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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Verhulst logistische Gleichung
Verhulst logistische Gleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Verhulst logistische Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:07 Fr 09.03.2012
Autor: Ivyno

Aufgabe
Lösen der logistischen Gleichung.

[mm] \bruch{dx(t)}{dt}=r*x(t)*(1-\bruch{x(t)}{k}) [/mm]

r... Wachstumsparameter
x(t)...Populationsgröße
k...Begrenzungsfaktor (Kapazität)

Hallo an alle!

Mein Problem ist, wie genau ich hier zu einer Lösung kommen soll. Mein Ansatz war der folgende:

Erstmal vereinfachte Schreibweise:

[mm] x'=rx-\bruch{rx^{2}}{k} [/mm]

Umformung:

[mm] -x+rx=\bruch{rx^{2}}{k} [/mm]

hier dachte ich mir dann vielleicht einen Störgliedansatz zu nehmen. So hab ich erst die homogene Lösung berechnet.

[mm] x_{h}: x=x_{0}e^{rt} [/mm]

Aber die partikuläre Lösung ist wegen dem Quadrat von x irgendwie komisch und mir will kein Ansatz einfallen.

Könnte mir hier jemand helfen??

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Verhulst logistische Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Fr 09.03.2012
Autor: fencheltee


> Lösen der logistischen Gleichung.
>  
> [mm]\bruch{dx(t)}{dt}=r*x(t)*(1-\bruch{x(t)}{k})[/mm]
>  
> r... Wachstumsparameter
>  x(t)...Populationsgröße
>  k...Begrenzungsfaktor (Kapazität)
>  Hallo an alle!
>  
> Mein Problem ist, wie genau ich hier zu einer Lösung
> kommen soll. Mein Ansatz war der folgende:
>  
> Erstmal vereinfachte Schreibweise:
>  
> [mm]x'=rx-\bruch{rx^{2}}{k}[/mm]
>  
> Umformung:
>  
> [mm]-x+rx=\bruch{rx^{2}}{k}[/mm]
>  
> hier dachte ich mir dann vielleicht einen Störgliedansatz
> zu nehmen. So hab ich erst die homogene Lösung berechnet.
>  
> [mm]x_{h}: x=x_{0}e^{rt}[/mm]
>  
> Aber die partikuläre Lösung ist wegen dem Quadrat von x
> irgendwie komisch und mir will kein Ansatz einfallen.

hallo,
hier liegt eine bernoulli dgl vor. die solltet ihr doch behandelt haben?
ansonsten versuch den ansatz: [mm] u=\frac{1}{x} [/mm]

>
> Könnte mir hier jemand helfen??
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

gruß tee

Bezug
        
Bezug
Verhulst logistische Gleichung: logistische Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:07 Sa 10.03.2012
Autor: Martinius

Hallo,

[willkommenmr]


Die logistische Gleichung wird z.B. im Schulbuch "Elemente der Mathematik", LK Analysis, vom Schrodel Verlag, S.301/302 behandelt.


Wenn Du deinen Faktor k vor die Klammer ziehst, kommst Du ungefähr auf das:

[mm] $\dot [/mm] x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] r*x(t)*(S-x(t))$

mit der Lösung:   $x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{A*S}{A+(S-A)*e^{-r*S*t}}$ [/mm]

A = Anfangspopulation zum Zeitpunkt t = 0 .

S = obere Schranke der Population.


[mm] $\frac{d \; x(t)}{dt} \; [/mm] = [mm] \; [/mm] r*x(t)*(S-x(t))$

[mm] $\int \frac{1}{x*(S-x)} \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; r*\int [/mm] dt $

Das linke Integral löst man mit Partialbruchzerlegung:

[mm] $\int \frac{1}{x*(S-x)} \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; \int \left( \frac{B}{x} +\frac{D}{(S-x)} \right) \; [/mm] dx $

$1 = B*(S-x) + D*x$

$1 = x*(D-B) + B*S$

also  D = B  und  $B [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{S}$ [/mm]

[mm] $\int \frac{1}{x*(S-x)} \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{1}{S}\int \left( \frac{1}{x} +\frac{1}{(S-x)} \right) \; [/mm] dx [mm] \; [/mm] = [mm] \; r*\int [/mm] dt$

[mm] $ln|x|-ln|S-x|\; [/mm] = [mm] \; [/mm] r*S*t + [mm] ln|C_1|$ [/mm]

[mm] $\frac{x}{S-x} \; [/mm] = [mm] \; C_1*e^{r*S*t}$ [/mm]

[mm] $\frac{S-x}{x} \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{x} [/mm] -1 [mm] \; [/mm] = [mm] \; C*e^{-r*S*t}$ [/mm]

[mm] $\frac{S}{x} \; [/mm] = [mm] \; 1+C*e^{-r*S*t}$ [/mm]

$x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{1+C*e^{-r*S*t}}$ [/mm]


Anfangsbedingung:  x(t=0) = A   (A wie Anfangspopulation)


$x(t=0) [mm] \; [/mm] = [mm] \; [/mm] A [mm] \; =\frac{S}{1+C*}$ [/mm]

$1+C [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{A}$ [/mm]

$C [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S-A}{A}$ [/mm]


$x(t) [mm] \; [/mm] = [mm] \; \frac{S}{1+\frac{(S-A)}{A}*e^{-r*S*t}} \; [/mm] = [mm] \; \frac{A*S}{A+(S-A)*e^{-r*S*t}}$ [/mm]


LG, Martinius

Bezug
                
Bezug
Verhulst logistische Gleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:12 Sa 10.03.2012
Autor: Martinius

Hallo,

ergänze doch bitte Dein Profil. Damit wir wissen, ob Du Schüler oder Student bist.

LG, Martinius

Bezug
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