Verifizierung Gauß, Pyramide < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:03 Di 22.01.2013 | | Autor: | Lustique |
| Aufgabe | Verifizieren Sie die Aussage des Gaußschen Integralsatzes durch explizite Berechnung beider Seiten für die Pyramide
[mm] $P=\left\{(x, y, z)\in\mathbb{R}^3:\max\{|x|, |y|\}\leqslant 1-z, 0\leqslant z\leqslant 1\right\}$
[/mm]
und das Vektorfeld [mm] $F\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3$, [/mm] $F(x, y, z) = [mm] (x^4 [/mm] , [mm] z^3 [/mm] , [mm] y^2 )^t$ [/mm] , wobei das Integral über [mm] $\partial [/mm] P$ als Summe
der Integrale über die 5 Flächen der Pyramide zu verstehen sei. |
Hallo mal wieder,
irgendwie hakt es bei mir bei dieser Aufgabe, da bei mir beide Seiten nicht übereinstimmen. Deswegen wollte ich euch fragen, ob ich schon prinzipiell etwas falsch mache, oder ob ich mich wahrscheinlich nur verrechnet habe. Hier unten dann mal ein Auszug aus meiner Rechnung:
Zuerst die "linke Seite", also das Integral über die ganze Pyramide:
[mm] $\int_P \operatorname{div} [/mm] F [mm] \operatorname{d}\lambda^3=\int_0^1\int_{z-1}^{1-z}\int_{z-1}^{1-z} 4x^3\operatorname{d}x\operatorname{d}y\operatorname{d}z=\int_0^1\int_{z-1}^{1-z} 0\operatorname{d}y\operatorname{d}z=0$ [/mm]
Jetzt die fünf Flächen (erstmal nur eine Fläche exemplarisch), also die rechte Seite [mm] ($\int_{\partial P} \langle [/mm] F, [mm] \nu\rangle\operatorname{d}\sigma^{\partial P}=\int_{\partial P} \langle [/mm] F, [mm] \nu\rangle\operatorname{d}\sigma$, [/mm] wobei [mm] $\int_V f\operatorname{d}\sigma^M [/mm] = [mm] \int_U f\circ \Psi\sqrt{g\Psi}\operatorname{d}\lambda^d$ [/mm] für eine d-dim. [mm] $C^1$-Mfk [/mm] M in [mm] $\mathbb{R}^n$ [/mm] und eine lokale Parametrisierung [mm] $\Psi\colon U\to [/mm] V$ und [mm] $f\colon V\to\mathbb{K}$ $\mathcal{B}(V)$-messbar, $g\Psi$ [/mm] der Gramschen Determinante von [mm] $\Psi$; [/mm] Ich hoffe mal, damit ist klar, was ich meine. Das ist ja notationell nicht besonders einheitlich.):
1. Fläche: Der Boden der Pyramide. Hier gilt ja [mm] $-1\leqslant [/mm] x, [mm] y\leqslant [/mm] 1, [mm] \quad [/mm] z=0$. Des Weiteren wäre [mm] $\nu=(0, [/mm] 0, [mm] -1)^t$, [/mm] $F(x, y, [mm] z)=(x^4, [/mm] 0, [mm] y^2)^t$ [/mm] und [mm] $\langle [/mm] F, [mm] \nu\rangle=-y^2$, [/mm] mit [mm] $\Psi\colon [/mm] [-1, [mm] 1]^2\to F_1$, $\Psi(x, [/mm] y)=(x, y, [mm] 0)^t$ [/mm] als Parametrisierung. Ist das überhaupt eine Parametrisierung? Mir ist dazu nichts besseres eingefallen, da es ja einfach nur ein Quadrat ist. Die anderen Flächen habe ich dann auf dieselbe Art und Weise behandelt.
Dann habe ich [mm] $D\Psi(x, y)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$, [/mm] also [mm] $\sqrt{g\Psi}=1$. [/mm] Für die erste Fläche gilt dann:
[mm] $\int_{F_1} \langle [/mm] F, [mm] \nu\rangle\operatorname{d}\sigma=\int_{-1}^1\int_{-1}^1 -y^2\cdot [/mm] 1 [mm] \operatorname{d}y\operatorname{d}x=-\int_{-1}^1\frac{2}{3}\operatorname{d}x=-\frac{4}{3}$. [/mm]
Ich nehme mal an, dass ich mir hier schon Mist zusammengerechnet habe, aber sollte das nicht der Fall sein, kann ich auch noch die Rechnung zu den anderen Flächen hier aufschreiben.
Könnt ihr mir schreiben, was ich hier falsch gemacht habe? Für die ganze rechte Seite, also alle fünf Flächen, komme ich nämlich auf -1 als Endergebnis, und das kann ja nicht sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Mi 23.01.2013 | | Autor: | Lustique |
Die Frage hat sich erledigt, ich habe noch Rechenfehler gefunden. Als die berichtigt waren, ging das Ganze auch auf.
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