Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
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Hi @all,
ich habe leider wieder eine Frage zu einer Aufgabe, die lautet:
Die Zufallsvariable X sei Standard-Normalverteilt. BerechnenSie die Verteilung von X².
Für die Standardnormaverteilung gilt ja: 1/ [mm] \wurzel{2 \pi}* \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^-0,5x^2 dx}
[/mm]
Was mein Frage ist lautet, wie ich die Verteilung berechnen soll, da ich bis jetzt die Verteilung von unabhängigen Zufallsvariablen X,Y berechnet habe und jetzt nicht weiß, wie ich das machen soll. Für Lösungsansätze bin ich sehr dankbar. Xih weiß, dass hier keine Lösungsansätze sind, aber ich habe wirklich keine gefunden.
MFG Ares
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Die ZVe [mm] $X^2$ [/mm] modelliert eine Chi-Quadrat-Verteilung; diese solltest
du in der Literatur finden. Vielleicht findest du dort auch eine kleine
Herleitung, wie man darauf kommt. Mein Tipp: Statistik-Bücher angucken,
dort wird die Modellierung meist ausführlicher gemacht.
Allgemein: Die Summe von n quadrierten Standard-Normalverteilten
ZV'e folgt einer Chi-Quadrat-Verteilung mit n Freiheitsgraden.
Oder, falls du die Verteilungsfunktion ausrechnen willst:
[mm] $P(X^2 \le [/mm] x) = ... = N(0,1) (0, [mm] \sqrt{x}] [/mm] = [mm] \integral_{0}^{\sqrt{x}} [/mm] {f(y) dy}$ ,
wobei du für f deine Dichte der Normalverteilung einsetzt.> Diese Frage wurde in keiner Seite geschrieben!
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> Hi @all,
> ich habe leider wieder eine Frage zu einer Aufgabe, die
> lautet:
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> Die Zufallsvariable X sei Standard-Normalverteilt.
> BerechnenSie die Verteilung von X².
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> Für die Standardnormaverteilung gilt ja: 1/ [mm]\wurzel{2 \pi}* \integral_{- \infty}^{ \infty} {e^-0,5x^2 dx}
[/mm]
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> Was mein Frage ist lautet, wie ich die Verteilung berechnen
> soll, da ich bis jetzt die Verteilung von unabhängigen
> Zufallsvariablen X,Y berechnet habe und jetzt nicht weiß,
> wie ich das machen soll. Für Lösungsansätze bin ich sehr
> dankbar. Xih weiß, dass hier keine Lösungsansätze sind,
> aber ich habe wirklich keine gefunden.
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> MFG Ares
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:10 Di 18.01.2005 | | Autor: | Ares1982 |
Hi,
hab jetzt viel nachgeforscht und etwas gefunden. Also:
Sind Z1, Z2, ..., Zn unabhängig standardnormalverteilte ZVe, dh. E(Zi)=0 und VAR(Zi)=1, so ist die Auadratsumme U=Z1²+Z2²+...+Zv² Chi Quadrat verteilt, wobei E(U)=v und VAR(U)=2n.
Das sieht schon gut aus, aber ich denke, das ich sowas nicht abgeben kann. Wie müsste ich es denn noch korrekter machen???
MFG Ares
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:58 Mi 19.01.2005 | | Autor: | david4501 |
Tja das ist die Theorie; natürlich sollst du in der Aufgabe die Verteilungsfunktion selbst ausrechnen. Auch das findet man gelegentlich
in der Literatur, ich glaube z.B. in "Probability Essentials" von Jean Jacod.
Ich hatte in der letzten Mitteilung schon einen Ansatz hingeschrieben;
hab aber bemerkt, das sich ein kleiner Fehler eingeschlichen hat:
F(x) = [mm] P(X^2 \le [/mm] x) [mm] =P^X([-\wurzel{x},\wurzel{x}]) [/mm] = [mm] \integral_{-\wurzel{x}}^{\wurzel{x}} [/mm] f(x) dx
und für f musst du die Dichte der N(0,1)-Verteilung einsetzen...
Viel Spaß beim Knobeln!
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