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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und X eine Untergruppe von G.
Wir definieren die Relation * auf G durch [mm] $x\sim [/mm] y [mm] \gdw xy^{-1}\in [/mm] X$.
Für [mm] $g\in [/mm] G$ schreiben wir $[g]$ für die Äquivalenzklasse von g bezüglich ~.
Sei $G/X$ die Menge von Äquivalenzklassen bezüglich ~.
Zeigen Sie, dass die Verknüpfung [mm] $$\* [/mm] : G/X [mm] \times [/mm] G/X [mm] \to [/mm] G/X$$ definiert durch $$[g] [mm] \* [/mm] [h] := [gh]$$
genau dann wohldefiniert ist, wenn für alle [mm]x\in G[/mm] und [mm]y\in X[/mm] [mm] $$xyx^{-1}\in [/mm] X$$ gilt. |
Guten Tag zusammen,
ich sitze schon eine weile an der Aufgabe oben und komme nicht weiter.
Ich habe schon mal versucht zu beweisen, dass * wohldefiniert ist und zwar wie folgt:
Wir wählen g' so, dass: [mm] $$g'\sim [/mm] g [mm] \Rightarrow [/mm] [g]=[g'] [mm] \Rightarrow g*g'^{-1}\in [/mm] X$$
und h': [mm] $$h'\sim [/mm] h [mm] \Rightarrow [/mm] [h]=[h'] [mm] \Rightarrow h*h'^{-1}\in [/mm] X$$
Auf Grund der Abgeschlossenheit von X [mm] folgt:$$(gg'^{-1})*(hh'^{-1})\in [/mm] X$$
Okay und währen ich das hier gerade schreibe fällt mir auf, dass der nächste Schritt so nicht stimmen kann, da G ja nicht abelsch ist:
[mm] $$xx'^{-1}yy'^{-1}=xy(x'y')^{-1}\in [/mm] X [mm] \Rightarrow xy\sim x'y'\Rightarrow [/mm] [xy]=[x'y']$$.
Aber ich weiß trotzdem nicht, wo ich hier das [mm] $xyx^{-1}$ [/mm] einbringen soll.
was mich vorallem verwirrt ist, dass [mm] $\forall x\in [/mm] G$ und [mm] $y\in [/mm] X$.
Ich würde mich über Hilfe freuen.
Vielen Dank
DudiPupan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 So 28.10.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Also ich habe jetzt nochmal ein wenig überlegt:
Wenn [mm] $xyx^{-1}\in [/mm] X$, dann gilt ja: [mm] $xy\sim [/mm] x$ und somit $[xy]=[x]$.
Also: [mm] $[x]\* [/mm] [y]= [xy]=[x]$.
wenn wir nun ein x' mit [mm] $x'\sim [/mm] x$ wählen und ein y' mit [mm] $y\sim [/mm] y'$ gilt:
$[x]=[x']$ und somit: [mm] $[x]\* [y]=[xy]=[x]=[x']=[x']\* [/mm] [y']$
Also: Aus $[x]=[x']$ und $[y]=[y']$ folgt: [mm] $[x]\* [/mm] [y] = [x'] [mm] \* [/mm] [y']$
und somit ist * wohldefiniert?
Ist da was richtiges dran?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:52 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Bitte poste auch weitere Fragen als Frage statt als Mitteilung.
> Also ich habe jetzt nochmal ein wenig überlegt:
>
> Wenn [mm]xyx^{-1}\in X[/mm], dann gilt ja: [mm]xy\sim x[/mm] und somit
> [mm][xy]=[x][/mm].
> Also: [mm][x]\* [y]= [xy]=[x][/mm].
Wenn denn * wohldefiniert ist. Solange das nicht gezeigt ist, würde ich grundsätzlich nicht [x]*[y] schreiben.
Beachte, dass du [xy]=[x] nur unter der Voraussetzung [mm] $xyx^{-1}\in [/mm] X$ gezeigt hast. Letzteres ist nur für [mm] $y\in [/mm] X$ vorausgesetzt.
> wenn wir nun ein x' mit [mm]x'\sim x[/mm]
> wählen und ein y' mit [mm]y\sim y'[/mm] gilt:
> [mm][x]=[x'][/mm] und somit: [mm][x]\* [y]=[xy]=[x]=[x']=[x']\* [y'][/mm]
>
> Also: Aus [mm][x]=[x'][/mm] und [mm][y]=[y'][/mm] folgt: [mm][x]\* [y] = [x'] \* [y'][/mm]
>
> und somit ist * wohldefiniert?
