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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:42 Sa 21.11.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Es sei p eine Primzahl und G eine Gruppe. Beweisen Sie:
a) Ist H eine p-Untergruppe von G, so gibt es eine p-Sylowgruppe P von G, in der H enthalten ist. Hinweis: Lemma von Zorn
b)G enthält eine p- Sylowgruppe
Definition:
Eine Untergruppe P von G heißt p-Sylowgruppe, wenn P eine (bezüglich der Mengeninklusion) maximale p-Untergruppe von G ist. |
Sei [mm] P=\{H| H \mbox{ist eine p-Untergruppe von G} \}
[/mm]
Wenn ich das Lemma von Zorn anwenden kann muss ich zeigen, dass jede Kette eine obere Schranke hat.
Sei [mm] K\subseteq [/mm] P eine Kette und sei [mm] S:=\bigcup_{\forall U \in K} [/mm] U.
Behauptung: S [mm] \in [/mm] P
Sei s [mm] \in [/mm] S [mm] \exists [/mm] U [mm] \in [/mm] K: s [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \exists [/mm] n [mm] \in \mathbb{Z}, n\ge [/mm] 0: [mm] ord(s)=p^n
[/mm]
Da [mm] \forall [/mm] U,U' [mm] \in [/mm] K: U [mm] \subseteq [/mm] U' oder [mm] U'\subseteq [/mm] U folgt [mm] U\cup [/mm] U' [mm] \le [/mm] G
Mittels Induktion und der Tatsache, dass auch [mm] \bigcup_{U \in K} [/mm] U bezüglich [mm] \subseteq [/mm] totalgeordnet ist kann ich zeigen, dass für eine endliche Vereinigung S in P wäre. Aber es kann doch auch K unendliche Ordnung haben.Was mache ich dann?
Noch eine Frage:
Ist a) und b) nicht genau die selbe Aufgabe? Wenn ich b) zeige habe ich doch a) gezeigt?
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Zunächst einmal hast du $P$ falsch definiert. $H$ ist ja eine fixierte $p$-Untergruppe und $P$ müsste aus allen $p$-Untergruppen von $G$ bestehen, welche $H$ enthalten. Unter diesen möchtest du ein maximales Element finden.
Was du da ansonsten bei der a) machst, verstehe ich nicht. Du musst zeigen, dass S eine Untergruppe ist (das folgt, da $K$ eine gerichtete Menge ist), und dass jedes Element von S eine Primzahlpotenz als Ordnung hat. Schwierigkeiten gibt es hierbei nicht, über irgendwelche Unendlichkeiten muss man nicht nachdenken.
b) ist eine unmittelbare Folgerung aus a), indem du [mm] $H=\{e\}$ [/mm] betrachtest. a) folgt aber nicht aus b).
Beachte, dass die Aussage ziemlich trivial und belanglos ist, und nichts mit den eigentlichen Sylowsätzen zu tun hat. Für gewöhnlich nennt man eine $p$-Untergruppe nicht Sylowgruppe (einer endlichen Gruppe $p$), wenn sie maximal bezüglich Inklusion ist, sondern wenn ihre Ordnung mit der maximalen $p$-Potenz übereinstimmt, welche die Ordnung von $G$ teilt. Dass es eine solche gibt ist deutlich schwieriger zu zeigen und diese Aussage ist unter dem Sylow-Satz bekannt.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:05 So 22.11.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Sei H eine p-Untergruppe von G.
[mm] P:=\{Q| \mbox{Q ist eine p-Untergruppe von G und} H \subseteq Q\}
[/mm]
Sei [mm] K\subseteq [/mm] P eine totalgeordnete Menge von P. Definiere S:= [mm] \bigcup_{U\in K} [/mm] U.
Da für alle U [mm] \in [/mm] K gilt H [mm] \subseteq [/mm] U folgt H [mm] \subseteq\bigcup_{U\in K} [/mm] U=S
> jedes Element von S eine Primzahlpotenz als Ordnung hat
Wenn s [mm] \in [/mm] S, dann existiert ein U [mm] \in [/mm] K, sodass [mm] s\in [/mm] U. Da U eine p-Untergruppe von G ist hat s eine Primzahlpotenz als Ordnung.
> Du musst zeigen, dass S eine Untergruppe ist (das folgt, da $ K $ eine gerichtete Menge ist)
Ich hatte gedacht, die Behauptung folgt aus der Totalordnung von K.
(P, [mm] \subseteq) [/mm] ist eine halgeordnete Menge(refl,trans,antisym) und [mm] (K,\subseteq) [/mm] ist eine totalgeordnete Menge(refl,trans,antisym,totalgeordnet).
Eine Vereinigung zweier Gruppen ist eine Gruppe wenn eine in der anderen enthalten ist. Dann hätte ich gezeigt, dass $ [mm] \bigcup_{U \in K} [/mm] $ U bezüglich $ [mm] \subseteq [/mm] $ totalgeordnet ist. Mittels Induktion nach |K| würde ich die Aussage, dass S eine Untergruppe ist, dann für endliche Kardinalität von K zeigen.
Wie argumentierst du, wenn du nicht über die Unendlichkeit nachdenken musst? Verstehe ich noch nicht ganz.
LG,
sissi
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> Hallo,
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> Sei H eine p-Untergruppe von G.
