Verkettete Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:59 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
| Aufgabe | Für den [mm] \IR^2 [/mm] seien [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] die folgenden linearen Abbildungen [mm] L_i [/mm] : [mm] \IR^2 \rightarrow \IR^2.
[/mm]
[mm] L_1 [/mm] ist die Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn und
[mm] L_2 [/mm] die Spiegelung an der [mm] x_2-Achse.
[/mm]
Gesucht sind die Matrixdarstellungen von
a) [mm] L_1 [/mm] b) [mm] L_2 [/mm] c) [mm] L_1 \circ L_2 [/mm] d) [mm] L_2 \circ L_1
[/mm]
e) Wie kann man [mm] L_1 \circ L_2 [/mm] und [mm] L_2 \circ L_1 [/mm] geometrisch beschreiben? |
Guten Morgen zusammen,
bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob meine Lösung genügt bzw. c) und d) weiß ich nicht, wie ich sie schreiben soll.
zu a)
Dazu habe ich im Koordinaten System die beiden Einheitsvektroren [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] eingezeichnet und dann eine Rotation um [mm] \alpha [/mm] (allgemein eingezeichnet).
Dann habe ich anhand sinus- und cosinus-Satz [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] ermittelt:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{a \\ c}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{b \\ d}
[/mm]
1. Spalte
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \vektor{a \\ c}=\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] cos(\alpha)
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] sin(\alpha)
[/mm]
2. Spalte
[mm] \vektor{b \\ d}=\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] x_1 [/mm] = [mm] -sin(\alpha)
[/mm]
[mm] x_2 [/mm] = [mm] cos(\alpha)
[/mm]
[mm] \Rightarrow \pmat{ a & b \\ c & d } [/mm] = [mm] \pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }
[/mm]
[mm] \Rightarrow L_1:=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] L_1 [/mm] für [mm] \alpha [/mm] = 90°:
[mm] L_1:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] L_2:
[/mm]
Da habe ich mir Folgendes gedacht:
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2} [/mm] = [mm] \vektor{ a \cdot x_1 + b \codt x_2 \\ c \cdot x_1 + d \cdot x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a= -1, b = 0, c=0, d=1
[mm] \Rightarrow L_2 [/mm] := [mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{x_1 \\ x_2}
[/mm]
zu c) und d)
Ich weiß nicht, wie ich die Matrixdarstellung für die Verkettung herleiten soll.
Bei c) wird zuerst eine Rotation um 90° [mm] (L_1) [/mm] und dann eine Spiegelung an der [mm] x_2-Achse (L_2) [/mm] durchgeführt.
Beid d) genau umgekehrte Reihenfolge von c)
zu e)
Die geometrische Beschreibung von [mm] L_1 \circ L_2 [/mm] und [mm] L_2 \circ L_1 [/mm] ist doch die, die ich oben für c) und d) geschrieben habe, oder?
Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Lösungen bzw. Vorgen richtig sind?
Vielen Dank vorab
Viele Grüße
Asg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:57 Mi 26.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> Für den [mm]\IR^2[/mm] seien [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] die folgenden linearen
> Abbildungen [mm]L_i[/mm] : [mm]\IR^2 \rightarrow \IR^2.[/mm]
>
> [mm]L_1[/mm] ist die Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn und
> [mm]L_2[/mm] die Spiegelung an der [mm]x_2-Achse.[/mm]
>
> Gesucht sind die Matrixdarstellungen von
>
> a) [mm]L_1[/mm] b) [mm]L_2[/mm] c) [mm]L_1 \circ L_2[/mm] d) [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> e) Wie
> kann man [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm] geometrisch
> beschreiben?
> Guten Morgen zusammen,
>
> bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob meine
> Lösung genügt bzw. c) und d) weiß ich nicht, wie ich sie
> schreiben soll.
>
> zu a)
> Dazu habe ich im Koordinaten System die beiden
> Einheitsvektroren [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> eingezeichnet und dann eine Rotation um [mm]\alpha[/mm] (allgemein
> eingezeichnet).
