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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:18 So 29.03.2009 | | Autor: | Klemme |
| Aufgabe | | Geben Sie die Verknüpfungstabelle für die Gruppe [mm] S_{3} [/mm] = S({1,2,3}) an! Wie lauten die Untergruppen von [mm] S_{3}? [/mm] |
Hallo,
hier meine (Teil)lösung zu obiger Aufgabe. Kann das bitte mal jemand kurz durchsehen?
Wie kann ich jetzt hier die Untergruppen rauslesen? Ich weiß dass das neutrale Element aus [mm] S_{3} [/mm] in diesen Untergruppen enthalten sein muss. Ist das neutrale Element jetzt die identische Abbildung?
Lösung:
id: [mm] \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{Vmatrix}\tau_{12}: \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3\end{Vmatrix}\tau_{13}: \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\end{Vmatrix}\tau_{23}: \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2\end{Vmatrix}\sigma:\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{Vmatrix}\rho:\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{Vmatrix}
[/mm]
gesamte Tabelle:
[mm] \begin{Vmatrix} & id & \tau_{12} & \tau_{13} & \tau_{23} &\sigma & \rho \\ id & id & \tau_{12} & \tau_{13} & \tau_{23} & \sigma & \rho \\ \tau_{12} & \tau_{12} & id & \rho & \sigma & \tau_{23} & \tau_{13} \\ \tau_{13} & \tau_{13} &\sigma & id & \rho & \tau_{12} & \tau_{23} \\ \tau_{23} & \tau_{23} & \rho & \sigma & id & \tau_{13} & \tau_{12} \\ \sigma & \sigma & \tau_{13} & \tau_{23} &\tau_{12} & \rho & id \\ \rho & \rho & \tau_{23} & \tau_{12}&\tau_{13} & id & \sigma \end{Vmatrix}
[/mm]
Danke schon mal.
LG
Klemme
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> Geben Sie die Verknüpfungstabelle für die Gruppe [mm]S_{3}[/mm] =
> S({1,2,3}) an! Wie lauten die Untergruppen von [mm]S_{3}?[/mm]
> Hallo,
>
> hier meine (Teil)lösung zu obiger Aufgabe. Kann das bitte
> mal jemand kurz durchsehen?
>
> Wie kann ich jetzt hier die Untergruppen rauslesen? Ich
> weiß dass das neutrale Element aus [mm]S_{3}[/mm] in diesen
> Untergruppen enthalten sein muss. Ist das neutrale Element
> jetzt die identische Abbildung?
>
> Lösung:
> id: [mm]\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{Vmatrix}\tau_{12}: \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 1 & 3\end{Vmatrix}\tau_{13}: \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\3 & 2 & 1\end{Vmatrix}\tau_{23}: \begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\1 & 3 & 2\end{Vmatrix}\sigma:\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\2 & 3 & 1\end{Vmatrix}\rho:\begin{Vmatrix} 1 & 2 & 3\\3 & 1 & 2\end{Vmatrix}[/mm]
>
> gesamte Tabelle:
> [mm]\begin{Vmatrix} & id & \tau_{12} & \tau_{13} & \tau_{23} &\sigma & \rho \\ id & id & \tau_{12} & \tau_{13} & \tau_{23} & \sigma & \rho \\ \tau_{12} & \tau_{12} & id & \rho & \sigma & \tau_{23} & \tau_{13} \\ \tau_{13} & \tau_{13} &\sigma & id & \rho & \tau_{12} & \tau_{23} \\ \tau_{23} & \tau_{23} & \rho & \sigma & id & \tau_{13} & \tau_{12} \\ \sigma & \sigma & \tau_{13} & \tau_{23} &\tau_{12} & \rho & id \\ \rho & \rho & \tau_{23} & \tau_{12}&\tau_{13} & id & \sigma \end{Vmatrix}[/mm]
Hallo,
grob drübergeschaut sieht Deine Tabelle richtig aus.
Wie Du vermutst, ist die identische Abbildung das neutrale Element. Damit hast Du auch schon eine einelementige Untergruppe gefunden. Auch die 6-elementige Untergruppe sollte klar sein.
Ich weiß nun nicht, was Du so alles weißt. jedenfalls brauchst Du nach Untergruppen mit 4 oder 5 Elementen gar nicht zu suchen. (Satz v. Lagrange)
Den anderen Untergruppen kommst Du vielleicht bequemer auf die Spur, wenn Du Dir [mm] S_3 [/mm] geometrisch vorstellst: als Kongruenzabbildungen des gleichseitigen Dreiecks.
Deine [mm] \tau [/mm] entsprechen den drei Spiegelungen, [mm] \sigma [/mm] und [mm] \rho [/mm] den Drehungen um 120° bzw. 240°.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 So 29.03.2009 | | Autor: | Klemme |
Gut. Danke für die schnelle Antwort. Ich spar mir das jetzt mal die anderen Untergruppen aufzuschreiben
LG
Klemme
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