

Also [mm] G_1 [/mm] ung [mm] G_2 [/mm] sind ja beides Geraden, die Mengenbeschreibungen hab ich nach $y$ umgestellt.

Dann ist der Schnitt von [mm] G_1 [/mm] ung [mm] G_2 [/mm] gerade der Schnittpunkt von den beiden Geraden, wenn ich den berechne, erhalte ich $ [mm] G_1 \cap G_2 [/mm] = (1,-1) $. Stimmt das?

Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?

Danke.

LG, Nadine

        
Bezug
Vereingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:01 Sa 15.08.2009
Autor: Marcel

Hallo,

> Sei [mm]G_1 = \{ (x,y) \in \IR^2 | x+y=0 \}[/mm] und [mm]G_2 = \{ (x,y) \in \IR^2 | 2x-3y=5 \} [/mm].
>  
> Bestimme [mm]G_1 \cap G_2[/mm] und [mm]G_1 \cup G_2 [/mm].
>  Hallo zusammen!
>  
> Ich habe eine Frage zu der Aufgabe.
>  
> Also [mm]G_1[/mm] ung [mm]G_2[/mm] sind ja beides Geraden, die
> Mengenbeschreibungen hab ich nach [mm]y[/mm] umgestellt.

okay. Schulnotationsgemäß würde man also (bspw.) auch schreiben
[mm] $$G_1:\; y=-x\;\;\; [/mm] (x [mm] \in \IR)$$ [/mm]
[mm] $$G_2:\;y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}\;\;\;(x \in \IR)\,.$$ [/mm]
  

> Dann ist der Schnitt von [mm]G_1[/mm] ung [mm]G_2[/mm] gerade der
> Schnittpunkt von den beiden Geraden, wenn ich den berechne,
> erhalte ich [mm]G_1 \cap G_2 =\red{ (1,-1)} [/mm]. Stimmt das?

Das kannst Du einfach nochmal selbst kontrollieren, indem Du guckst, ob $(1,-1) [mm] \in G_1$ [/mm] und auch $(1,-1) [mm] \in G_2$ [/mm] gilt. Denn zwei Geraden in der Ebene sind
[mm] $\bullet$ [/mm] echt parallel oder
[mm] $\bullet$ [/mm] identisch oder
[mm] $\bullet$ [/mm] schneiden sich in genau einem Punkt.  
  
Andere Fälle können nicht auftreten. Oben ist allerdings ein Notationsmangel:
[mm] $G_1 \cap G_2$ [/mm] ist eine Menge, daher solltest Du schreiben:
[mm] $$G_1 \cap G_2=\blue{\big\{}(1,-1)\blue{\big\}}\,.$$ [/mm]

Ich hoffe, Du hast es kontrolliert und damit auch nochmal erkannt, dass Dein Schnittpunkt stimmt. Nur Deine Notation für [mm] $G_1 \cap G_2$ [/mm] war oben zu bemängeln, weil der Schnitt zweier Mengen halt wieder eine Menge ist!

> Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen
> soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?

Das ist ganz einfach:
[mm] $$G_1 \cup G_2=\big\{(x,y) \in \IR^2:\;\;x+y=0\; \text{ oder }\;2x-3y=5\big\}\,.$$ [/mm]

(Oder meinetwegen auch:
   [mm] $G_1 \cup G_2=\big\{(x,y) \in \IR^2:\;\;y=-x \;\text{ oder }\;y=\frac{2}{3}x-\frac{5}{3};\;\;x \in \IR\big\}\,.$) [/mm]

Wenn es Dir Spaß macht, dann kannst Du auch - mit der vorhergehenden Überlegung bzw. Berechnung von [mm] $G_1 \cap G_2$ [/mm] - schreiben:
[mm] $$G_1 \cup G_2=\big\{(x,y) \in \IR^2:\;\;x+y=0\; \text{ oder }\;2x-3y=5,\; x \in \IR \setminus\{1\}\big\} \cup \big\{(1,-1)\big\}\,.$$ [/mm]

Aber wirklich bringen würde Dir das auch nichts (man würde nur ausnutzen, dass (trivialerweise) [mm] $G_1 \cup G_2=\Big(\big(G_1 \cup G_2\big)\setminus \big(G_1 \cap G_2\big)\Big) \cup \big(G_1 \cap G_2\big)$ [/mm] ist); der einzige Sinn bestünde darin, dass man so den Schnittpunkt der beiden Geraden mit ablesen könnte.

Gruß,
Marcel

Bezug
        
Bezug
Vereingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 02:14 Sa 15.08.2009
Autor: Andrey


> Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen
> soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?

Wenn man das ein bisschen algebraischer sieht, kann man ja sagen:
[mm] $\nu(I)\cup\nu(J)=\nu(I*J)=\nu(J\cap [/mm] J)$
Also:
[mm] $G_1\cup G_2=\nu(x+y)\cup\nu(2x-3y-5)=\nu((x+y)*(2x-3y-5))=\{(x,y)^T\in\IR^2 \vert (x+y)*(2x-3y-5)=0\}$ [/mm]

(wobei hier [mm] $\nu$ [/mm] für Varietät und I, J für Ideale steht)

Bezug
                
Bezug
Vereingung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:09 Sa 15.08.2009
Autor: Marcel

Hallo Andrey,

> > Bei der Vereingung weiß ich aber nicht, was ich machen
> > soll. Wie beschreibe ich die Vereinigung von zwei Geraden?
>  
> Wenn man das ein bisschen algebraischer sieht, kann man ja
> sagen:
>  [mm]\nu(I)\cup\nu(J)=\nu(I*J)=\nu(J\cap J)[/mm]
>  Also:
>  [mm]G_1\cup G_2=\nu(x+y)\cup\nu(2x-3y-5)=\nu((x+y)*(2x-3y-5))=\{(x,y)^T\in\IR^2 \vert (x+y)*(2x-3y-5)=0\}[/mm]
>  
> (wobei hier [mm]\nu[/mm] für Varietät und I, J für Ideale steht)

ja, das sieht auch gut aus (ich selber bin in Algebra nicht so bewandert, da hier leider keine Vorlesung dazu angeboten wurde, oder ich sie übersehen habe ^^).

Für Pacapear:
Auch, ohne die oben genannten Begriffe kannst Du Dir das erklären:
Es gilt ja bekanntlich für $a,b [mm] \in \IR$: [/mm]
$$a*b=0$$
[mm] $$\gdw a=0\;\; \text{ oder }\;\;b=0,$$ [/mm]
also (durch lesen dieser Äquivalenz von rechts nach links (bzw. in meiner Notation oben: von unten nach oben) mit [mm] $a=x+y\,$ [/mm] und [mm] $b=2x-3y-5\,$) [/mm]
$$(x,y) [mm] \in \IR^2\; \text{ erfüllt }\;x+y=0\;\text{ oder }\;2x-3y-5=0$$ [/mm]
[mm] $$\gdw [/mm] (x,y) [mm] \in \IR^2\; \text{ erfüllt }\;(x+y)*(2x-3y-5)=0\,.$$ [/mm]

Gruß,
Marcel

Bezug
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