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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Docy |
| Aufgabe | Satz:
Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge |
Hallo leute,
kann mir bitte, bitte, bitte jemand helfen, diesen Beweis nachzuvollziehen? Ich blick da überhaupt nicht durch.
Unser Prof hat den folgenden Beweis an die Tafel geschrieben:
Nach Satz von Bolzano-Weierstraß existiert ein Häufungspunkt. Sei [mm] {a_n} [/mm] Folge und a Häufungspunkt von [mm] {a_n}.
[/mm]
[mm] n_0=0, n_k [/mm] sei definiert. Definiere [mm] n_{k+1} [/mm] wie folgt:
[mm] n_{k+1}>n_k
[/mm]
und außerdem [mm] |a-a_n_{k+1}|<\bruch{1}{k+1} [/mm] mit [mm] \varepsilon=\bruch{1}{k+1} [/mm]
Damit ist eine Teilfolge [mm] {a_n_k} [/mm] definiert.
Eigenschaft: [mm] |a-a_n_k|<\bruch{1}{k}
[/mm]
Zu zeigen: Für jedes [mm] \varepsilon>0 [/mm] , [mm] \exists [/mm] N, so dass für jedes [mm] k\ge [/mm] N gilt [mm] |a-a_n_k|<\varepsilon.
[/mm]
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] gegeben. Wähle [mm] N>\bruch{1}{\varepsilon} [/mm] (*) (ex. nach Archimedischen Axiom). Sei [mm] k\ge [/mm] N [mm] \Rightarrow \bruch{1}{k}<\varepsilon. [/mm] Wissen [mm] |a-a_n_k|<\bruch{1}{k}<\varepsilon [/mm] , [mm] k\ge [/mm] N.
[mm] \Box
[/mm]
So, meine Fragen sind nun:
1. Wie kommt man bei (*) dadrauf, das N frei zu wählen?
2. Hat man erst bewiesen, dass eine Folge einen Grenzwert hat, wenn man am Schluß [mm] |a-a_n|<\varepsilon, n\ge [/mm] N stehen hat?
Danke schonmal,
Gruß
Docy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 09.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo docy
> Satz:
> Jede beschränkte Folge besitzt eine konvergente Teilfolge
> Hallo leute,
> kann mir bitte, bitte, bitte jemand helfen, diesen Beweis
> nachzuvollziehen? Ich blick da überhaupt nicht durch.
>
> Unser Prof hat den folgenden Beweis an die Tafel
> geschrieben:
>
> Nach Satz von Bolzano-Weierstraß existiert ein
> Häufungspunkt. Sei [mm]{a_n}[/mm] Folge und a Häufungspunkt von
> [mm]{a_n}.[/mm]
>
> [mm]n_0=0, n_k[/mm] sei definiert. Definiere [mm]n_{k+1}[/mm] wie folgt:
> [mm]n_{k+1}>n_k[/mm]
> und außerdem [mm]|a-a_n_{k+1}|<\bruch{1}{k+1}[/mm] mit
> [mm]\varepsilon=\bruch{1}{k+1}[/mm]
>
> Damit ist eine Teilfolge [mm]{a_n_k}[/mm] definiert.
>
> Eigenschaft: [mm]|a-a_n_k|<\bruch{1}{k}[/mm]
>
>
> Zu zeigen: Für jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] , [mm]\exists[/mm] N, so dass für
> jedes [mm]k\ge[/mm] N gilt [mm]|a-a_n_k|<\varepsilon.[/mm]
Damit eine Folge konvergiert, muss man genau das Zeigen! Es ist DIE Definition der Konvergenz, die dir auch anschaulich etwa klar sein sollte: Wenn es zu irgendeinem [mm] \varepsilon [/mm] kein solches N gäbe, dann gäbe es ja für alle n noch irgendwelche an mit n>N die weiter von a enfernt wären als [mm] \varepsilon!
[/mm]
> Sei [mm]\varepsilon>0[/mm] gegeben. Wähle [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
Das wird einfach so geschickt gewählt, dass der Beweis klappt! Es ist erstmal klar, dass N umso größer sein muss, je kleiner [mm] \varepsilon [/mm] also versucht man den Beweis mit [mm]N>\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] Wenn das sich dann als noch zu klein erweist, geht man zurück und nimmt z.Bsp [mm]N>2*\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] günstig ist es oft anfangs [mm]N>a*\bruch{1}{\varepsilon}[/mm] (a fest) zu wählen, und dann am Ende des Beweises a festzulegen. hier würdest du dann sehen, dass du mit a=1 den Beweis erfolgreich durchführen kannst. Das hat dein Prof. sozusagen in seiner Vorbereitung gemacht.
Gruss leduart
> (*) (ex. nach Archimedischen Axiom). Sei [mm]k\ge[/mm] N [mm]\Rightarrow \bruch{1}{k}<\varepsilon.[/mm]
> Wissen [mm]|a-a_n_k|<\bruch{1}{k}<\varepsilon[/mm] , [mm]k\ge[/mm] N.
> [mm]\Box[/mm]
>
>
> So, meine Fragen sind nun:
> 1. Wie kommt man bei (*) dadrauf, das N frei zu wählen?
> 2. Hat man erst bewiesen, dass eine Folge einen Grenzwert
> hat, wenn man am Schluß [mm]|a-a_n|<\varepsilon, n\ge[/mm] N stehen
> hat?
>
> Danke schonmal,
>
> Gruß
> Docy
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