Verknüpfung im R^2 < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 Do 30.04.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
eine Frage wenn mir gegeben ist das x und y Element G des [mm] R^2 [/mm] sind und folgende Verknüpfung aufweisen
[mm] (v,w)\circ [/mm] (w,y) = (vx, vy+w)
wie kann ich dann zeigen, dass [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe ist? also die axiome sind mir bekannt, nur wie kann ich aus dieser einen Verknüpfung nun die assoziativität usw..beweisen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Do 30.04.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo noobo,
wenn G eine Teilmenge des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] ist, ist deine Notation falsch.
Für den Nachweis der Assoziativität z.B. brauchst du außerdem drei Elemente...
Wie wäre es so:
[mm] $x,y,z\in [/mm] G [mm] \subset\mathbb{R}^2$ [/mm] mit [mm] $x:=\vektor{x_1\\x_2}, y:=\vektor{y_1\\y_2}, z:=\vektor{z_1\\z_2}$
[/mm]
[mm] $x\circ [/mm] y = [mm] \vektor{x_1\\x_2}\circ\vektor{y_1\\y_2}:=\vektor{x_1y_1\\ x_1y_2+x_2y_1}$ [/mm] oder als "liegender" Vektor [mm] $\left(x_1y_1,\ x_1y_2+x_2y_1\right)$
[/mm]
(wobei ich da nicht sicher bin, ob ich die Verknüpfung richtig interpretiert hab, weil bei dir das $w$ zweimal vorkommt und das $x$ "aus dem Himmel fällt")
Zur Assoziativität:
Du musst zeigen, dass gilt [mm] $\left(x\circ y\right)\circ z=x\circ\left(y\circ z\right)$
[/mm]
Fang an mit
[mm] $(x\circ y)\circ z=\vektor{x_1y_1\\ x_1y_2+x_2y_1}\circ\vektor{z_1\\ z_2}=\vektor{x_1y_1z_1\\ x_1y_1z_2+x_1y_2z_1+x_2y_1z_1}=\ldots [/mm] $
Forme das so um, dass du am Schluss [mm] $\ldots =x\circ (y\circ [/mm] z)$ dastehen hast.
Bei den anderen Axiomen gehst du ganz genauso vor.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:48 Do 30.04.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
nein also die aufgabenstellung stimmt so schon hier ist die genau aufgabenstellung
Betrachten Sie die Menge G = {(x, y) ∈ R2 : x (ungleich 0} mit der Verkn¨upfung (v,w) ◦ (x, y) =
(vx, vy + w).
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> hallo,
> nein also die aufgabenstellung stimmt so schon
Hallo,
nein, die war zuvor Quark, ich will das jetzt aber nicht zerpflücken.
> hier ist
> die genau aufgabenstellung
> Betrachten Sie die Menge G = {(x, y) ∈ R2 : x
> (ungleich 0} mit der Verkn¨upfung (v,w) ◦ (x, y) =
> (vx, vy + w).
Um zu prüfen, ob das eine Gruppe ist, mußt Du nun eine bedingung nach der anderen abarbeiten.
Das Wesentliche hat Dir Fulla ja schon gesagt. Wenn [mm] x\in [/mm] G, dann hat x die Gestalt [mm] x=(x_1, x_2) [/mm] mit [mm] x_1, x_2\in \IR.
[/mm]
Fang jetzt mal an und zeig Deine versuche, sonst sieht man ja nicht, wo's hakt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 30.04.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ja aber wie soll ich denn die assoziativität beweisen, ich habe dochnur zwei Elemente ? Im ersten Post wurde geschrieben, dass man von einer normalen Matrxenmultiplikation ausgeht, aber ich hab dochnur ein [mm] \circ [/mm] Zeichen das ist ja nur eine Verknüpfung...kann jemand al ein beispiel machen bitte?
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> Hallo,
> ja aber wie soll ich denn die assoziativität beweisen, ich
> habe dochnur zwei Elemente ?
Hallo,
ich glaube, daß Du etwas Wichtiges nicht verstanden hast.
Vergiß für den Moment mal Deine Aufgabe.
Wir nehmen jetzt eine andere Menge und eine andere Verknüpfung.
Sei [mm] G:=\IN.
[/mm]
Die Verknüpfung § sei wei folgt definiert:
a § b:= 3ab.
