Verständnisfragen zu Aufgabe < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:24 Mo 23.06.2008 | | Autor: | AnnaM |
Hallo,
ich habe hier folgende Aufgabe (ich gebe sie in englisch wieder, damit ich nicht schon bei der Übersetzung Verständnisfehler einbaue):
"Let R be a free Algebra of finite rank and G a group of homogeneous automorphism of R. Show that R has a basis of elements [mm] \sum\{mg|g\in G\}, [/mm] where m ranges over all monomials that (relative to the lexicographical ordering) are maximal in their Orbits. Calling these monomials G-maximal, show that the set of all G-maximal monomials is a free monoid, and the indecomposable ones form a prefix code, which is free generating set of [mm] R^{G}."
[/mm]
Meine Fragen dazu sind:
1) Was soll es bedeuten, dass ein Monom maximal in seinem Orbit ist? Soll das heißen, dass alle x aus mG kleiner oder gleich m sind (bezüglich der lexikographischen Ordnung)?
2) Wenn ich nun diese Monome gefunden habe, die maximal in ihren Orbits sind (seien diese [mm] m_{1}, m_{2}, [/mm] ...) was bedeutet dann [mm] \sum\{mg|g\in G\}?
[/mm]
Sind damit die Elemente [mm] \summe_{i=1,2...}m_{i}g_{1}, \summe_{i=1,2,...}m_{i}g_{2},.... (g_{i}\in [/mm] G) gemeint oder doch eher [mm] \summe_{g\in G}m_{1}g, \summe_{g\in G}m_{2}g,... [/mm] oder doch noch was ganz anderes?
3)Was soll es heißen, das ein Monom unzerlegbar ist? Oder nimmt das "indecomposable" Bezug auf etwas anderes?
Schöne Grüße,
Anna.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:37 Di 24.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> ich habe hier folgende Aufgabe (ich gebe sie in englisch
> wieder, damit ich nicht schon bei der Übersetzung
> Verständnisfehler einbaue):
>
> "Let R be a free Algebra of finite rank and G a group of
> homogeneous automorphism of R. Show that R has a basis of
> elements [mm]\sum\{mg|g\in G\},[/mm] where m ranges over all
> monomials that (relative to the lexicographical ordering)
> are maximal in their Orbits. Calling these monomials
> G-maximal, show that the set of all G-maximal monomials is
> a free monoid, and the indecomposable ones form a prefix
> code, which is free generating set of [mm]R^{G}."[/mm]
>
> Meine Fragen dazu sind:
>
> 1) Was soll es bedeuten, dass ein Monom maximal in seinem
> Orbit ist?
Das Monom m ist maximal in seinem Orbit, wenn fuer jedes $g [mm] \in [/mm] G$ gilt: ist $g m$ wieder ein Monom, so ist $g m$ lexikographisch kleinergleich $m$.
> Soll das heißen, dass alle x aus mG kleiner oder
> gleich m sind (bezüglich der lexikographischen Ordnung)?
Fast: dass alle Monome aus $m G$ kleinergleich $m$ sind.
> 2) Wenn ich nun diese Monome gefunden habe, die maximal in
> ihren Orbits sind (seien diese [mm]m_{1}, m_{2},[/mm] ...) was
> bedeutet dann [mm]\sum\{mg|g\in G\}?[/mm]
Das ist eine gute Frage...
> Sind damit die Elemente
> [mm]\summe_{i=1,2...}m_{i}g_{1}, \summe_{i=1,2,...}m_{i}g_{2},.... (g_{i}\in[/mm]
> G) gemeint oder doch eher [mm]\summe_{g\in G}m_{1}g, \summe_{g\in G}m_{2}g,...[/mm]
> oder doch noch was ganz anderes?
Da kann ich dir momentan leider auch nicht weiterhelfen, zumindest fehlt mir grad eine gute Idee. Ich meld mich nochmal wenn mir was einfaellt...
> 3)Was soll es heißen, das ein Monom unzerlegbar ist? Oder
> nimmt das "indecomposable" Bezug auf etwas anderes?
Das heisst, dass es nicht als nicht-triviales Produkt von Monomen geschrieben werden, die ebenfalls aus dem betrachteten Monoid stammen.
LG Felix
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