Diese Argumentation funktioniert nur für [mm] $y,y'\in [/mm] X$, weil sonst nicht $[xy]=[x]$ und $[x'y']=[x']$ gelten müssen!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo DudiPupan,
> Ich habe schon mal versucht zu beweisen, dass *
> wohldefiniert ist und zwar wie folgt:
OK, also die Rückrichtung.
> Wir wählen g' so, dass: [mm]g'\sim g \Rightarrow [g]=[g'] \Rightarrow g*g'^{-1}\in X[/mm]
>
> und h': [mm]h'\sim h \Rightarrow [h]=[h'] \Rightarrow h*h'^{-1}\in X[/mm]
>
> Auf Grund der Abgeschlossenheit von X
> folgt:[mm](gg'^{-1})*(hh'^{-1})\in X[/mm]
Bis hierhin sehr schön!
> Aber ich weiß trotzdem nicht, wo ich hier das [mm]xyx^{-1}[/mm]
> einbringen soll.
> was mich vorallem verwirrt ist, dass [mm]\forall x\in G[/mm] und
> [mm]y\in X[/mm].
Zu zeigen ist $[gh]=[g'h']$, was gleichbedeutend ist mit
[mm] $gh(g'h')^{-1}\in [/mm] X$.
Wegen [mm] $gh(g'h')^{-1}=ghh'^{-1}g'^{-1}$ [/mm] ist somit
[mm] $ghh'^{-1}g'^{-1}\in [/mm] X$
zu zeigen.
Betrachte dazu z.B. $x=hh'^{-1}$ und $y=g$. Was erhältst du?
Viele Grüße
Tobias
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Vielen Dank für die Antwort.
Also wenn ich für $x=(hh'^{-1}), y=g$ betrachte erhalte ich ja:
[mm] $(hh'^{-1})g(h'h^{-1})=hh'^{-1}gh'h^{-1}\in [/mm] X$
wenn ich nun wie folgt multipliziere:
$$X [mm] \ni hh'^{-1}gh'h^{-1} \qquad [/mm] |X [mm] \ni [/mm] g*$$ (Abgeschlossenheit von X)
[mm] $$\Rightarrow [/mm] X [mm] \ni ghh'^{-1}gh'h^{-1} \qquad|*h \in [/mm] X$$
(Abgeschlossenheit von X)
[mm] $$\Rightarrow X\ni [/mm] ghh'^{-1}gh' [mm] \qquad [/mm] |*h'^{-1} [mm] \in [/mm] X$$
(Inverses zu [mm] $h'\in [/mm] X$)
[mm] $$\Rightarrow X\ni [/mm] ghh'^{-1}g [mm] \qquad |*g'g^{-1} \in [/mm] X$$
Da [mm] $g'\sim [/mm] g [mm] \Rightarrow g'g^{-1}\in [/mm] X$
[mm] $$\Rightarrow ghh'^{-1}g'^{-1}\in X\Rightarrow [gh]\sim[g'h']$$
[/mm]
Passt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Also wenn ich für [mm]x=(hh'^{-1}), y=g[/mm] betrachte erhalte ich
> ja:
Oh, Entschuldigung, habe x und y verwechselt. Gemeint war $x=g$, $y=hh'$. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für den ganzen Aufwand, den ich dir unnütz bereitet habe.
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> Oh, Entschuldigung, habe x und y verwechselt. Gemeint war
> [mm]x=g[/mm], [mm]y=hh'[/mm]. für den ganzen Aufwand, den ich dir
> unnütz bereitet habe.
Kein Problem :)
Meinst du hier nicht:
$x=g, y=hh'^{-1}$$?
Ja, so geht es deutlich schneller :D
Für $x=g, y=hh'^{-1}$ ergibt sich dann:
[mm] $$ghh'^{-1}g^{-1} \in [/mm] X$$
Multipliziert man das nun von rechts mit [mm] $gg'^{-1}\in [/mm] X$ (Da [mm] $g\sim [/mm] g'$ ist das in X) erhält man:
$$ghh'^{-1}g'^{-1}$$
Passt das?
Vielen Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Oh, Entschuldigung, habe x und y verwechselt. Gemeint
> war
> > [mm]x=g[/mm], [mm]y=hh'[/mm]. für den ganzen Aufwand, den ich dir
> > unnütz bereitet habe.
>
> Kein Problem :)
> Meinst du hier nicht:
> $x=g, y=hh'^{-1}$?
Ja. Oh jemine, was ist heute mit mir los... Gut, dass du aufpasst.
> Ja, so geht es deutlich schneller :D
>
> Für [mm]x=g, y=hh'^{-1}[/mm] ergibt sich dann:
> [mm]ghh'^{-1}g^{-1} \in X[/mm]
Beachte, dass [mm] $hh'^{-1}\in [/mm] X$ gilt. Sonst wäre die Voraussetzung [mm] $y\in [/mm] X$ nicht erfüllt.