> Dann habe ich anhand sinus- und cosinus-Satz [mm]x_1[/mm] und [mm]x_2[/mm]
> ermittelt:
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{b \\ d}[/mm]
>
> 1. Spalte
> [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\vektor{a \\ c}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]sin(\alpha)[/mm]
>
> 2. Spalte
> [mm]\vektor{b \\ d}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> [mm]x_1[/mm] = [mm]-sin(\alpha)[/mm]
> [mm]x_2[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
Das stimmt nicht. Du hast im Uhrzeigersinn gedreht !
>
> [mm]\Rightarrow L_1:=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
Dass die matrix nicht stimmt habe ich Dir schon gesagt. Die Schreibweise stimmt nicht. Richtig ist es ohne [mm] $*\vektor{x_1 \\ x_2}$
[/mm]
>
> [mm]L_1[/mm] für [mm]\alpha[/mm] = 90°:
>
> [mm]L_1:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
Wie gesagt, es simmt nicht.
Einfacher gehts so:
$ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{a \\ c}= \vektor{0 \\ 1} [/mm] $.
Es folgt: a=0 und c=1.
$ [mm] \pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{b \\ d}=\vektor{-1 \\ 0}$ [/mm]
Es folgt: d=0 und b=-1
Somit:
[mm] L_1=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0} [/mm]
>
> [mm]L_2:[/mm]
> Da habe ich mir Folgendes gedacht:
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] =
> [mm]\vektor{ a \cdot x_1 + b \codt x_2 \\ c \cdot x_1 + d \cdot x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a= -1, b = 0, c=0, d=1
>
> [mm]\Rightarrow L_2[/mm] := [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
Diesmal ist es richtig, bis auf die Darstellung. Es ist
[mm] L_2= \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
>
>
> zu c) und d)
> Ich weiß nicht, wie ich die Matrixdarstellung für die
> Verkettung herleiten soll.
Matrixdarstellung der Verkettung = Produkt der Darstellungsmatrizen
> Bei c) wird zuerst eine Rotation um 90° [mm](L_1)[/mm] und dann
> eine Spiegelung an der [mm]x_2-Achse (L_2)[/mm] durchgeführt.
> Beid d) genau umgekehrte Reihenfolge von c)
>
> zu e)
>
> Die geometrische Beschreibung von [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> ist doch die, die ich oben für c) und d) geschrieben habe,
> oder?
Ja. Aber was bewirken die Verkettungen am Ende ?
FRED
>
>
> Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Lösungen bzw. Vorgen
> richtig sind?
>
> Vielen Dank vorab
>
> Viele Grüße
>
> Asg
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
> > Für den [mm]\IR^2[/mm] seien [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] die folgenden linearen
> > Abbildungen [mm]L_i[/mm] : [mm]\IR^2 \rightarrow \IR^2.[/mm]
> >
> > [mm]L_1[/mm] ist die Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn und
> > [mm]L_2[/mm] die Spiegelung an der [mm]x_2-Achse.[/mm]
> >
> > Gesucht sind die Matrixdarstellungen von
> >
> > a) [mm]L_1[/mm] b) [mm]L_2[/mm] c) [mm]L_1 \circ L_2[/mm] d) [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> > e)
> Wie
> > kann man [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm] geometrisch
> > beschreiben?
> > Guten Morgen zusammen,
> >
> > bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob meine
> > Lösung genügt bzw. c) und d) weiß ich nicht, wie ich sie
> > schreiben soll.
> >
> > zu a)
> > Dazu habe ich im Koordinaten System die beiden
> > Einheitsvektroren [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> > eingezeichnet und dann eine Rotation um [mm]\alpha[/mm] (allgemein
> > eingezeichnet).
> > Dann habe ich anhand sinus- und cosinus-Satz [mm]x_1[/mm] und
> [mm]x_2[/mm]
> > ermittelt:
> >
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}[/mm]
>
> >
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{b \\ d}[/mm]
>
> >
> > 1. Spalte
> > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > [mm]\vektor{a \\ c}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > [mm]x_1[/mm] =
> [mm]cos(\alpha)[/mm]
> > [mm]x_2[/mm] = [mm]sin(\alpha)[/mm]
> >
> > 2. Spalte
> > [mm]\vektor{b \\ d}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > [mm]x_1[/mm] =
> [mm]-sin(\alpha)[/mm]
> > [mm]x_2[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Du hast im Uhrzeigersinn gedreht !
>
Uups, du hast recht, ich habe mich aber vertippt - oben unter 2. Spalte habe ich es richtig.
