Verhalten im Unendlichen < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:05 Do 11.11.2010 | | Autor: | Haiza |
| Aufgabe | | Bestimme das Verhalten im unendlichen. |
Hallo
ich habe eine Verständnisfrage. Ich verstehe nicht ganz wie ich das Verhalten im Unendlichen an einer bloßen gebrochenrationalen Fkt. erkennen kann ohne zu rechnen.
Die Aufgabe lautet:
[mm] (2x^3+2x²+7x-3):(x-5)
[/mm]
Die Aufgabe lassen wir mit + und - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] laufen. Das Ergebnis ist für + [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] und +unendlich und für - [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] auch + unendlich. Warum verlaufen beide ins positive unendliche und wie kann ich nun anhand dieser unendlichkeitswerte die Fkt zeichen (skizzieren/ungenau nur um den Verlauf erkennen zu können)?
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo Haiza,
> Bestimme das Verhalten im unendlichen.
> Hallo
> ich habe eine Verständnisfrage. Ich verstehe nicht ganz
> wie ich das Verhalten im Unendlichen an einer bloßen
> gebrochenrationalen Fkt. erkennen kann ohne zu rechnen.
> Die Aufgabe lautet:
> [mm](2x^3+2x²+7x-3):(x-5)[/mm]
Nun, für betraglich sehr große x ist der Zähler von der Größenordnung [mm] $2x^3$ [/mm] (die restlichen Summanden spielen keine Rolle - der höchste Exponent bestimmt, wo's lang geht).
Der Nenner entsprechend $x$
Insgesamt ist der Bruch dann von der Größenordnung [mm] $\frac{2x^3}{x}=2x^2$ [/mm] (bzw. [mm] $x^2$ [/mm] - die 2 ist ja auch nicht von Bedeutung)
Und das strebt doch ersichtlich für [mm] $x\to\pm\infty$ [/mm] gegen [mm] $+\infty$
[/mm]
>
> Die Aufgabe lassen wir mit + und -
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] laufen. Das Ergebnis ist für +
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] und +unendlich und für -
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}[/mm] auch + unendlich. Warum
> verlaufen beide ins positive unendliche und wie kann ich
> nun anhand dieser unendlichkeitswerte die Fkt zeichen
> (skizzieren/ungenau nur um den Verlauf erkennen zu
> können)?
Naja, bisher weißt du eigentlich nur, wie der Graph der Funktion sich im Unendlichen verhält.
Du brauchst schon noch 1-2 Merkmale, um den Verlauf in etwa vernünftig zu skizzieren.
Hier ist bei $x=5$ eine Polstelle (beachte: $x=5$ ist nicht NST des Zählers ...)
>
> Gruß
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Do 11.11.2010 | | Autor: | Haiza |
> Der Nenner entsprechend [mm]x[/mm]
>
> Insgesamt ist der Bruch dann von der Größenordnung
> [mm]\frac{2x^3}{x}=2x^2[/mm] (bzw. [mm]x^2[/mm] - die 2 ist ja auch nicht von
> Bedeutung)
>
> Und das strebt doch ersichtlich für [mm]x\to\pm\infty[/mm] gegen
> [mm]+\infty[/mm]
Sorry blicke bei dem Abschnitt von dir noch nicht durch, kannst du das eventuell noch einmal genauer beschreiben. Ich steh bei dem Thema etwas auf dem Schlauch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Do 11.11.2010 | | Autor: | Pappus |
> > Der Nenner entsprechend [mm]x[/mm]
> >
> > Insgesamt ist der Bruch dann von der Größenordnung
> > [mm]\frac{2x^3}{x}=2x^2[/mm] (bzw. [mm]x^2[/mm] - die 2 ist ja auch nicht von
> > Bedeutung)
> >
> > Und das strebt doch ersichtlich für [mm]x\to\pm\infty[/mm] gegen
> > [mm]+\infty[/mm]
>
> Sorry blicke bei dem Abschnitt von dir noch nicht durch,
> kannst du das eventuell noch einmal genauer beschreiben.
> Ich steh bei dem Thema etwas auf dem Schlauch.
Guten Tag!
Es wäre natürlich für uns etwas einfacher Dir zu helfen, wodurch Dein Blick getrübt wird ...
