Verteilung gesucht < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Do 10.06.2010 | | Autor: | meep |
| Aufgabe | Eine Zufallsgröße X besitze die Verteilungsfunktion F(x). Gesucht ist die Verteilungsfunktion der Zufallsgrößen
a) Y = [mm] X^{-1} [/mm] (P(X = 0) = 0)
b) Y = [mm] X^2 [/mm] (X Gleichverteilung auf [-2,1])
c) Y = X(2-X) (X Gleichverteilung auf [0,2]) |
hallo zusammen,
bei der a) habe ich folgenden ansatz gewählt
[mm] F_{X^{-1}} [/mm] = [mm] P(X^{-1} [/mm] < x) = P (X > [mm] x^{-1}) [/mm] = 1 - P (X < [mm] x^{-1}) [/mm] = 1 - [mm] F_{X}(x^{-1})
[/mm]
kann das sein ? wäre für hilfe dankbar, bei den anderen aufgaben habe ich noch garkeine idee weil mit der hinweis mit gleichvertilung in dem intervall irritiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> Eine Zufallsgröße X besitze die Verteilungsfunktion F(x).
> Gesucht ist die Verteilungsfunktion der Zufallsgrößen
>
> a) Y = [mm]X^{-1}[/mm] (P(X = 0) = 0)
> b) Y = [mm]X^2[/mm] (X Gleichverteilung auf [-2,1])
> c) Y = X(2-X) (X Gleichverteilung auf [0,2])
> hallo zusammen,
>
> bei der a) habe ich folgenden ansatz gewählt
>
> [mm]F_{X^{-1}}[/mm] = [mm]P(X^{-1}[/mm] < x) = P (X > [mm]x^{-1})[/mm] = 1 - P (X <
> [mm]x^{-1})[/mm] = 1 - [mm]F_{X}(x^{-1})[/mm]
>
> kann das sein ? wäre für hilfe dankbar, bei den anderen
Ich hab [mm] F_{Z}(t):=P(\{Z\le t\}) [/mm] mit dem [mm] "\le" [/mm] gelernt. Das ist zumindest die überwiegend verwendete Definition bei der dann die Verteilungsfunktionen rechtsstetig sind.
EDIT (Hatte hier einen Fehler drin. Habe konsequenter Fallunterscheidungen gemacht):
Du hast im Prinzip recht mit Deinem Ansatz, jedoch muss man Fallunterscheidungen machen:
i) t<0
[mm] F_{1/X}(t)=P(\{1/X\le t\})=P(\{0>X\ge1/t\})=P\Big(\{X<0\}\backslash\{X<1/t\}\Big)=P(\{X<0\})-P(\{X<1/t\})=F_X(0_-)-F_X((1/t)_-)
[/mm]
ii) t=0
[mm] F_{1/X}(0)=P(\{1/X\le 0\})=P(\{X<0\})=F_X(0_-)
[/mm]
iii) t>0
[mm] F_{1/X}(t)=P(\{1/X\le t\})=P(\{X<0\}\cup\{X\ge1/t\})=F_X(0_-)+P(\{X\ge1/t\})=F_X(0_-)+1-F_X((1/t)_-)
[/mm]
Und wenn man [mm] P(\{X=0\})=0 [/mm] berücksichtigt, kann man überall noch [mm] F_X(0_-) [/mm] durch [mm] F_X(0) [/mm] ersetzen.
> aufgaben habe ich noch garkeine idee weil mit der hinweis
> mit gleichvertilung in dem intervall irritiert
Bei a) war nur bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit von {X=0} verschwindet. Nun ist die Verteilung von X explizit gegeben und Du sollst die transformierte Verteilung beim Übergang von X zu f(X) bestimmen.
LG
gfm
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:46 Do 10.06.2010 | | Autor: | meep |
wie kann ich die transformierte Verteilung beim Übergang von X zu f(X) bestimmen ? ich versteh das nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Do 10.06.2010 | | Autor: | gfm |
> wie kann ich die transformierte Verteilung beim Übergang
> von X zu f(X) bestimmen ? ich versteh das nicht :(
Na das was Du schon gemacht hast (das obige f heißt jetzt g, damit man es nicht mit der Dichte von X verwechselt):
[mm] F_{g(X)}(t)=P(\{g(X)\le t\})=\integral_\Omega 1_{\{g(X)\le t\}}(\omega)dP(\omega)=\integral_\Omega 1_{(-\infty, t]}(g(X(\omega)))dP(\omega)
[/mm]
= [mm] \integral_{X(\Omega)} 1_{(-\infty, t]}(g(s))dF_X(s)=\integral_{X(\Omega)} 1_{(-\infty, t]}(g(s))f_X(s)ds
[/mm]
Hier muss man jetzt g und [mm] f_X [/mm] konkret einsetzen, und schauen, wie eine Substitution und/oder Manipulation mit Indikatorfunktionen weiterhilft.
In Deinen Aufgaben ist die Dichte jeweils eine konstante c auf [mm] X(\Omega):
[/mm]
[mm] =c\integral_\IR 1_{X(\Omega)}(s)*1_{g^{-1}((-\infty, t])}(s)ds
[/mm]
[mm] =c*\lambda(X(\Omega)\cap g^{-1}(-\infty,t]))
[/mm]
LG
gfm
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