>
> >
> > [mm]\Rightarrow L_1:=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> Dass die matrix nicht stimmt habe ich Dir schon gesagt. Die
> Schreibweise stimmt nicht. Richtig ist es ohne [mm]*\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
Stimmt, du hast recht. Was ich geschrieben habe, ist ja am Ende ein Vektor.
>
> >
> > [mm]L_1[/mm] für [mm]\alpha[/mm] = 90°:
> >
> > [mm]L_1:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> Wie gesagt, es simmt nicht.
>
> Einfacher gehts so:
>
>
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}= \vektor{0 \\ 1} [/mm].
Das kann ich gerade nicht nachvollziehen, wo du [mm] \vektor{0 \\ 1} [/mm] her hast.??
>
> Es folgt: a=0 und c=1.
>
> [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{b \\ d}=\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
>
> Es folgt: d=0 und b=-1
>
> Somit:
>
> [mm]L_1=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0}[/mm]
>
>
>
> >
> > [mm]L_2:[/mm]
> > Da habe ich mir Folgendes gedacht:
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] =
> > [mm]\vektor{ a \cdot x_1 + b \codt x_2 \\ c \cdot x_1 + d \cdot x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow[/mm] a= -1, b = 0, c=0, d=1
> >
> > [mm]\Rightarrow L_2[/mm] := [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> Diesmal ist es richtig, bis auf die Darstellung. Es ist
>
> [mm]L_2= \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
>
>
>
> >
> >
> > zu c) und d)
> > Ich weiß nicht, wie ich die Matrixdarstellung für die
> > Verkettung herleiten soll.
>
> Matrixdarstellung der Verkettung = Produkt der
> Darstellungsmatrizen
>
Ok, bei mir kommt Folgendes raus:
[mm] L_1 \circ L_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }
[/mm]
[mm] L_2 \circ L_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }
[/mm]
Wenn ich nun [mm] L_1 \circ L_2 [/mm] z. B. auf den Vektor [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] anwende, dann erhalte ich [mm] \vektor{-1 \\ -2}
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ -2}
[/mm]
Aber wenn ich [mm] L_1 [/mm] auf [mm] \vektor{2 \\ 1} [/mm] anwende und anschließend [mm] L_2 [/mm] anwende, dann kommt etwas anderes heraus:
[mm] \pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 2}
[/mm]
[mm] \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \cdot \vektor{-1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
und für [mm] L_2 \circ L_1 [/mm] :
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Das gleiche passiert auch hier.
Wo ist denn mein Gedankenfehler?
>
> > Bei c) wird zuerst eine Rotation um 90° [mm](L_1)[/mm] und dann
> > eine Spiegelung an der [mm]x_2-Achse (L_2)[/mm] durchgeführt.
> > Beid d) genau umgekehrte Reihenfolge von c)
> >
> > zu e)
> >
> > Die geometrische Beschreibung von [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> > ist doch die, die ich oben für c) und d) geschrieben habe,
> > oder?
>
> Ja. Aber was bewirken die Verkettungen am Ende ?
>
Noch leuchtet es mir nicht ein, da ich verschiedene Ergebnisse erhalte, wie oben erwähnt.
Edit:
Da [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] lineare Abbildungen sind, müsste es doch egal sein, ob man zuerst [mm] L_1 [/mm] ausführt und dann [mm] L_2 [/mm] oder umgekehrt. Oder?
Aber da ich unterschiedliche Ergebnisse erhalte, wie oben erwähnt, bin ich jetzt etwas verwirrt darüber ...
> FRED
> >
> >
> > Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Lösungen bzw. Vorgen
> > richtig sind?
> >
> > Vielen Dank vorab
> >
> > Viele Grüße
> >
> > Asg
> >
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Mi 26.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> > > Für den [mm]\IR^2[/mm] seien [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] die folgenden linearen
> > > Abbildungen [mm]L_i[/mm] : [mm]\IR^2 \rightarrow \IR^2.[/mm]
> > >
> > > [mm]L_1[/mm] ist die Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn und
> > > [mm]L_2[/mm] die Spiegelung an der [mm]x_2-Achse.[/mm]
> > >
> > > Gesucht sind die Matrixdarstellungen von
> > >
> > > a) [mm]L_1[/mm] b) [mm]L_2[/mm] c) [mm]L_1 \circ L_2[/mm] d) [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> > >
> e)
> > Wie
> > > kann man [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm] geometrisch
> > > beschreiben?