Was bedeutet das? Dies: wenn ich irgend zwei Zahlen aus [mm] \IN [/mm] miteinander mit § verknüpfe, dann soll man das WErgebnis der Verknüpfunf erhalten, indem man die Zahlen miteinander multipliziert und dann noch mit 3.
Es wäre also für a=2 und b=5: [mm] \qquad [/mm] 2§5=3*2*5=30,
für a=7 und b=3: [mm] \qquad [/mm] 7§3=3*7*3=63,
Wenn ich nun die Assoziativität prüfen möchte, muß ich nachschauen, ob für alle [mm] a,b,c\in \IN [/mm] gilt: (a§b)§c=a§(b§c).
Gucken wir mal nach:
Seien [mm] a,b,c\in \IN.
[/mm]
Es ist
(a§b)§c=(3ab)§c= (--- Jetzt muß man sich wieder erinnern wie das geht. 1.Zahl mit der zweiten multiplizieren und dann noch mit 3. Also) ---=3*(3ab)*c= 9abc .
(Im letzten Schritt habe ich die Regeln fürs Rechnen mit natürlichen Zahlen verwendet.)
Jetzt die andere Seite der Gleichung:
a§(b§c)=a§(3bc)=3a(3bc)=9für alle abc.
Also ist [mm] a,b,c\in \IN
[/mm]
(a§b)§c=a§(b§c), somit ist § eine assoziative Verknüpfung.
Wenn Du dieses durchgearbeitet hast, sollte Dir etwas klarer sein, was Du bei Deiner Aufgabe tun mußt.
Gruß v. Angela
Im ersten Post wurde
> geschrieben, dass man von einer normalen
> Matrxenmultiplikation ausgeht, aber ich hab dochnur ein
> [mm]\circ[/mm] Zeichen das ist ja nur eine Verknüpfung...kann jemand
> al ein beispiel machen bitte?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Do 30.04.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
erstmal danke für die sehr ausführliche antwort..kannst du an der einen stelle noch etwas erklären und zwar :
"(a§b)§c=(3ab)§c= (--- Jetzt muß man sich wieder erinnern wie das geht. 1.Zahl mit der zweiten multiplizieren und dann noch mit 3. Also) ---=3*(3ab)*c= 9abc . "
weshalb auf einmal 3*(3ab)*c ???
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> Hallo,
> erstmal danke für die sehr ausführliche antwort..kannst du
> an der einen stelle noch etwas erklären und zwar :
>
> "(a§b)§c=(3ab)§c= (--- Jetzt muß man sich wieder erinnern
> wie das geht. 1.Zahl mit der zweiten multiplizieren und
> dann noch mit 3. Also) ---=3*(3ab)*c= 9abc . "
>
> weshalb auf einmal 3*(3ab)*c ???
Hallo,
wir wollen doch jetzt ausrechnen [mm] \green{(3ab)}§\red{c}.
[/mm]
Das Grüne ist die erste Zahl, das Rote die zweite.
Und unsere Verknüpfung ist nun mal so definiert, daß das ergebnis das Dreifache des Produktes der beiden Zahlen ist, also [mm] \green{(3ab)}*\red{c}.
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:46 Do 30.04.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
also ich hab ja gegeben
(v,w) [mm] \circ [/mm] (x,y) = (vx, vy +w)
wenn ich das nun also so schreibe
und sage (v,w) =k und (x,y)=l
k [mm] \circ [/mm] l = [mm] \vektor{v \\ w} \circ \vektor{x \\ y}
[/mm]
müsste doch ergeben :
[mm] \vektor{vx \\ vy +w} [/mm] oder?
mir ist jetzt schon bewusst, dass ich um die assoziativität zu zeigen wieder mti einem anderen Eleemnt von mir asu z verknüpfen muss also
[mm] \vektor{z1 \\ z2} \circ \vektor{vx \\ vy +w} [/mm]
das z1, z2 muss doch davorstehen oder , weil es ergibt sich ja durch den Mechanismus der Verknüpfung je nachdem, ob das z1,z2 davor oder danach seht ein anderes ergebnis
[mm] \vektor{vxz1 \\ (vyz1+wz1) + z2} [/mm]
wenn ich nun verknüpfe
k [mm] \circ [/mm] (l [mm] \circ [/mm] z)
ergibt sich für (l [mm] \circ [/mm] z) = [mm] \vektor{xz1 \\ xz2 + y}
[/mm]
und dann
[mm] \vektor{v \\ w} \circ \vektor{xz1 \\ xz2 + y} [/mm] = [mm] \vektor{vxz1 \\ (vz2x+yv) + w}
[/mm]
dass ist ja aber nicht identisch zu
[mm] \vektor{vxz1 \\ (vyz1+wz1) + z2} [/mm]
was ist den falsch?
