Verkettungen bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:26 So 29.11.2009 | | Autor: | f1ne |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die Verkettungen [mm] f\circg [/mm] und [mm] g\circf [/mm] der Funktionen
f: [mm] \IR [/mm] ?to [mm] \IR [/mm] mit f(x):=x³-x+1 und [mm] g:\IR \to \IR [/mm] mit g(x):=(x-1)² |
Ich hab leider die Übung dazu verpasst, hab mich im Internet aber so weit informiert und habe herrausgefunden das:
[mm] f\circg [/mm] nichts anderes ist als das man für das x in f(x) das g(x) einsetzt, sprich also f(g(x)) , hoffe das hab ich soweit richtig verstanden, bei manchen stand auch noch was von ableiten und inner und äusserer abl. aber ich glaube das betraf die Komposition ?
Ich hab das einfach mal eingesetzt und wollte mal fragen ob ichs richtig verstanden habe:
[mm] f(g(x))=((x-1)^2)^3-(x-1)^2+1
[/mm]
= [mm] (x-1)^{6}-(x-1)^2+1
[/mm]
[mm] =(x-1)^{4}+1
[/mm]
[mm] =x^4-1+1
[/mm]
[mm] =x^4
[/mm]
[mm] g(f(x))=((x^3-x+1)-1)^2
[/mm]
[mm] =x^6-x²+1²-1²
[/mm]
[mm] =x^4
[/mm]
richtig ?
|
|
| |
|
Hallo f1ne,
> Bestimmen Sie die Verkettungen [mm]f\circg[/mm] und [mm]g\circf[/mm] der
> Funktionen
>
> f: [mm]\IR[/mm] ?to [mm]\IR[/mm] mit f(x):=x³-x+1 und [mm]g:\IR \to \IR[/mm] mit
> g(x):=(x-1)²
> Ich hab leider die Übung dazu verpasst, hab mich im
> Internet aber so weit informiert und habe herrausgefunden
> das:
>
> [mm]f\circg[/mm] nichts anderes ist als das man für das x in f(x)
> das g(x) einsetzt, sprich also f(g(x)) , hoffe das hab ich
> soweit richtig verstanden, bei manchen stand auch noch was
> von ableiten und inner und äusserer abl. aber ich glaube
> das betraf die Komposition ?
Ja, das betraf wahrscheinlich die Ableitungen von komponieren ("verkettenden") Funktionen.
> Ich hab das einfach mal eingesetzt und wollte mal fragen ob
> ichs richtig verstanden habe:
>
> [mm]f(g(x))=((x-1)^2)^3-(x-1)^2+1[/mm]
> = [mm](x-1)^{6}-(x-1)^2+1[/mm]
Bis hierher stimmts! Ab dann tun sich Abgründe auf...
> [mm]=(x-1)^{4}+1[/mm]
Es ist [mm] $(x-1)^{6}-(x-1)^2\not= (x-1)^{4}$ [/mm] !!! Ich verweise auf die Schulmathematik! Setze probehalber x = 2 ein, um dich zu vergewissern, dass das gar nicht stimmen kann.
> [mm]=x^4-1+1[/mm]
Noch ein Abgrund: Es ist [mm] $(x-1)^{4}\not= x^{4}-1$ [/mm] !!!. Auch hier kannst du einfach x = 2 einsetzen, um den Widerspruch zu sehen. Um die Klammer aufzulösen, brauchst du binomische Formeln. Es ist aber wahrscheinlich besser, du lässt den Ausdruck oben (also den richtigen: [mm] (x-1)^{6}-(x-1)^2+1 [/mm] ) einfach so stehen - es hat niemand verlangt, dass du die Funktion vereinfachen sollst.
> [mm]g(f(x))=((x^3-x+1)-1)^2[/mm]
Das ist noch richtig, danach wieder Abgründe. Du kannst noch "vereinfachen" bzw. faktorisieren:
[mm] $g(f(x))=((x^3-x+1)-1)^2 [/mm] = [mm] (x^3-x)^2 [/mm] = [mm] x^{2}*(x^{2}-1)^{2} [/mm] = [mm] x^{2}*(x-1)^{2}*(x+1)^{2}$,
[/mm]
muss aber nicht notwendigerweise gemacht werden (also der erste Schritt schon, der dass sich die Einsen wegheben).
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 So 29.11.2009 | | Autor: | f1ne |
Oh man, ich hätte gestern nicht so viel trinken dürfen, wie konnte ich nur son scheiss machen .... ich rechne es nochmal. Haha, schon genial irgendwie :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 So 29.11.2009 | | Autor: | f1ne |
Ok, das ist aber schon was krasser dann die Aufgabe als ich dachte, also die binomische Formeln für (x-1)² ist ja noch einfach ( x²-2x+1 ) aber bei [mm] (a-b)^6 [/mm] hauts mich schon aus den latschen, das ist ja auch garnicht mehr zu lösen mit den binomischen Formeln, ich glaube aber das es mit diesem biomischem Lehrsatz geht, demnach hätte ich folgendes raus:
[mm] (x-1)^6= x^6-6x^5*1+15x^4*1^2-20x^3*1^3+15x^2*1^4-6x*1^5+1^6
[/mm]
= [mm] x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1
[/mm]
eingestetzt:
[mm] f(g(x)=x^6-6x^5*1+15x^4*1^2-20x^3*1^3+15x^2*1^4-6x*1^5+1^6
[/mm]
= [mm] (x^6-6x^5+15x^4-20x^3+15x^2-6x+1-x^2-2x+1)+1
[/mm]
[mm] =x^6-6x^5+15x^4-20x^3+14x^2-8x+3
[/mm]
Ja super, wer denkt sich denn bitte sowas aus ....
Ist das jetzt so richtig ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:29 So 29.11.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wer hat sich denn ausser dir ausgedacht, dass man die fkt in der form angeben soll? g(x) etwa, war ja uch nicht so angegeben. also dein erstes Ergebnis : f(g(x)=$ [mm] (x-1)^{6}-(x-1)^2+1 [/mm] $
war doch schön. wenn du willst, kannst du noch [mm] (x-1)^2 [/mm] vorne ausklammern.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 29.11.2009 | | Autor: | f1ne |
also hätte ich mir die Stunde arbeit mit einer binomischen Formel 6. Grades sparen können ?
Na wunderbar -.-
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 So 29.11.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo f1ne!
> also hätte ich mir die Stunde arbeit mit einer binomischen
> Formel 6. Grades sparen können ?
Wenn nicht explizit die Lösung in der form $p(x) \ = \ [mm] A*x^6+B*x^5+...$ [/mm] gefordert ist ... ja!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:35 So 29.11.2009 | | Autor: | f1ne |
alles klar...
Danke , dann noch ein schönes Wochenende!
|
|
|
|