> > > Guten Morgen zusammen,
> > >
> > > bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob meine
> > > Lösung genügt bzw. c) und d) weiß ich nicht, wie ich sie
> > > schreiben soll.
> > >
> > > zu a)
> > > Dazu habe ich im Koordinaten System die beiden
> > > Einheitsvektroren [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> > > eingezeichnet und dann eine Rotation um [mm]\alpha[/mm] (allgemein
> > > eingezeichnet).
> > > Dann habe ich anhand sinus- und cosinus-Satz [mm]x_1[/mm] und
> > [mm]x_2[/mm]
> > > ermittelt:
> > >
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{b \\ d}[/mm]
>
> >
> > >
> > > 1. Spalte
> > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > [mm]\vektor{a \\ c}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > > [mm]x_1[/mm] =
> > [mm]cos(\alpha)[/mm]
> > > [mm]x_2[/mm] = [mm]sin(\alpha)[/mm]
> > >
> > > 2. Spalte
> > > [mm]\vektor{b \\ d}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > > [mm]x_1[/mm] =
> > [mm]-sin(\alpha)[/mm]
> > > [mm]x_2[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
>
> >
> > Das stimmt nicht. Du hast im Uhrzeigersinn gedreht !
> >
> Uups, du hast recht, ich habe mich aber vertippt - oben
> unter 2. Spalte habe ich es richtig.
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow L_1:=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > Dass die matrix nicht stimmt habe ich Dir schon gesagt. Die
> > Schreibweise stimmt nicht. Richtig ist es ohne [mm]*\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> Stimmt, du hast recht. Was ich geschrieben habe, ist ja am
> Ende ein Vektor.
> >
> > >
> > > [mm]L_1[/mm] für [mm]\alpha[/mm] = 90°:
> > >
> > > [mm]L_1:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > Wie gesagt, es simmt nicht.
> >
> > Einfacher gehts so:
> >
> >
> >
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}= \vektor{0 \\ 1} [/mm].
>
> Das kann ich gerade nicht nachvollziehen, wo du [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> her hast.??
Die Drehung macht aus dem [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] diesen [mm] $\vektor{0 \\ 1}$.
[/mm]
> >
> > Es folgt: a=0 und c=1.
> >
> > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{b \\ d}=\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
> >
> > Es folgt: d=0 und b=-1
> >
> > Somit:
> >
> > [mm]L_1=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0}[/mm]
> >
> >
> >
> > >
> > > [mm]L_2:[/mm]
> > > Da habe ich mir Folgendes gedacht:
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] =
> > > [mm]\vektor{ a \cdot x_1 + b \codt x_2 \\ c \cdot x_1 + d \cdot x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow[/mm] a= -1, b = 0, c=0, d=1
> > >
> > > [mm]\Rightarrow L_2[/mm] := [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > Diesmal ist es richtig, bis auf die Darstellung. Es ist
> >
> > [mm]L_2= \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> >
> >
> >
> > >
> > >
> > > zu c) und d)
> > > Ich weiß nicht, wie ich die Matrixdarstellung für
> die
> > > Verkettung herleiten soll.
> >
> > Matrixdarstellung der Verkettung = Produkt der
> > Darstellungsmatrizen
> >
> Ok, bei mir kommt Folgendes raus:
> [mm]L_1 \circ L_2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
> [mm]L_2 \circ L_1[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
>
> Wenn ich nun [mm]L_1 \circ L_2[/mm] z. B. auf den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]
> anwende, dann erhalte ich [mm]\vektor{-1 \\ -2}[/mm]
> [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ -2}[/mm]
>
> Aber wenn ich [mm]L_1[/mm] auf [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] anwende und
> anschließend [mm]L_2[/mm] anwende, dann kommt etwas anderes
> heraus:
> [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 2}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \cdot \vektor{-1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
>
> und für [mm]L_2 \circ L_1[/mm] :
> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> Das gleiche passiert auch hier.
>
> Wo ist denn mein Gedankenfehler?