Es gibt einen sehr formalen Weg, die Frage nach dem Verhalten im Unendlichen zu beantworten, sofern Zähler und Nenner Polynome sind:
$ [mm] \lim_{|x| \to \infty}\left( \dfrac{2x^3+2x^2+7x-3}{x-5} \right) [/mm] = [mm] \lim_{|x| \to \infty}\left( \dfrac{x^3\left(2+\frac2x+\frac7{x^2}-\frac3{x^3}\right)}{x\left(1-\frac5x\right)} \right) [/mm] $
Alle Brüche mit einer Potenz von x im Nenner werden für betragsmäßig sehr große Werte von x zu null. Man darf sie also für das Endergebnis weglassen.
Was übrigbleibt ist der Term, der Dir schon von schachuzipus genannt wurde.
Alles klar - auch der Durchblick?
Salve
Pappus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 So 14.11.2010 | | Autor: | Haiza |
Mir wird einfach nicht ersichtlich warum es gegen unendlich geht und vorallem warum gegen + oder -
Du hast geschrieben
$ [mm] \lim_{|x| \to \infty}\left( \dfrac{2x^3+2x^2+7x-3}{x-5} \right) [/mm] = [mm] \lim_{|x| \to \infty}\left( \dfrac{x^3\left(2+\frac2x+\frac7{x^2}-\frac3{x^3}\right)}{x\left(1-\frac5x\right)} \right) [/mm] $
Ich sehe, dass du [mm] x^3 [/mm] ausgeklammert hast, aber ich verstehe nicht, warum mir das nun ersichtlicher sein soll, dass das verhalten im unendlichen gegen + unendlich geht. Mir fehlt so ein kleiner "Kontrollpunkt" woran ich immer erkenne kann, ob es nun ausschließlich ins + unendliche oder ins + und - unendlich geht.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 So 14.11.2010 | | Autor: | Haiza |
Ah habe nochmal kurz überlegt. Durch das Ausklammern, bleibt im Zähler [mm] x^3 [/mm] und im Nenner ausschließlich x. Beim einsetzen von +unendlich wird es unendlich, da kein Minus vor dem x steht. Beim einsetzen von -unendlich wird es +unendlich, da die Potenz 3 das minus unendlich, auch ein Minus unendlich bleibt. (Da [mm] -\infty [/mm] * [mm] -\infty [/mm] plus ist und das wird nochmal mit [mm] -\infty [/mm] mulitpiziert, was dann also wieder [mm] -\infty [/mm] [also kommt es auf die geraden/ungeraden Exponenten an] ergibt).
Da im Nenner nur die Potenz [mm] x^1 [/mm] steht und die Potenz 1 ungerade wird, wird also aus dem Nenner auch ein [mm] -\infty [/mm] . Anschließend haben wir also im Zähler ein [mm] -\infty [/mm] und im Nenner ein [mm] -\infty [/mm] was sich quasi weg kürzt und ein [mm] +\infty [/mm] ergibt.
Ist etwas unpassend forumliert, aber ich hoffe, ihr wisst worauf ich hinaus will.
Gruß
|
|
|
| |
|
> Mir wird einfach nicht ersichtlich warum es gegen unendlich
> geht und vorallem warum gegen + oder -
> Du hast geschrieben
> [mm]\lim_{|x| \to \infty}\left( \dfrac{2x^3+2x^2+7x-3}{x-5} \right) = \lim_{|x| \to \infty}\left( \dfrac{x^3\left(2+\frac2x+\frac7{x^2}-\frac3{x^3}\right)}{x\left(1-\frac5x\right)} \right)[/mm]
hier einfach vorne mal [mm] x^3/x [/mm] kürzen.
[mm] =\lim_{|x| \to \infty}x^2\left( \dfrac{\left(2+\frac2x+\frac7{x^2}-\frac3{x^3}\right)}{\left(1-\frac5x\right)} \right)
[/mm]
nun wird aus [mm] x^2 [/mm] bei |x| [mm] \to \infty +\infty [/mm] draus, bei der rechten grossen klammer werden aus allen brüchen mit x im nenner nullen draus, somit bleibt rechts der quotient 2/1=2 was aber an [mm] +\infty [/mm] nichts ändert
>
> Ich sehe, dass du [mm]x^3[/mm] ausgeklammert hast, aber ich verstehe
> nicht, warum mir das nun ersichtlicher sein soll, dass das
> verhalten im unendlichen gegen + unendlich geht. Mir fehlt
> so ein kleiner "Kontrollpunkt" woran ich immer erkenne
> kann, ob es nun ausschließlich ins + unendliche oder ins +
> und - unendlich geht.
>
>
gruß tee
|
|
|
|
