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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Fr 18.04.2014 | | Autor: | nbt |
| Aufgabe | | Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{A},P)$ [/mm] ein W'Raum und [mm] $(\mathcal{F}_i)_{i\in I}$ [/mm] eine unabhängige Familie von [mm] Unter-$\sigma$-Algebren $\mathcal{F}_i\subseteq\mathcal [/mm] A$. [mm] $(J_k)_{k\in K}$ [/mm] sei eine Familie von paarweise disjunkten Indexmengen [mm] $J_k\subseteq [/mm] I$. Zeigen Sie, dass auch [mm] $(\sigma(\bigcup_{i\in J_k} \mathcal{F}_i))_{k\in K}$ [/mm] eine unabhängige Familie von [mm] Unter-$\sigma$-Algebren [/mm] ist. |
Hi,
es ist also zu zeigen, dass jede Familie [mm] $(A_k)_{k\in K}$, $A_k\in\bigcup_{i\in J_k}\mathcal{F}_i$, [/mm] unabhängig ist.
Ich hab Probleme mit der Aufgabe, weil für [mm] $k\in [/mm] K$ im Allgemeinen [mm] $\bigcup_{k\in K}\mathcal{F}_i$ [/mm] nicht durchschnittsstabil ist, ich also das Dynkin Lemma, das bei solchen Aufgaben ziemlich praktisch ist, nicht anwenden kann.
Hättet Ihr da einen Tipp, wie man anfängt?
Vielen Dank für die Hilfe,
nbt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:38 Mo 21.04.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nbt!
> Sei [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm] ein W'Raum und
> [mm](\mathcal{F}_i)_{i\in I}[/mm] eine unabhängige Familie von
> Unter-[mm]\sigma[/mm]-Algebren [mm]\mathcal{F}_i\subseteq\mathcal A[/mm].
> [mm](J_k)_{k\in K}[/mm] sei eine Familie von paarweise disjunkten
> Indexmengen [mm]J_k\subseteq I[/mm]. Zeigen Sie, dass auch
> [mm](\sigma(\bigcup_{i\in J_k} \mathcal{F}_i))_{k\in K}[/mm] eine
> unabhängige Familie von Unter-[mm]\sigma[/mm]-Algebren ist.
> es ist also zu zeigen, dass jede Familie [mm](A_k)_{k\in K}[/mm],
> [mm]A_k\in\bigcup_{i\in J_k}\mathcal{F}_i[/mm], unabhängig ist.
Ja, wenn ihr schon wisst, dass für eine unabhängige Familie
[mm] $(\mathcal{E}_k)_{k\in K}$
[/mm]
von Teilmengen [mm] $\mathcal{E}_k\subseteq\mathcal{A}$ [/mm] auch
[mm] $(\sigma(\mathcal{E}_k))_{k\in K}$
[/mm]
unabhängig ist.
> Ich hab Probleme mit der Aufgabe, weil für [mm]k\in K[/mm] im
> Allgemeinen [mm]\bigcup_{k\in K}\mathcal{F}_i[/mm]
[mm] $\bigcup_{i\in J_k}$ [/mm] meinst du, nicht [mm] $\bigcup_{k\in K}$.
[/mm]
> nicht
> durchschnittsstabil ist, ich also das Dynkin Lemma, das bei
> solchen Aufgaben ziemlich praktisch ist, nicht anwenden
> kann.
>
> Hättet Ihr da einen Tipp, wie man anfängt?
Betrachte anstelle von [mm] $\bigcup_{i\in J_k}\mathcal{F}_i$ [/mm] die durchschnittsstabile (!) Menge
[mm] $\mathcal{E}_k:=\{\bigcap_{i\in J_{k}'}A_i\;|\;\emptyset\not=J_{k}'\subseteq J_k\text{ endlich},A_i\in\mathcal{F}_i\text{ für alle }i\in J_k'\}$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:48 Di 22.04.2014 | | Autor: | nbt |
Danke Tobias für den Tipp, habs hinbekommen
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