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Also ich habe ein kleines Verständnisproblem bezüglich der direkten Summe.
Die direkte Summe ist ja definiert als:
[mm] \summe_{i=1}^{r}U_i=\{u_1 + u_2+ ... + u_r| u_i \in U_i\}
[/mm]
Nun wäre meine erste Frage ob die [mm] u_1,...,u_n [/mm] alle unterschiedlich seien müssen?
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> Also ich habe ein kleines Verständnisproblem bezüglich der
> direkten Summe.
> Die direkte Summe ist ja definiert als:
> [mm]\summe_{i=1}^{r}U_i[/mm] = [mm] \{u_1 + u_2+ ... + u_r| u_i \in U_i\}
[/mm]
>
> Nun wäre meine erste Frage ob die [mm]u_1[/mm] ... [mm]u_n[/mm] alle
> unterschiedlich seien müssen?
Hallo,
von direkter Summe ist hier noch keine Spur.
Hier geht's um die Summe [mm] U_1+...+U_r.
[/mm]
Es muß, wie in Deiner Def. ja auch steht,
[mm] u_1 \in U_1, u_2 \in U_2, [/mm] ... , [mm] u_r \in U_r [/mm] sein, weitere Einschränkungen gibt es nicht.
In [mm] U_1+...+U_r [/mm] sind alle Elemente, die man in der erklärten Weise als Summe erhält.
Bei der direkten Summe darf der Schnitt von [mm] U_i [/mm] und [mm] U_j [/mm] nur aus dem Nullvektor bestehen für [mm] i\not=j.
[/mm]
Das hat dann natürlich zur Folge, daß in [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2+ [/mm] ... + [mm] u_r [/mm] die von 0 verschiedenen [mm] u_i [/mm] alle verschieden sind.
Gruß v. Angela
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Danke erstmal für die schnelle Antwort,
also bei meinen Aufzeichnungen steht noch, dass die Summe direkt ist, wenn aus [mm] u_1 [/mm] + ... [mm] +u_r [/mm] = 0 folgt, dass [mm] u_1= [/mm] ... [mm] =u_r [/mm] = 0 ist.
Außerdem ist die Summe direkt, falls v [mm] \in [/mm] direkte Summe = [mm] u_1+ [/mm] ... [mm] +u_r [/mm] eindeutig darstellbar ist.
Nun soll beweisen werden:
[mm] V=U_1 \oplus U_2 \gdw V=U_1 [/mm] + [mm] U_2, U_1 \cap U_2 [/mm] = 0
Beweis:
[mm] ''\Rightarrow'' [/mm] Sei x [mm] \in U_1 \cap U_2
[/mm]
d.h. [mm] x=u_1 \in U_1 [/mm] und [mm] x=u_2 \in U_2
[/mm]
also: [mm] x=u_1 [/mm] + 0 und x= 0 + [mm] u_2
[/mm]
Aus der eindeutigkeit folgt nun [mm] u_1=0=u_2=x
[/mm]
Ich verstehe aber nicht, wieso das unbedingt folgen muss?
Kann nicht [mm] u_1=u_2 [/mm] = 1 sein?
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> Danke erstmal für die schnelle Antwort,
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> also bei meinen Aufzeichnungen steht noch, dass die Summe
> direkt ist, wenn aus [mm]u_1[/mm] + ... [mm]+u_r[/mm] = 0 folgt, dass [mm]u_1=[/mm]
> ... [mm]=u_r[/mm] = 0 ist.
> Außerdem ist die Summe direkt, falls v [mm]\in[/mm] direkte Summe =
> [mm]u_1+[/mm] ... [mm]+u_r[/mm] eindeutig darstellbar ist.
>
> Nun soll beweisen werden:
> [mm]V=U_1 \oplus U_2 \gdw V=U_1[/mm] + [mm]U_2, U_1 \cap U_2[/mm] = 0
> Beweis:
> [mm]''\Rightarrow''[/mm] Sei x [mm]\in U_1 \cap U_2[/mm]
> d.h. [mm]x=u_1 \in U_1[/mm]
> und [mm]x=u_2 \in U_2[/mm]
> also: [mm]x=u_1[/mm] + 0 und x= 0 + [mm]u_2[/mm]
> Aus der eindeutigkeit folgt nun [mm]u_1=0=u_2=x[/mm]
> Ich verstehe aber nicht, wieso das unbedingt folgen muss?
> Kann nicht [mm]u_1=u_2[/mm] = 1 sein?
Hallo,
das wird schon deshalb meist nicht der Fall sein, weil die VRe in der Regel nicht aus reellen Zahlen bestehen werden...
Die Eindeutigkeit sagt. zu jedem x aus V gibt es genau ein [mm] u_1\in U_1 [/mm] und genau ein [mm] u_2\in U_2 [/mm] mit [mm] x=u_1+u_2
[/mm]
Du hast
[mm]x=u_1[/mm] + 0 und
x= 0 + [mm]u_2[/mm],
und weil die Darstellung eindeutig ist muß [mm] u_1=0=u_2 [/mm] sein.
Wär's was anderes, wär's ja nicht eindeutig.
Denn wäre v [mm] \in U\cap [/mm] W mit x=v + 0 = 0+v, dann hätte man ja zwei zwei Darstellungen: einmal [mm] u_1=v, u_2=0 [/mm] und das andere Mal [mm] u_1=0, u_2=v.
[/mm]
Gruß v. Angela
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