>
> [mm]P:=\{Q| \mbox{Q ist eine p-Untergruppe von G und} H \subseteq Q\}[/mm]
[OK]
> Sei [mm]K\subseteq[/mm] P eine totalgeordnete Menge von P. Definiere
> S:= [mm]\bigcup_{U\in K}[/mm] U.
> Da für alle U [mm]\in[/mm] K gilt H [mm]\subseteq[/mm] U folgt H
> [mm]\subseteq\bigcup_{U\in K}[/mm] U=S
> > jedes Element von S eine Primzahlpotenz als Ordnung hat
> Wenn s [mm]\in[/mm] S, dann existiert ein U [mm]\in[/mm] K, sodass [mm]s\in[/mm] U.
> Da U eine p-Untergruppe von G ist hat s eine Primzahlpotenz
> als Ordnung.
> > Du musst zeigen, dass S eine Untergruppe ist (das
> folgt, da [mm]K[/mm] eine gerichtete Menge ist)
>
> Ich hatte gedacht, die Behauptung folgt aus der
> Totalordnung von K.
Ja, tut sie. Totalordnung ist ein stärkerer Begriff als Gerichtetheit, also hat man hier alles, was man braucht. Rechne einfach die Untergruppenkriterien nach. [mm] $1\in [/mm] S$, [mm] $a\in S\implies a^{-1}\in [/mm] S$, [mm] $a,b\in S\implies ab\in [/mm] S$. Bei beliebigen Vereinigungen funktioniert das nicht, aber wenn du die Eigenschaft, dass es sich um eine Totalordnung handelt, verwendest, geht es.
Die Eigenschaft, dass eine gerichtete Vereinigung von Unterobjekten wieder ein Unterobjekt ist, kann man sich ruhig mal merken, weil man das immer wieder irgendwo braucht (und es gibt auch konzeptionelle Gründe hierfür).
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> (P, [mm]\subseteq)[/mm] ist eine halgeordnete
> Menge(refl,trans,antisym) und [mm](K,\subseteq)[/mm] ist eine
> totalgeordnete Menge(refl,trans,antisym,totalgeordnet).
> Eine Vereinigung zweier Gruppen ist eine Gruppe wenn eine
> in der anderen enthalten ist. Dann hätte ich gezeigt, dass
> [mm]\bigcup_{U \in K}[/mm] U bezüglich [mm]\subseteq[/mm] totalgeordnet
> ist. Mittels Induktion nach |K| würde ich die Aussage,
> dass S eine Untergruppe ist, dann für endliche
> Kardinalität von K zeigen.
> Wie argumentierst du, wenn du nicht über die
> Unendlichkeit nachdenken musst? Verstehe ich noch nicht
> ganz.
>
> LG,
> sissi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 So 22.11.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Danke für die Erklärung, ich hätte noch eine Frage dazu:
Wenn K [mm] \subseteq [/mm] P eine totalgeordnete Menge von P ist. Warum kann ich dann K als [mm] K_1 \subseteq K_2 \subseteq K_3 \subseteq [/mm] ... aufsteigende Kette von p-Untergruppen in P schreiben?
Also allgemein formuliert warum kann ich jede totalgeordnete Menge der halgeordneten Menge als aufsteigende Kette beschreiben?
Das eine Totalordnung eine gerichtete Menge ist - ist mir klar.
Weil die Charakterisierung würde sich gut für den Beweis eignen. Und diese wird auch verwendet im Satz, dass ein kommutativer Ring immer ein maximales Ideal enthält.
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Hallo,
das kann man im allgemeinen nicht. Es gibt triviale Beispiele, etwa [mm] $\IR$ [/mm] als totalgeordnete Teilmenge von [mm] $\IR$. [/mm] Deine Verwirrung rührt wahrscheinlich daher, dass die Begriffe nicht einheitlich verwendet werden.
Unter einer Kette verstehen manche Leute eine totalgeordnete Teilmenge, andere verstehen darunter einer Teilmenge, welche man als [mm] $x_1
Manchmal wird vorausgesetzt, dass jede totalgeordnete Menge eine obere Schranke hat, manchmal, dass jede Teilmenge der Form [mm] $x_1
Manchmal wird auch gefordert, dass eine Kette (egal in welchem der beiden Sinne) immer ein Supremum hat. Man könnte auch voraussetzen, dass jede gerichtete Teilmenge ein Supremum hat.
In jedem Fall liefert dann das Lemma von Zorn ein maximales Element. Nun ist die letztgenannte Bedingung - jede gerichtete Teilmenge hat ein Supremum - natürlich viel viel stärker, als die erste, dass jede Menge der Form [mm] $x_1
Man könnte daher meinen, dass man eine allgemeinere Form des Zornschen Lemmas hat, wenn man sich nur solche [mm] $x_1
Und du hast auch richtig festgestellt, dass alle Zorn-Beweise ziemlich gleich ablaufen, auch der zur Existenz maximaler Ideale. Auch bei diesem Beweis geht übrigens ein, dass eine gerichtete Vereinigung von Idealen wieder ein Ideal ist.
Hattest du es jetzt eigentlich hinbekommen, nachzurechnen, dass [mm] $a,b\in S\implies ab\in [/mm] S$?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 So 29.11.2015 | | Autor: | sissile |
Sry, für die späte Rückmeldung.
Alles ist nun klar. Vielen Dank für die Erklärungen!
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