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Wie merkt man, ob eine Verknüpfung mit einer Abbildung zu einer anderen möglich ist?
Danke im Voraus,
glg
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Hallo prinzessin258,
> Wie merkt man, ob eine Verknüpfung mit einer Abbildung zu
> einer anderen möglich ist?
Nun, das muss ja in allererster Linie mit den Definitions- und Wertebereichen passen.
Wenn das schon nicht stimmt, ist auch eine Verknüpfung sinnlos ...
Finde mal ein Bsp., wo das nicht klappt ...
> Danke im Voraus,
>
> glg
Gruß
schachuzipus
>
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ok, also wenn ich zb folgende Linearen Abbildungen habe:
f(x) = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 }
[/mm]
g(x) = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 2 & -2 \\ 1 & 2}
[/mm]
h(x) = [mm] \pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1}
[/mm]
dann weiß ich zb dass eine Verknüpfung f [mm] \circ [/mm] g möglich ist, aber wie erkenne ich oder weiß ich , welche Verknüpfungen nicht möglich sind. zb f g h
Danke,glg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:43 Mi 21.11.2012 | | Autor: | pila |
Hey,
Das hängt zumindest bei linearen Abbildungen von den Dimensionen deiner Matrizen ab.
Du meintest mit $ f(x) := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 } [/mm] $ sicherlich
$f(x) := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 } \pmat [/mm] { [mm] x_1 \\ x_2\\ x_3} [/mm] $, andernfalls wäre es ja keine wirkliche Funktion. Oder du meintest eine konstante Matrix, falls dies mit deinem Wertebereich übereinstimmen würde, aber ich nehne an, dass du das nicht meintest. :)
Falls nun $g(x) := [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 2 & -2 \\ 1 & 2} \pmat [/mm] { [mm] x_1\\x_2}$ [/mm] Dann ist die Definition von
$f [mm] \circ [/mm] g(x) := [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 2 } \pmat{ 1 & 0 \\ 2 & -2 \\ 1 & 2} \pmat [/mm] { [mm] x_1\\x_2}$
[/mm]
Wie du jetzt vllt. direkt erkennen kannst, ist die Komposition von zwei linearen Abbildungen dann definiert, falls die Anzahl Zeilen von $g$ gleich der Anzahl Spalten von $f$ entspricht (hier).
Denn nach $g(x)$ bekommst du einen Vektor der Länge der Anzahl Zeilen deiner Matrix und den musst du ja wieder mit der Matrix von $f(x)$ multiplizieren. Um einen Vektor mit einer Matrix zu multiplizieren, muss dieser genau soviele Einträge haben wie die Matrix Spalten hat. Rein aus Definitionsgründen der Matrix.
Allgemein: Sei $K$ Kp. $A [mm] \in K^{n_1 \times m_1}, [/mm] B [mm] \in K^{n_2 \times m_2}$, [/mm] dann ex.
$A * B [mm] \Leftrightarrow m_1 [/mm] = [mm] n_2$ [/mm]
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Ich dachte mir schon, dass es von der Dimension abhängt, das heißt also...
d.h. also g h ist nicht möglich oder ?
GlG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Do 22.11.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich dachte mir schon, dass es von der Dimension abhängt,
> das heißt also...
>
> d.h. also g h ist nicht möglich oder ?
nein:
$$g(x) = [mm] \underbrace{\pmat{ 1 & 0 \\ 2 & -2 \\ 1 & 2}}_{=:G}*\vektor{x_1\\x_2}\,,$$
[/mm]
$$h(x) = [mm] \underbrace{\pmat{ -1 & 0 & 0 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 0 & 1}}_{=:H}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}\,.$$
[/mm]
Das siehst Du auch an den Dimensionen der Matrizen, die die linearen
Abbildungen darstellen:
$g [mm] \circ [/mm] h$ wäre "bildbar", wenn das Matrixprodukt $G*H$ "bildbar" wäre.
Nun ist aber $G [mm] \in \IR^{3\times \red{2}}$ [/mm] und $H [mm] \in \IR^{\blue{\text{3}} \times 3}\,.$ [/mm] Und es ist [mm] $\red{2\;}\not=\blue{\;3}\,.$ [/mm]
Und das kannst Du Dir auch so überlegen:
[mm] $g\,$ [/mm] ist eine Abbildung $g: [mm] \IR^\red{2} \to \IR^3\,,$ [/mm] und [mm] $h\,$ [/mm] ist $h: [mm] \IR^3 \to \IR^\blue{\text{3}}\,.$
[/mm]
Um $g [mm] \circ h\,$ [/mm] bilden zu können, müßte dann [mm] $\IR^{\blue{\text{3}}} \subseteq \IR^\red{2}$ [/mm] sein!
Gruß,
Marcel
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vielen Dank für Deine Hilfe,
glg
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