Verteilung bestimmen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:27 So 26.11.2006 | | Autor: | Binie |
| Aufgabe | Seien X,Y unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen mit Werten in [mm] \IZ_+. [/mm] Es gelte
[mm] P(X=k|X+Y=n)=\bruch{1}{n+1} [/mm] für alle [mm] 0\le k\le [/mm] n
Bestimmen sie die Verteilung von X unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass P(X=k)>0 für alle [mm] k\ge [/mm] 0 |
Hallo Forum
Ich stehe bei der Aufgabe total auf dem Schlauch. Ich soll doch P(X=k) bestimmen also dachte ich mir ich mach folgendes:
P(X=k|X+Y=n) = [mm] \bruch{P(X=k,X+Y=n)}{P(X+Y=n)}= \bruch{P(X=k,Y=n-k)}{P(Y=n-k)} [/mm] (nun sind doch X und Y unabhängig also) = [mm] \bruch{P(X=k)P(Y=n-k)}{P(Y=n-k)} [/mm] = P(X=k)
d.h. P(X=k) = [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
Aber da ist doch irgendwo der Wurm drin, könnt ihr mit auf die Sprünge helfen?
Danke Binie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:16 So 26.11.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Binie,
ich mach auch grad die gleiche Aufgabe wie du.
So wie es scheint, hast du schon die Teilaufgabe a) von der Aufgabe. Ich hab diese so gemacht, weiß aber nicht, ob das so stimmt. Kannst du mir da bitte weiterhelfen  ?
P((X,Y) [mm] \in [/mm] A)= [mm] \summe_{X,Y \in A} [/mm] f(x)f(y)= [mm] \summe_{X,Y \in A} [/mm] P(X=x)Q(Y=y) = [mm] \summe_{X,Y \in A} [/mm] P({x}) Q({y}) [mm] =\summe_{l \in \IZ} [/mm] P(X = l) Q(Y = k-l) = [mm] \summe_{l \in \IZ} [/mm] P({l}) Q({k-l}) = P * Q({k})
In der Rechnung habe ich A definiert. Dann habe ich gegen Ende X=l gesetzt und dann substituiert: aus x+y =k in A folgt: y=k-x=k-l. die f's sind hier die diskreten Dichtefunktionen.
Bei der b) hab ich einfach in die obere Formel die Definition für Poisson-Verteilungen eingesetzt und ausgerechnet. Stimmt das so?
Wenn ich das falsch gemacht habe, würde ich mich freuen, wenn du mich verbesserst.
Vielen Dank,
Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:35 So 26.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
Kann dir zu deiner Aufgabe nicht viel sagen, weil ich das mit diesem A nicht so wirklich verstehe. Aber im Grunde kommt ja das raus was auch soll, das scheint also ok.
Ich habs eher so gemacht: Sei P(X=l)=P({l}) und P(Y=k)=Q({k})
[mm] P(X+Y=k)=\summe_{l\in\IZ} P(X=l,Y=k-l)=\summe_{l\in\IZ} P(X=l)*P(Y=k-l)=\summe_{l\in\IZ} [/mm] P({l})*Q({k-l})
Und bei der b) ist der Ansatz schon richtig, aber wichtig ist was du rausbekommen hast. X+Y sind [mm] \lambda+\mu [/mm] verteilt, draufgekommen?
Liebe Grüße Binie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 So 26.11.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Binie,
ich hab bei der b) als Endergebnis folgendes:
[mm] \summe_{l \in \IZ} [/mm] = [mm] e^{-(\lambda + \mu)} \bruch{\lambda^{l} \mu^{k-l}}{l! (k-l)!}
[/mm]
Stimmt das so?
Liebe Grüße,
Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:31 So 26.11.2006 | | Autor: | Binie |
Hi Milka
Ja im Grunde schon, also sollte volle Punktzahl geben. Aber es ist doch bedeutend schöner (und so war das auch bei der Stellung der Aufgabe gemeint) wenn du noch eine kleine Sache siehst:
[mm] \summe_{l\in \IZ} e^{-(\lambda+\mu)}*\bruch{1}{k!}*\bruch{k!}{l!(k-l)!}*\mu^l*\lambda^{k-l} [/mm] = [mm] e^{-(\lambda+\mu)}*\bruch{1}{k!}*\summe_{l\in \IZ} \bruch{k!}{l!(k-l)!}*\mu^l*\lambda^{k-l} [/mm] und was ist gleich nochmal [mm] \bruch{k!}{l!(k-l)!} [/mm] und was bedeutet dann das Summenzeichen und der Teil rechts davon?
Liebe Grüße Binie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Binie,
Danke für deine Antwort.
>
> [mm]\summe_{l\in \IZ} e^{-(\lambda+\mu)}*\bruch{1}{k!}*\bruch{k!}{l!(k-l)!}*\mu^l*\lambda^{k-l}[/mm]
> = [mm]e^{-(\lambda+\mu)}*\bruch{1}{k!}*\summe_{l\in \IZ} \bruch{k!}{l!(k-l)!}*\mu^l*\lambda^{k-l}[/mm]
> und was ist gleich nochmal [mm]\bruch{k!}{l!(k-l)!}[/mm] und was
> bedeutet dann das Summenzeichen und der Teil rechts davon?
Also der Bruch ist doch der Binomialkoeffizient [mm] \vektor{k \\ l}. [/mm] Irgendwie sieht das Teil rechts vom Summenzeichen aus wie eine Binomialverteilung, aber das kann doch nur sein wenn [mm] \lambda [/mm] = 1- [mm] \mu [/mm] ist oder? Es ist ja nirgendwo gesagt, dass das gilt. Oder gilt die Binomialverteilung auch dann, wenn [mm] \mu [/mm] und [mm] \lambda [/mm] irgendwelche Zahlen sind?
Ich bin mir da nicht so sicher. Aber vielleicht kannst du mich ja aufklären
Viele Grüße,
Milka
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:53 Mo 27.11.2006 | | Autor: | Binie |
Die Formel rechts ist nicht die Binomoalverteilung sondern die Binomialformel. also gleich [mm] (\lambda+\mu)^k [/mm] und alles zusammen ergibt dann, dass X+Y poissonverteilt zum Parameter [mm] \lambda+\mu [/mm] ist.
Gesehen?
Binie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mi 29.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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