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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:20 Fr 25.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, habe hier eine Aufgabe, bei der ich auch auf die Lösung komme, allerdings geibt es angeblich auch noch einen einfacheren Weg, auf den ich jedoch nicht komme!
Aufgabe:
Gegeben Sei die komplexe Matrix A:= [mm] \pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 2 } \in\IC [/mm] ^{2x2}
zunächst waren jetzt die Eigenwerte zu bestimmen und die Eigenräume von A. Außerdem sollte für [mm] \IC^{2} [/mm] eine Basis B aus Eigenvektoren von A angegeben werden.
Das waren die Eigenwerte [mm] \lambda_{1} [/mm] = 2+i und [mm] \lambda_{2} [/mm] = 2-i und ergab die Eigenräume [mm] V(\lambda_{1}) [/mm] = [mm] \vektor{i \\ 1} [/mm] und [mm] V(\lambda_{2}) [/mm] = [mm] \vektor{i \\ -1} [/mm] und somit B: [mm] \vektor{i \\ 1} \vektor{i \\ -1}
[/mm]
Bei der weiteren Aufgabe und der Part der angeblich auch einfacher geht ist nun gefragt:
Es sei [mm] \alpha:\IC^{2}\to\IC^{2}: v\mapsto [/mm] Av. Bestimmen Sie die Matrixdarstellung B [mm] \alpha [/mm] B , die die Abbildung [mm] \alpha [/mm] bezüglich der Basis B aus Eigenvektoren beschreibt.
Also ich würde jetzt rechnen: B [mm] \alpha [/mm] B = [mm] B^{-1}*(A*B) [/mm] und komme so auch auf die richtige Lösung, aber angeblich könnte man sich das sparen und gleich sagen die richtige Matrix ist: B [mm] \alpha [/mm] B = [mm] \pmat{ 2+i & 0 \\ 0 & 2-i } [/mm] sprich die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten?
Woher weiss man das?
lg Surfer
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> Hallo, habe hier eine Aufgabe, bei der ich auch auf die
> Lösung komme, allerdings geibt es angeblich auch noch einen
> einfacheren Weg, auf den ich jedoch nicht komme!
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> Aufgabe:
> Gegeben Sei die komplexe Matrix A:= [mm]\pmat{ 2 & -1 \\ 1 & 2 } \in\IC[/mm]
> ^{2x2}
>
> zunächst waren jetzt die Eigenwerte zu bestimmen und die
> Eigenräume von A. Außerdem sollte für [mm]\IC^{2}[/mm] eine Basis B
> aus Eigenvektoren von A angegeben werden.
>
> Das waren die Eigenwerte [mm]\lambda_{1}[/mm] = 2+i und [mm]\lambda_{2}[/mm]
> = 2-i und ergab die Eigenräume [mm]V(\lambda_{1})[/mm] = [mm]\vektor{i \\ 1}[/mm]
> und [mm]V(\lambda_{2})[/mm] = [mm]\vektor{i \\ -1}[/mm] und somit B:
> [mm]\vektor{i \\ 1} \vektor{i \\ -1}[/mm]
>
> Bei der weiteren Aufgabe und der Part der angeblich auch
> einfacher geht ist nun gefragt:
>
> Es sei [mm]\alpha:\IC^{2}\to\IC^{2}: v\mapsto[/mm] Av. Bestimmen Sie
> die Matrixdarstellung B [mm]\alpha[/mm] B , die die Abbildung [mm]\alpha[/mm]
> bezüglich der Basis B aus Eigenvektoren beschreibt.
>
> Also ich würde jetzt rechnen: B [mm]\alpha[/mm] B = [mm]B^{-1}*(A*B)[/mm] und
> komme so auch auf die richtige Lösung, aber angeblich
> könnte man sich das sparen und gleich sagen die richtige
> Matrix ist: B [mm]\alpha[/mm] B = [mm]\pmat{ 2+i & 0 \\ 0 & 2-i }[/mm] sprich
> die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten?
Hallo,
Du hast ja zuvor die beiden Eigenräume ausgerechnet, und hieraus eine [mm] B=(b_1,b_2) [/mm] des [mm] \IC² [/mm] gefunden, welche aus Eigenvektoren besteht.
Wie sieht nun die Matrix, die die durch [mm] \alpha(v):=Av [/mm] definierte Abbildung bzgl. der Basis B beschreibt, also [mm] _B\alpha_B, [/mm] aus?
Sie hat in der 1. Spalte das Bild des 1. Basisvektors in Koordinaten bzgl.B, in der 2. Spalte das Bild des 2. Basisvektors in Koordinaten bzgl.B.
Nun, das Bild des ersten Basisvektors ist
[mm] \alpha(b_1)=(2+i)b_1 [/mm] (denn [mm] b_1 [/mm] ist ja ein Eigenvektor zu 2+i)
[mm] =\vektor{2+i\\0}_{(B)}.
[/mm]
Die zweite Spalte der Matrix entsprechend.
Das passende Stichwort zum Nachlesen wäre Diagonalisierbarkeit.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 So 27.07.2008 | | Autor: | Surfer |
Hi,
nochmal was mir bissl unklar ist, ich habe hier das Problem zu sehen, dass [mm] (2+i)*b_{1} [/mm] = (2+i) [mm] *\vektor{i \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{2+i \\ 0} [/mm] ,
> [mm]\alpha(b_1)=(2+i)b_1[/mm] (denn [mm]b_1[/mm] ist ja ein Eigenvektor zu
> 2+i)
>
> [mm]=\vektor{2+i\\0}_{(B)}.[/mm]
>
> Die zweite Spalte der Matrix entsprechend.
>
lg Surfer
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> Hi,
> nochmal was mir bissl unklar ist, ich habe hier das Problem
> zu sehen, dass [mm](2+i)*b_{1}[/mm] = (2+i) [mm]*\vektor{i \\ 1}[/mm] =
> [mm]\vektor{2+i \\ 0}[/mm] ,
> > [mm]\alpha(b_1)=(2+i)b_1[/mm] (denn [mm]b_1[/mm] ist ja ein Eigenvektor zu
> > 2+i)
> >
> > [mm]=\vektor{2+i\\0}_{(B)}.[/mm]
> >
> > Die zweite Spalte der Matrix entsprechend.
Hallo,
Du hast Dir nicht gut angeschaut, was ich geschrieben habe:
Ich schrieb
> [mm] >\alpha(b_1)=(2+i)b_1 =\vektor{2+i\\0}_{(B)}.
[/mm]
Bzgl. der Basis [mm] B=(b_1, b_2) [/mm] hat [mm] (2+i)b_1 [/mm] den Koordinatenvektor [mm] \vektor{2+i\\0}, [/mm] um dies zu verdeutlichen, hab ich ja auch [mm] \vektor{2+i\\0}_{(B)} [/mm] geschreiben.
Das bedeutet nichts anderes als [mm] (2+i)*b_1+0*b_2.
[/mm]
Gruß v. Angela
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