> Multipliziert man das nun von
> rechts mit [mm]gg'^{-1}\in X[/mm] (Da [mm]g\sim g'[/mm] ist das in X) erhält
> man:
> [mm]ghh'^{-1}g'^{-1}[/mm]
>
> Passt das?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr schön!
(Die Hinrichtung nicht vergessen.)
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Ja, die Hinrichtung überlege ich mir gerade.
Funktioniert diese ähnlich?
Ich muss je letztendlich nur zeigen, dass wenn * wohldef. [mm] $xyx^{-1}\in [/mm] X$ gilt.
Analog kann ich das ja leider wahrscheinlich nicht machen, also:
Da * wohldef. gilt: [mm] $$ghh'^{-1}g'^{-1}\in [/mm] X [mm] \qquad |*g'g^{-1}\in [/mm] X$$
[mm] $$\Rightarrow ghh'^{-1}g^{-1}$$
[/mm]
Hast du vielleicht noch einen Tipp für die Hinrichtung?
Das wäre wirklich nett.
Vielen vielen Dank für die Hilfe.
Hat mir wirklich geholfen.
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:58 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Ich muss je letztendlich nur zeigen, dass wenn * wohldef.
> [mm]xyx^{-1}\in X[/mm] gilt.
Ja, wenn [mm] $y\in [/mm] X$.
> Analog kann ich das ja leider wahrscheinlich nicht machen,
> also:
>
> Da * wohldef. gilt: [mm]ghh'^{-1}g'^{-1}\in X \qquad |*g'g^{-1}\in X[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow ghh'^{-1}g^{-1}\red{\in X}[/mm]
Doch, für alle [mm] $g,h,g',h'\in [/mm] G$ mit [mm] $gg'^{-1}\in [/mm] X$ und [mm] $hh'^{-1}\in [/mm] X$ kannst du so argumentieren.
Jetzt gilt es, zu den gegebenen [mm] $x\in [/mm] G$ und [mm] $y\in [/mm] X$ passende [mm] $g,h,g',h'\in [/mm] G$ zu finden, so dass [mm] $ghh'^{-1}g^{-1}=xyx^{-1}$, $gg'^{-1}\in [/mm] X$ und [mm] $hh'^{-1}\in [/mm] X$ gelten.
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> Jetzt gilt es, zu den gegebenen [mm]x\in G[/mm] und [mm]y\in X[/mm] passende
> [mm]g,h,g',h'\in G[/mm] zu finden, so dass [mm]ghh'^{-1}g^{-1}=xyx^{-1}[/mm],
> [mm]gg'^{-1}\in X[/mm] und [mm]hh'^{-1}\in X[/mm] gelten.
Ja, aber das erfüllen doch die bei der Rückrichtung definierten h,h',g,g'.
Also mit [mm] $g\sim [/mm] g', [mm] h\sim [/mm] h' [mm] \Rightarrow gg'^{-1}\in [/mm] X, [mm] hh'^{-1}\in [/mm] X$
Kann man diese hier nicht verwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Jetzt gilt es, zu den gegebenen [mm]x\in G[/mm] und [mm]y\in X[/mm] passende
> > [mm]g,h,g',h'\in G[/mm] zu finden, so dass [mm]ghh'^{-1}g^{-1}=xyx^{-1}[/mm],
> > [mm]gg'^{-1}\in X[/mm] und [mm]hh'^{-1}\in X[/mm] gelten.
>
>
> Ja, aber das erfüllen doch die bei der Rückrichtung
> definierten h,h',g,g'.
> Also mit [mm]g\sim g', h\sim h' \Rightarrow gg'^{-1}\in X, hh'^{-1}\in X[/mm]
>
> Kann man diese hier nicht verwenden?
In der Rückrichtung hatten wir beliebige [mm] $g,g',h,h'\in [/mm] G$ mit [mm] $gg'^{-1}\in [/mm] X$ und [mm] $hh'^{-1}\in [/mm] X$ vorgegeben und haben selbst x und y gewählt, auf die wir die Voraussetzung der Rückrichtung angewendet haben.
Jetzt, für die Hinrichtung, haben wir beliebige [mm] $x\in [/mm] G$ und [mm] $y\in [/mm] X$ vorgegeben. Die dürfen wir also NICHT frei wählen. (Wir wollen ja schließlich zeigen, dass [mm] $xyx^{-1}\in [/mm] X$ für ALLE [mm] $x\in [/mm] G$ und [mm] $y\in [/mm] X$ gilt.)