[mm]L_1 \circ L_2[/mm] heißt: erst wirkt [mm] $L_2$, [/mm] danach [mm] $L_1$.
[/mm]
Du hast es also vertauscht.
>
> >
> > > Bei c) wird zuerst eine Rotation um 90° [mm](L_1)[/mm] und dann
> > > eine Spiegelung an der [mm]x_2-Achse (L_2)[/mm] durchgeführt.
> > > Beid d) genau umgekehrte Reihenfolge von c)
> > >
> > > zu e)
> > >
> > > Die geometrische Beschreibung von [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> > > ist doch die, die ich oben für c) und d) geschrieben habe,
> > > oder?
> >
> > Ja. Aber was bewirken die Verkettungen am Ende ?
> >
> Noch leuchtet es mir nicht ein, da ich verschiedene
> Ergebnisse erhalte, wie oben erwähnt.
>
> Edit:
> Da [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] lineare Abbildungen sind, müsste es doch
> egal sein, ob man zuerst [mm]L_1[/mm] ausführt und dann [mm]L_2[/mm] oder
> umgekehrt. Oder?
Eben nicht. Das hast Du Dir oben bis auf die Vertauschung angesehen.
>
> Aber da ich unterschiedliche Ergebnisse erhalte, wie oben
> erwähnt, bin ich jetzt etwas verwirrt darüber ...
>
> > FRED
> > >
> > >
> > > Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Lösungen bzw. Vorgen
> > > richtig sind?
> > >
> > > Vielen Dank vorab
> > >
> > > Viele Grüße
> > >
> > > Asg
> > >
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
> > > > Für den [mm]\IR^2[/mm] seien [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] die folgenden linearen
> > > > Abbildungen [mm]L_i[/mm] : [mm]\IR^2 \rightarrow \IR^2.[/mm]
> > > >
> > > > [mm]L_1[/mm] ist die Rotation um 90° gegen den Uhrzeigersinn und
> > > > [mm]L_2[/mm] die Spiegelung an der [mm]x_2-Achse.[/mm]
> > > >
> > > > Gesucht sind die Matrixdarstellungen von
> > > >
> > > > a) [mm]L_1[/mm] b) [mm]L_2[/mm] c) [mm]L_1 \circ L_2[/mm] d) [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> > >
> >
> > e)
> > > Wie
> > > > kann man [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm] geometrisch
> > > > beschreiben?
> > > > Guten Morgen zusammen,
> > > >
> > > > bei dieser Aufgabe bin ich mir nicht sicher, ob meine
> > > > Lösung genügt bzw. c) und d) weiß ich nicht, wie ich sie
> > > > schreiben soll.
> > > >
> > > > zu a)
> > > > Dazu habe ich im Koordinaten System die beiden
> > > > Einheitsvektroren [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] und [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> > > > eingezeichnet und dann eine Rotation um [mm]\alpha[/mm] (allgemein
> > > > eingezeichnet).
> > > > Dann habe ich anhand sinus- und cosinus-Satz [mm]x_1[/mm]
> und
> > > [mm]x_2[/mm]
> > > > ermittelt:
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{b \\ d}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > 1. Spalte
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm]
> > > > [mm]\vektor{a \\ c}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > > > [mm]x_1[/mm] =
> > > [mm]cos(\alpha)[/mm]
> > > > [mm]x_2[/mm] = [mm]sin(\alpha)[/mm]
> > > >
> > > > 2. Spalte
> > > > [mm]\vektor{b \\ d}=\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
> > > > [mm]x_1[/mm]
> =
> > > [mm]-sin(\alpha)[/mm]
> > > > [mm]x_2[/mm] = [mm]cos(\alpha)[/mm]
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow \pmat{ a & b \\ c & d }[/mm] = [mm]\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) }[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das stimmt nicht. Du hast im Uhrzeigersinn gedreht !
> > >
> > Uups, du hast recht, ich habe mich aber vertippt - oben
> > unter 2. Spalte habe ich es richtig.
> > >
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow L_1:=\pmat{ cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha) } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Dass die matrix nicht stimmt habe ich Dir schon gesagt. Die
> > > Schreibweise stimmt nicht. Richtig ist es ohne [mm]*\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > Stimmt, du hast recht. Was ich geschrieben habe, ist ja am
> > Ende ein Vektor.