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Hallo noobo2,
> Hallo,
> also ich hab ja gegeben
> (v,w) [mm]\circ[/mm] (x,y) = (vx, vy +w)
> wenn ich das nun also so schreibe
> und sage (v,w) =k und (x,y)=l
> k [mm]\circ[/mm] l = [mm]\vektor{v \\ w} \circ \vektor{x \\ y}[/mm]
> müsste
> doch ergeben :
> [mm]\vektor{vx \\ vy +w}[/mm] oder?
> mir ist jetzt schon bewusst, dass ich um die
> assoziativität zu zeigen wieder mti einem anderen Eleemnt
> von mir asu z verknüpfen muss also
> [mm]\vektor{z1 \\ z2} \circ \vektor{vx \\ vy +w}[/mm]
> das z1, z2 muss doch davorstehen oder , weil es ergibt sich
> ja durch den Mechanismus der Verknüpfung je nachdem, ob das
> z1,z2 davor oder danach seht ein anderes ergebnis
> [mm]\vektor{vxz1 \\ (vyz1+wz1) + z2}[/mm]
> wenn ich nun verknüpfe
> k [mm]\circ[/mm] (l [mm]\circ[/mm] z)
> ergibt sich für (l [mm]\circ[/mm] z) = [mm]\vektor{xz1 \\ xz2 + y}[/mm]
>
> und dann
> [mm]\vektor{v \\ w} \circ \vektor{xz1 \\ xz2 + y}[/mm] =
> [mm]\vektor{vxz1 \\ (vz2x+yv) + w}[/mm]
> dass ist ja aber nicht
> identisch zu
> [mm]\vektor{vxz1 \\ (vyz1+wz1) + z2}[/mm]
> was ist den falsch?
>
Ich habe jetzt nicht im einzelnen nachgerechnet.
Aber vielleicht ist diese sog. Gruppe mit dieser Verknüpfung gar nicht assoziativ?
Lies noch einmal genau die Fragestellung:
sollst du nachweisen, dass sie assoziativ ist - oder sollst du prüfen, ob ..?
Das macht einen riesen Unterschied!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Do 30.04.2009 | | Autor: | noobo2 |
ne da steht zeigen sie, dass ...eine Gruppe bildet..also es soll eine Gruppe sein, was ist den an meiner Rechnung falsch?
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Hallo.
Unter der Bedingung, dass du alles richtig gemacht hast und du herausgefunden hast, dass a(bc)=(ab)c nicht für alle Elemente gilt, dann hast du keine Gruppe vorliegen.
Grüße Elvis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:15 Fr 01.05.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
eben weil die Verknüpfung so, wie du sie hingeschrieben hast nicht assoziativ ist, bin ich davon ausgegangen, dass du sie vielleicht falsch abgeschrieben hast...
Aber wenn die Aufgabe so richtig ist, ist [mm] $(G,\circ)$ [/mm] keine Gruppe.
Habe mich wohl vertan... Die Verknüpfung ist schon assoziativ. Sorry.
Lieben Gruß,
Fulla
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Hallo,
daß das bei Dir nicht klappt, kommt durch Dein hausgemachtes Chaos.
Du mußt Dir am Anfang wirklich hinsschreiben, was Du zeigen möchtest, sonst verwurschtest Du Dich in den von Dir selbst ausgelegten Stricken.
Zeigen möchtest Du:
für alle [mm] k,l,z\in \IR^2 [/mm] ist [mm] (k\circ [/mm] l [mm] )\circ z=k\circ [/mm] (l [mm] \circ [/mm] z).
Sei k:=(v,w), l:=(x,y), [mm] z=(z_1, z_2).