Allerdings haben wir die freie Auswahl, auf welche Elemente [mm] $g,g',h,h'\in [/mm] G$ mit [mm] $gg'^{-1}\in [/mm] X$ und [mm] $hh'^{-1}\in [/mm] X$ wir die "Wohldefiniertheitsvoraussetzung" anwenden wollen.
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Okay, ich glaube ich hab es etwas besser verstanden un komme der Sache näher.
Können wir hier dann sagen:
$g:=x$ woraus dann ja folgen würde [mm] $g\in [/mm] G$
und hier müsste ich dann eben noch ein passendes [mm] $g'\in [/mm] G$ finden, damit [mm] $gg'\in [/mm] X$ liegt. Wenn ich hier zum Beispiel [mm] $g':=x^{-1}$ [/mm] wählen würde? Dann wäre $gg'$ ja das multipl. neutr. Element und müsste in X sein, da X Gruppe ist, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Okay, ich glaube ich hab es etwas besser verstanden un
> komme der Sache näher.
> Können wir hier dann sagen:
> [mm]g:=x[/mm] woraus dann ja folgen würde [mm]g\in G[/mm]
> und hier müsste
> ich dann eben noch ein passendes [mm]g'\in G[/mm] finden, damit
> [mm]gg'^{\red{-1}}\in X[/mm] liegt. Wenn ich hier zum Beispiel [mm]g':=x^{-1}[/mm]
> wählen würde?
Folgerichtig, nur da fehlt das hoch -1, dass ich rot eingefügt habe.
Aber du scheinst das grundsätzliche Vorgehen verstanden zu haben.
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> Folgerichtig, nur da fehlt das hoch -1, dass ich rot
> eingefügt habe.
> Aber du scheinst das grundsätzliche Vorgehen verstanden
> zu haben.
Oh, ja, das war natürlich ein Schreibfehler, sorry.
Kann ich hier jetzt auch einfach $hh'^{-1}$ definieren oder muss ich h und h' einzeln definieren.
Sonst hätte ich jetzt einfach [mm] $hh'^{-1}:=y\in [/mm] X$ gesetzt.
Und da das in X liegt müssen folglich ja auch h und $h'^{-1}$ bzw h' in X liegen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Kann ich hier jetzt auch einfach [mm]hh'^{-1}[/mm] definieren oder
> muss ich h und h' einzeln definieren.
>
> Sonst hätte ich jetzt einfach [mm]hh'^{-1}:=y\in X[/mm] gesetzt.
Aber du hast völlig recht damit, dass das Einzige, was [mm] $h,h'\in [/mm] G$ erfüllen müssen, $hh'^{-1}=y$ ist. Es genügt also, die Existenz solcher h und h' zu zeigen. Das wiederum geht am einfachsten, indem du ein Beispiel für solche h und h' angibst.
> Und da das in X liegt müssen folglich ja auch h und
> [mm]h'^{-1}[/mm] bzw h' in X liegen.
MÜSSEN sie nicht.
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Spontan hätte ich hier $h'=e$ wobei e das neutr. multipl. Element darstellt und $h=y$.
Daraus erhalten wir: [mm] $hh'^{-1}=y*e=y\in [/mm] X$
Außerdem ist [mm] $h'=h'^{-1}=e\in [/mm] X$, da Gruppe.
Ist das okay?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Spontan hätte ich hier [mm]h'=e[/mm] wobei e das neutr. multipl.
> Element darstellt und [mm]h=y[/mm].
> Daraus erhalten wir: [mm]hh'^{-1}=y*e=y\in X[/mm]
Genau!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:22 So 28.10.2012 | | Autor: | DudiPupan |
Vielen Vielen Dank für die Hilfe :)
Wünsche Dir noch einen schönen Abend
Liebe Grüße
Dudi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:26 So 28.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Wünsche Dir noch einen schönen Abend
Danke, dir auch! 
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 So 28.10.2012 | | Autor: | DudiPupan |
> [mm]\Rightarrow X\ni ghh'^{-1}g \qquad |*g'g^{-1} \in X[/mm]
>
> Da [mm]g'\sim g \Rightarrow g'g^{-1}\in X[/mm]
Das stimmt so natürlich nicht:
[mm] $$\Rightarrow X\ni [/mm] ghh'^{-1}g [mm] \qquad |*g^{-1} \in [/mm] X$$
(Inverses zu [mm] $g\in [/mm] X$ + Abgeschlossenheit von X)
[mm] $$\Rightarrow X\ni ghh^{-1} \qquad |*g'^{-1}\in [/mm] X$$
(Inverses zu [mm] $g'\in [/mm] X$ + Abgeschl. v. X)
[mm] $$\Rightarrow ghh'^{-1}g\in [/mm] X$$
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