> > >
> > > >
> > > > [mm]L_1[/mm] für [mm]\alpha[/mm] = 90°:
> > > >
> > > > [mm]L_1:=\pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0} \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Wie gesagt, es simmt nicht.
> > >
> > > Einfacher gehts so:
> > >
> > >
> > >
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{a \\ c}= \vektor{0 \\ 1} [/mm].
>
> >
> > Das kann ich gerade nicht nachvollziehen, wo du [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> > her hast.??
> Die Drehung macht aus dem [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm] diesen
> [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm].
Ok, jetzt verstehe ich es.
> > >
> > > Es folgt: a=0 und c=1.
> > >
> > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{0 \\ 1}[/mm] = [mm]\vektor{b \\ d}=\vektor{-1 \\ 0}[/mm]
> > >
> > > Es folgt: d=0 und b=-1
> > >
> > > Somit:
> > >
> > > [mm]L_1=\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0}[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > > [mm]L_2:[/mm]
> > > > Da habe ich mir Folgendes gedacht:
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ a & b \\ c & d } \cdot \vektor{x_1 \\ x_2}[/mm] =
> > > > [mm]\vektor{ a \cdot x_1 + b \codt x_2 \\ c \cdot x_1 + d \cdot x_2}=\vektor{-x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow[/mm] a= -1, b = 0, c=0, d=1
> > > >
> > > > [mm]\Rightarrow L_2[/mm] := [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }\vektor{x_1 \\ x_2}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Diesmal ist es richtig, bis auf die Darstellung. Es ist
> > >
> > > [mm]L_2= \pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm]
> > >
> > >
> > >
> > > >
> > > >
> > > > zu c) und d)
> > > > Ich weiß nicht, wie ich die Matrixdarstellung
> für
> > die
> > > > Verkettung herleiten soll.
> > >
> > > Matrixdarstellung der Verkettung = Produkt der
> > > Darstellungsmatrizen
> > >
> > Ok, bei mir kommt Folgendes raus:
> > [mm]L_1 \circ L_2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 }[/mm]
> > [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> =
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> >
> > Wenn ich nun [mm]L_1 \circ L_2[/mm] z. B. auf den Vektor [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm]
> > anwende, dann erhalte ich [mm]\vektor{-1 \\ -2}[/mm]
> > [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ -2}[/mm]
>
> >
> > Aber wenn ich [mm]L_1[/mm] auf [mm]\vektor{2 \\ 1}[/mm] anwende und
> > anschließend [mm]L_2[/mm] anwende, dann kommt etwas anderes
> > heraus:
> > [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{-1 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > [mm]\pmat{ -1 & 0 \\ 0 & 1 } \cdot \vektor{-1 \\ 2}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> >
> >
> > und für [mm]L_2 \circ L_1[/mm] :
> > [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{2 \\ 1}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>
> >
> > Das gleiche passiert auch hier.
> >
> > Wo ist denn mein Gedankenfehler?
> [mm]L_1 \circ L_2[/mm] heißt: erst wirkt [mm]L_2[/mm], danach [mm]L_1[/mm].
> Du hast es also vertauscht.
> >
Achsooo, Jetzt stimmts.
> > >
> > > > Bei c) wird zuerst eine Rotation um 90° [mm](L_1)[/mm] und dann
> > > > eine Spiegelung an der [mm]x_2-Achse (L_2)[/mm] durchgeführt.
> > > > Beid d) genau umgekehrte Reihenfolge von c)
> > > >
> > > > zu e)
> > > >
> > > > Die geometrische Beschreibung von [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm]
> > > > ist doch die, die ich oben für c) und d) geschrieben habe,
> > > > oder?
> > >
> > > Ja. Aber was bewirken die Verkettungen am Ende ?
> > >
> > Noch leuchtet es mir nicht ein, da ich verschiedene
> > Ergebnisse erhalte, wie oben erwähnt.
> >
> > Edit:
> > Da [mm]L_1[/mm] und [mm]L_2[/mm] lineare Abbildungen sind, müsste es
> doch
> > egal sein, ob man zuerst [mm]L_1[/mm] ausführt und dann [mm]L_2[/mm] oder
> > umgekehrt. Oder?