[/mm]
(Jetzt geht's los. Schreib beim Rechnen alles hin, damit Du nicht den Überblick verlierst)
Es ist
[mm] (k\circ [/mm] l [mm] )\circ [/mm] z= [mm] ((v,w)\circ (x,y))\circ (z_1, z_2)= [/mm] (vx,vy+w) [mm] \circ (z_1, z_2)= (vxz_1, vxz_2+vy+w),
[/mm]
und es ist
[mm] k\circ [/mm] (l [mm] \circ [/mm] z)=...
> Hallo,
> also ich hab ja gegeben
> (v,w) [mm]\circ[/mm] (x,y) = (vx, vy +w)
> wenn ich das nun also so schreibe
> und sage (v,w) =k und (x,y)=l
> k [mm]\circ[/mm] l = [mm]\vektor{v \\ w} \circ \vektor{x \\ y}[/mm]
> müsste
> doch ergeben :
> [mm]\vektor{vx \\ vy +w}[/mm] oder?
> mir ist jetzt schon bewusst, dass ich um die
> assoziativität zu zeigen wieder mti einem anderen Eleemnt
> von mir asu z verknüpfen muss also
> [mm]\vektor{z1 \\ z2} \circ \vektor{vx \\ vy +w}[/mm]
> das z1, z2 muss doch davorstehen oder , weil es ergibt sich
> ja durch den Mechanismus der Verknüpfung je nachdem, ob das
> z1,z2 davor oder danach seht ein anderes ergebnis
> [mm]\vektor{vxz1 \\ (vyz1+wz1) + z2}[/mm]
> wenn ich nun verknüpfe
> k [mm]\circ[/mm] (l [mm]\circ[/mm] z)
> ergibt sich für (l [mm]\circ[/mm] z) = [mm]\vektor{xz1 \\ xz2 + y}[/mm]
>
> und dann
> [mm]\vektor{v \\ w} \circ \vektor{xz1 \\ xz2 + y}[/mm] =
> [mm]\vektor{vxz1 \\ (vz2x+yv) + w}[/mm]
> dass ist ja aber nicht
> identisch zu
> [mm]\vektor{vxz1 \\ (vyz1+wz1) + z2}[/mm]
> was ist den falsch?
Du hast aus oben erwähntem Chaosgrund ewas völlig anderes ausgerechnet, nämlich [mm] z\circ (k\circ [/mm] l) und [mm] k\circ(l\circ [/mm] z), was ja mit dem Assoziativgesetz überhaupt nicht die Bohne was zu tun hat.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:52 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
vielen Dank, das stimmt, so hat es jetzt geklappt...aber bei der komutativität geht es schief:
[mm] \vektor{v \\ w} \circ \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{vx \\ vy+w}
[/mm]
aber umgedreht
[mm] \vektor{x \\ y} \circ \vektor{v \\ w} [/mm] = [mm] \vektor{vx \\ xw + y}
[/mm]
oder?
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> hallo,
> vielen Dank, das stimmt, so hat es jetzt geklappt...aber
> bei der komutativität geht es schief:
> [mm]\vektor{v \\ w} \circ \vektor{x \\ y}[/mm] = [mm]\vektor{vx \\ vy+w}[/mm]
>
> aber umgedreht
> [mm]\vektor{x \\ y} \circ \vektor{v \\ w}[/mm] = [mm]\vektor{vx \\ xw + y}[/mm]
>
> oder?
Hallo,
genau, die Verknüpfung ist nicht kommutativ.
Du kannst die Kommutativität schlagkräftig durch ein Zahlenbeispiel widerlegen, bei dem es nicht klappt. (Zum beweisen reichen Zahlenbeispiele nicht.)
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:01 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
ja aber dann muss ich irgend einen Fehler gemacht haben weil in der Aufgabenstellung steht Zeigen sie, dass [mm] (G,\circ) [/mm] eine Gruppe bildet.
also nochmal die aufgabenstellung
Gegeben ist dei Menge G = {(x,y) e [mm] R^2 [/mm] | x ungleich 0)} mit der Verknüpfung
(v,w) [mm] \circ [/mm] (x,y) = (vw, vy+w)
kann jemand anhand dieser aufgabenstellugn die kommutativität beweisen?
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> ja aber dann muss ich irgend einen Fehler gemacht haben
> weil in der Aufgabenstellung steht Zeigen sie, dass
> [mm](G,\circ)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine Gruppe bildet.
