Verständnisfrage Geraden im R3 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:27 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Julian |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Gerade im [mm] \IR_{3}:
[/mm]
[mm] G_{1}: [/mm] y = 2x + 1; y = z+2
Wie lautet die Gleichung der Geraden (in Punkt-Richtungs-Form), die sich durch Rotation der Geraden [mm] G_{1} [/mm] um [mm] \alpha [/mm] = 90° im Gegenuhrzeigersinn um die Gerade [mm] G_{2} [/mm] mit
[mm] G_{2}: \vec{r} [/mm] = [mm] \vec{r}_{2} [/mm] + [mm] \lambda\vec{q}; \vec{r}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{-3 \\ 0 \\ 0}, \vec{q} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
ergibt?
Stellen Sie zunächst die Transformationsmatrix auf! |
Hallo ihr!
Nur eine kurze Frage zum Verständnis. Um die Rotation durchzuführen muss [mm] G_{2} [/mm] ja durch den Ursprung gehen. Was muss ich zu diesem Zweck machen?
Reicht es, die gerade um [mm] -\vec{r}_{2} [/mm] oder um [mm] -\vec{q} [/mm] zu verschieben, damit sie im Ursprung liegt?
Danke schon mal für eure Hilfe!
Lieben Gruß,
Julian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Julian,
> Gegeben sei eine Gerade im [mm]\IR_{3}:[/mm]
> [mm]G_{1}:[/mm] y = 2x + 1; y = z+2
> Wie lautet die Gleichung der Geraden (in
> Punkt-Richtungs-Form), die sich durch Rotation der Geraden
> [mm]G_{1}[/mm] um [mm]\alpha[/mm] = 90° im Gegenuhrzeigersinn um die Gerade
> [mm]G_{2}[/mm] mit
> [mm]G_{2}: \vec{r}[/mm] = [mm]\vec{r}_{2}[/mm] + [mm]\lambda\vec{q}; \vec{r}_{2}[/mm]
> = [mm]\vektor{-3 \\ 0 \\ 0}, \vec{q}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
>
> ergibt?
> Stellen Sie zunächst die Transformationsmatrix auf!
> Hallo ihr!
>
> Nur eine kurze Frage zum Verständnis. Um die Rotation
> durchzuführen muss [mm]G_{2}[/mm] ja durch den Ursprung gehen. Was
> muss ich zu diesem Zweck machen?
>
> Reicht es, die gerade um [mm]-\vec{r}_{2}[/mm] oder um [mm]-\vec{q}[/mm] zu
> verschieben, damit sie im Ursprung liegt?
>
> Danke schon mal für eure Hilfe!
Wenn ich Deine Frage richtige verstehe, willst Du die Gerade haben, die den gleichen Richtungsvektor wie die obige hat, aber durch den Ursprung geht.
Das erklärt sich dann von selbst:
Der Aufpunkt der Geraden muss der Ursprung sein, der Richtungsvektor bleibt gleich.
Also:
Wenn Du eine Gerade $G$ beschrieben hast durch:
$G:$ [mm] $\vec{x}=\vec{x_0}+\mu \vec{y}$ [/mm] (mit [mm] $\vec{y} \not=\vec{0}$ [/mm] fest, [mm] $\mu \in \IR$), [/mm] so lautet die Gleichung der in diesem Sinne "zugehörigen" Ursprungsgerade $G'$:
$G'$: [mm] $\vec{x}=\vec{0}+\mu' \vec{y}=\mu' \vec{y}$ ($\mu' \in \IR$)
[/mm]
Mit anderen Worten:
Lass' den Aufpunkt (manchmal auch "Stützvektor" genannt) bei der Geradengleichung weg, und die so "entstehende" Gerade geht durch den Ursprung (Begründung: $G$ und $G'$ haben gleiche Richtungsvekotren, sind also parallel. Setzt man in $G'$ dann [mm] $\mu'=0$ [/mm] ein, so folgt dort, dass [mm] $\vec{x}=0*\vec{y}=\vec{0}$).
[/mm]
Ich hoffe nur, dass das auch Deine Frage war?!
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 10:06 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Julian |
Hallo Marcel!
Ja, das hat mir sehr geholfen. So hatte ich es auch vermutet.
D.h. man lässt den Aufpunkt weg, bzw. da ich eine Abbildungsmatrix aus einer Verkettung von Translationen/etc. bilden muss rechne ich am Anfang der Kette [mm] -\vec{r}_{2} [/mm] und am ende wieder [mm] +\vec{r}_{2}.
[/mm]
Das entspricht alles genau meiner Vermutung!
Vielen Dank!
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