> Eben nicht. Das hast Du Dir oben bis auf die Vertauschung
> angesehen.
> >
Ok, jetzt habe ich es nochmals ausgerechnet und es stimmt [mm] L_1 \circ L_2 \neq L_2 \circ L_1, [/mm] aber was sagt mir das geometrisch, wie es in der Aufgabenstellung Teil e) steht?
Edit:
Also, was mir dazu im Moment einfällt, ist dass das einzel Ausführen von [mm] L_2 [/mm] danach [mm] L_1 [/mm] ist dasselbe wie [mm] L_1 \circ L_2 [/mm] und [mm] L_1 [/mm] danach [mm] L_2 [/mm] ist dasselbe wie [mm] L_2 \circ L_1. [/mm] Aber ob in der Aufgabe diese Antwortet erwartet wird, bezweifle ich.
Edit2:
Außerdem ist mir gerade aufgefallen, dass [mm] L_1 \circ L_2 [/mm] ein Spiegelbild von [mm] L_2 \circ L_1 [/mm] um 180° ist.
Beispiel:
[mm] L_1 \circ L_2 \cdot \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] L_2 \circ L_1 \cdot \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -1}
[/mm]
> > Danke sehr für die Hilfe!
> > Aber da ich unterschiedliche Ergebnisse erhalte, wie oben
> > erwähnt, bin ich jetzt etwas verwirrt darüber ...
> >
> > > FRED
> > > >
> > > >
> > > > Kann mir bitte jemand sagen, ob meine Lösungen bzw. Vorgen
> > > > richtig sind?
> > > >
> > > > Vielen Dank vorab
> > > >
> > > > Viele Grüße
> > > >
> > > > Asg
> > > >
> > > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > > Internetseiten gestellt.
> > >
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:23 Mi 26.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> .....
> > > > Wie
> > > > > kann man [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm] geometrisch
> > > > > beschreiben?
> .....
> Ok, jetzt habe ich es nochmals ausgerechnet und es stimmt
> [mm]L_1 \circ L_2 \neq L_2 \circ L_1,[/mm] aber was sagt mir das
> geometrisch, wie es in der Aufgabenstellung Teil e) steht?
>
> Edit:
> Also, was mir dazu im Moment einfällt, ist dass das
> einzel Ausführen von [mm]L_2[/mm] danach [mm]L_1[/mm] ist dasselbe wie [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_1[/mm] danach [mm]L_2[/mm] ist dasselbe wie [mm]L_2 \circ L_1.[/mm] Aber ob
> in der Aufgabe diese Antwortet erwartet wird, bezweifle
> ich.
Da zweifelst Du zu recht. Du hast (endlich) entdeckt, was mit Verkettung gemeint ist.
Es ist so einfach: Nimm ein Buch/ ein Blatt/ eine Zeitschrift. Halte es zum lesen vor Dich. Führe die Drehung aus. Führe die Spiegelung aus (nötigenfalls mit einem Spiegel, bei einem dünnen Blatt geht es auch durch Umdrehen). Kannst Du das Ergebnis nur mit einer passend gewählten Operation erreichen?
>
> Edit2:
> Außerdem ist mir gerade aufgefallen, dass [mm]L_1 \circ L_2[/mm]
> ein Spiegelbild von [mm]L_2 \circ L_1[/mm] um 180° ist.
> Beispiel:
> [mm]L_1 \circ L_2 \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> [mm]L_2 \circ L_1 \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
Das mit dem Spiegelbild stimmt nicht. Wenn Du so herausbekommen willst, was passiert, dann musst Du noch einen zweiten Punkt abbilden. Es kommt etwas ähnliches heraus.
> ......
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:33 Mi 26.11.2014 | | Autor: | asg |
> > .....
> > > > > Wie
> > > > > > kann man [mm]L_1 \circ L_2[/mm] und [mm]L_2 \circ L_1[/mm] geometrisch
> > > > > > beschreiben?
> > .....
> > Ok, jetzt habe ich es nochmals ausgerechnet und es
> stimmt
> > [mm]L_1 \circ L_2 \neq L_2 \circ L_1,[/mm] aber was sagt mir das
> > geometrisch, wie es in der Aufgabenstellung Teil e) steht?