> also nochmal die aufgabenstellung
>
> Gegeben ist dei Menge G = {(x,y) e [mm]R^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x ungleich 0)} mit
> der Verknüpfung
> (v,w) [mm]\circ[/mm] (x,y) = (vw, vy+w)
> kann jemand anhand dieser aufgabenstellugn die
> kommutativität beweisen?
Hallo,
die Verknüpfung ist nicht kommutativ - und "Gruppe " erfordert auch keine Kommutativität.
Es gibt viele Gruppen, die nicht kommutativ sind.
Die kommutativen Gruppen haben sogar einen eigenen Namen: man nennt sie "abelsche Gruppen".
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:48 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
entschuldigung, dass hab ich ganz vergessen, es muss keine abelsche gruppe sein...
das neutrale element zu finden ist insofern nicht schwer weil gilt:
[mm] \vektor{v \\ w} \circ \vektor{1 \\ 0}= \vektor{v \\ w}
[/mm]
aber wei soll cih zeigen, dass es ein inverses gibt also wie soll den gelten
[mm] \vektor{v \\ w} \circ [/mm] .... = [mm] \vektor{1 \\ 0}
[/mm]
?
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> hallo,
> entschuldigung, dass hab ich ganz vergessen, es muss keine
> abelsche gruppe sein...
> das neutrale element zu finden ist insofern nicht schwer
> weil gilt:
> [mm]\vektor{v \\ w} \circ \vektor{1 \\ 0}= \vektor{v \\ w}[/mm]
Hallo,
genau.
>
> aber wei soll cih zeigen, dass es ein inverses gibt also
> wie soll den gelten
> [mm]\vektor{v \\ w} \circ[/mm] .... = [mm]\vektor{1 \\ 0}[/mm]
> ?
Wenn ich nicht weiterweiß, spiele ich immer ein bißchen mit konkreten Zahlen.
Hast Du mal versucht, das Inverse z.B. zu [mm] \vektor{3\\2} [/mm] oder [mm] \vektor{5\\7} [/mm] zu finden?
Probier's mal. Wenn Dir das gelingt, dann wirst Du eine Idee haben, was das Inverse von [mm] \vektor{v\\w} [/mm] sein könnte.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:58 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ja zu [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] ist das inverse [mm] \vektor{-3 \\ -2}, [/mm] dann kommt der Nullvektor raus, aber bei mir muss ja [mm] \vektor{1 \\ 0} [/mm] rauskommen, daher ist ja [mm] \vektor{-v \\ -w} [/mm] als inverses ausgeschlossen oder?
Weil bei mir ist die Verknüpfung ja nicht einfach + sondern halt wie in der aufgabenstellung
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> Hallo,
> ja zu [mm]\vektor{3 \\ 2}[/mm] ist das inverse [mm]\vektor{-3 \\ -2},[/mm]
Nein.
Es ist im [mm] \IR^2 [/mm] mit der gewöhnlichen Addition [mm]\vektor{-3 \\ -2}[/mm]das Inverse zu [mm][mm] \vektor{3 \\ 2}.
[/mm]
Aber wir suchen ja das Inverse zu [mm] \vektor{3 \\ 2} [/mm] bzg. der Verknüpfung [mm] \circ, [/mm] wie Du selbst bemerkst.
Überleg Dir, für welches [mm] \vektor{x\\y}gilt \vektor{3 \\ 2} \circ\vektor{x\\y}=\vektor{1\\0}. [/mm] Berechne dazu die linke Seite.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:19 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
irgendwie kann ich mit der form nichts anfangen ..
Überleg Dir, für welches $ [mm] \vektor(x\\y) [/mm] $ gilt $ [mm] \vektor{3 \\ 2} \circ\vektor(x\\y)=\vektor(1\\0). [/mm] $ Berechne dazu die linke Seite.
was bedeutet denn $ [mm] \vektor(x\\y) [/mm] $
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> was bedeutet denn [mm]\vektor(x\\y)[/mm]
Hallo,
das waren Tippfehler, ist korrigiert.
(Tip: manchmal bekommt man raus, was gemeint ist, wenn man sich den Quelltext anschaut - aber natürlich sollte das eigentlich nicht nötig sein.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:39 Fr 01.05.2009 | | Autor: | noobo2 |
niemand?
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