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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:26 Mi 12.09.2007 | | Autor: | sydney |
Das durch die Funktion y=x²-4 und die x-Achse begrenzte endliche Flächenstück rotiert einmal um die x-Achse und einmal um die y-Achse. Berechnen Sie die beiden Volumina und das Verhältnis dieser beiden Volumina.
Skizze habe ich schon. Bräuchte die Rechenschritte zum Nachvollziehen.
Danke
Sydney
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Hallo!
Die Formel für das Rotationsvolumen ist doch [mm] $V=\pi*\integral_{x_1}^{x_2}f(x)^2dx$. [/mm] Du benötigst nur noch die Nullstellen der Funktion, denn die bilden die Grenzen, und das wars.
Für die Rotation um die y-Achse kannst du dein Blatt ja mal nehmen, und um 90° drehen. Welche Funktion siehst du nun, und von wo bis wo verlaufen die Grenzen diesmal?
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Hallo,
für die Rotation um die x-Achse gibt es die Formel [mm] V_{1} [/mm] = [mm] \pi*\integral_{a}^{b}{y^{2} dx} [/mm] mit y = f(x).
Zuerst ist also [mm] y^{2} [/mm] zu berechnen, dazu quadriert man einfach den Funktionsterm von f.
[mm] y^{2} [/mm] = [mm] (x^{2}-4)^{2} [/mm] 2. Binomische Formel!
= [mm] x^{4}-8x^{2}+16
[/mm]
Das Ergebnis setzt man nun für y in das Integral ein:
V = [mm] \pi*\integral_{-2}^{2}{x^{4}-8x^{2}+16 dx}
[/mm]
Die Grenzen a und b erkennt man an der Skizze, es sind die Nullstellen von f. Durch aufleiten erhält man [mm] V_{1} [/mm] = [mm] \pi*[\bruch{1}{5}*x^{5} -\bruch{8}{3}*x^{3} [/mm] + 16x] (mit 2 oben und -2 unten, kann man hier leider nicht so eingeben)
Ausrechnen ergibt [mm] \approx \pi*(17,067-(-17,067) \approx [/mm] 107,23.
Die Rotation um die y-Achse ist etwas schwieriger, weil man dazu erst die Umkehrfunktion bestimmen muss.
Hier lautet die Formel
[mm] V_{2} [/mm] = [mm] \pi*\integral_{c}^{d}{g(y)^{2} dy} [/mm] mit x = g(y).
Zur Umkehrfunktion: man löst die Gleichung y = [mm] x^2-4 [/mm] nach x auf und erhält x = [mm] \pm\wurzel{y+4}. [/mm] Jetzt quadriert man auf beiden Seiten und bekommt [mm] g(y)^{2} [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] = y+4. Das setzt man ins Integral ein und leitet auf:
[mm] V_{2}= \pi*\integral_{c}^{d}{y+4 dy}
[/mm]
= [mm] \pi*[\bruch{1}{2}y^{2}+4y] [/mm] mit den Grenzen c und d.
Jetzt wird es Zeit, zu überlegen was c und d sind. Hier bin ich mir nicht ganz sicher, ich denke c ist -4 und d ist 0, weil dies das Intervall ist in dem der Graph rotiert, genau wie das "Rotationsgebiet" bei der Drehung um die x-Achse das Intervall [-2,2] war, das weiß aber bestimmt irgendjemand anders.
Mit meinen Werten erhält man [mm] \pi*(0-(-8) \approx [/mm] 25,13.
Um das Verhältnis der beiden Volumina zueinander zu bestimmen, kann man z.B. den Quotienten [mm] V_{1}:V_{2} [/mm] ausrechnen:
[mm] V_{1}:V_{2} \approx [/mm] 107,23 : 25,13 [mm] \approx [/mm] 4,26, d.h. [mm] V_{1} [/mm] ist über 4-mal so groß wie [mm] V_{2}.
[/mm]
Viele Grüße,
Julia
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:09 Do 13.09.2007 | | Autor: | sydney |
Hallo Julia!
Danke für deine perfekte und ausführliche Hilfe. Hat mir sehr geholfen und kann die Volumenberechnungen + Rotationen jetzt sehr viel besser nachvollziehen. Lösung von dir war richtig.
Nochmal DANKE
Sydney
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