> >
> > Edit:
> > Also, was mir dazu im Moment einfällt, ist dass das
> > einzel Ausführen von [mm]L_2[/mm] danach [mm]L_1[/mm] ist dasselbe wie [mm]L_1 \circ L_2[/mm]
> und [mm]L_1[/mm] danach [mm]L_2[/mm] ist dasselbe wie [mm]L_2 \circ L_1.[/mm] Aber ob
> > in der Aufgabe diese Antwortet erwartet wird, bezweifle
> > ich.
> Da zweifelst Du zu recht. Du hast (endlich) entdeckt, was
> mit Verkettung gemeint ist.
> Es ist so einfach: Nimm ein Buch/ ein Blatt/ eine
> Zeitschrift. Halte es zum lesen vor Dich. Führe die
> Drehung aus. Führe die Spiegelung aus (nötigenfalls mit
> einem Spiegel, bei einem dünnen Blatt geht es auch durch
> Umdrehen). Kannst Du das Ergebnis nur mit einer passend
> gewählten Operation erreichen?
> >
1x Spiegeln an der [mm] x_1 [/mm] Achse vielleicht?
> > Edit2:
> > Außerdem ist mir gerade aufgefallen, dass [mm]L_1 \circ L_2[/mm]
> > ein Spiegelbild von [mm]L_2 \circ L_1[/mm] um 180° ist.
> > Beispiel:
> > [mm]L_1 \circ L_2 \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm]
> = [mm]\vektor{0 \\ 1}[/mm]
> > [mm]L_2 \circ L_1 \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] =
> [mm]\pmat{ 0 & -1 \\ -1 & 0 } \cdot \vektor{1 \\ 0}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ -1}[/mm]
>
> Das mit dem Spiegelbild stimmt nicht. Wenn Du so
> herausbekommen willst, was passiert, dann musst Du noch
> einen zweiten Punkt abbilden. Es kommt etwas ähnliches
> heraus.
> > ......
>
Ok, das muss ich mir noch überlegen ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:38 Mi 26.11.2014 | | Autor: | chrisno |
> 1x Spiegeln an der [mm]x_1[/mm] Achse vielleicht?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Du hast es offenischtlich nicht ausprobiert.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Mo 01.12.2014 | | Autor: | asg |
Hallo,
> > 1x Spiegeln an der [mm]x_1[/mm] Achse vielleicht?
> Du hast es offenischtlich nicht ausprobiert.
tut mir leid für mein dumme Antwort. Ich war an dem Tag ziemlich unter Zeitdruck und habe es in Eile probiert ...
Ich hoffe, dass mein Versuch nun stimmt, aber so ganz schlau werde ich daraus leider nicht:
1. Ich nehme eine DIN A4 Seite in Hochformat vor mir (Vorderseite unten links mit 0, 0 beschriftet, also X=0 und Y = 0)
2. Ich drehe das Blatt um 90° im Gegenuhrzeigersinn, also nach links
=>
a) Das Blatt liegt im Querformat und
b) Die Beschriftung (0, 0) befindet sich nun rechts unten
3. Nun Spiegele ich das Blatt an der Y-Achse:
=>
a) Das Blatt steht weiterhin im Querformat
b) Die Beschriftung (0, 0) befindet sich nun links unten, aber auf der Rückseite.
Ist mein Versuch nun richtig? Wenn ja, dann verstehe ich nicht, wie man die Verkettung über eine Alternative durch eine Operation erreichen kann.
Vielen Dank nochmals
Liebe Grüße
Asg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:58 Di 02.12.2014 | | Autor: | chrisno |
Lege das Blatt in die Ausgangsposition, fasse es an zwei gegenüberliegenden Ecken an und schwupps hast Du es in die Ziellage gebracht. (Ein bisschen schummeln musst Du, da es nicht quadratisch ist.) Also: Du erreichst das Ziel mit einer Spiegelung, die Achse habe ich Dir fast verraten.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:49 Sa 06.12.2014 | | Autor: | asg |
Guten Morgen,
jetzt verstehe ich es :)
[mm] L_1 \circ [/mm] L2 führt eine Spiegelung an der 2. Winkelhalbierenden aus, also y = -x und L2 [mm] \circ [/mm] L1 führt eine Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden aus, also y = x.
Vielen Dank für die tolle Unterstützung.
Liebe Grüße
Asg
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