Verkettung injektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] K_{256} [/mm] der Körper mit 256 Elementen.
Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung [mm] \phi:K_{256}^{8} \to K_{256}^{10} [/mm] gibt, sodass alle Verkettungen [mm] \pi\circ\phi [/mm] injektiv sind (wobei [mm] \pi [/mm] eine beliebige der [mm] \vektor{10 \\ 8} [/mm] Projektionen [mm] K_{256}^{10} \to K_{256}^{8} [/mm] ist.
Dabei kommt die Tatsache zu tragen, dass es eine Untermenge [mm] M\subset K_{256}^{8} [/mm] mit |M|=10 gibt sodass alle Untermengen [mm] N\subset [/mm] M mit |N|=8 linear unabhängig sind. |
Also ich weiß, dass eine lineare Abbildung [mm] \lambda [/mm] genau dann injektiv ist, wenn [mm] kern(\lambda)=\{0\}. [/mm] Jetzt stellt sich nur die Frage, ob die Verkettung überhaupt linear ist? Wären die Projektion linear so wäre dies auf jeden Fall der Fall, aber das ist doch nicht der Fall, oder? Gilt das triviale Kern-Kriterium trotzdem? Und wenn ja, wie zeige ich, dass der Kern trivial ist? Und wie verwende ich die Tatsache, dass es so eine Untermenge M gibt?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 13.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> Sei [mm]K_{256}[/mm] der Körper mit 256 Elementen.
> Zeigen Sie, dass es eine lineare Abbildung [mm]\phi:K_{256}^{8} \to K_{256}^{10}[/mm]
> gibt, sodass alle Verkettungen [mm]\pi\circ\phi[/mm] injektiv sind
> (wobei [mm]\pi[/mm] eine beliebige der [mm]\vektor{10 \\ 8}[/mm] Projektionen
> [mm]K_{256}^{10} \to K_{256}^{8}[/mm] ist.
> Dabei kommt die Tatsache zu tragen, dass es eine Untermenge
> [mm]M\subset K_{256}^{8}[/mm] mit |M|=10 gibt sodass alle
> Untermengen [mm]N\subset[/mm] M mit |N|=8 linear unabhängig sind.
> Also ich weiß, dass eine lineare Abbildung [mm]\lambda[/mm] genau
> dann injektiv ist, wenn [mm]kern(\lambda)=\{0\}.[/mm] Jetzt stellt
> sich nur die Frage, ob die Verkettung überhaupt linear
> ist? Wären die Projektion linear so wäre dies auf jeden
> Fall der Fall, aber das ist doch nicht der Fall, oder?
Also ich verstehe es so: die Projektionen [mm] $\pi:K_{256}^{10}\to K_{256}^8$ [/mm] genau die Abbildungen der Form [mm] $(x_1,x_2,...,x_{10})\mapsto(x_{i_1},x_{i_2},...,x_{i_8}$ [/mm] wobei die [mm] $i_k$ [/mm] beliebige paarweise verschiedene Zahlen zwischen 1 und 10 sind - dafür gibt es genau [mm] \vektor{10\\8} [/mm] viele Möglichkeiten. In jedem Falle sind alle diese Abbildungen offensichtlich linear!
> Und wie verwende ich die Tatsache, dass es so eine Untermenge M gibt?
Das habe ich auch noch nicht rausgefunden... 
Gruß, Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 17.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
