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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:25 Mi 19.01.2005 | | Autor: | thomasm |
Hallo zusammen!
Ich beiße mir seit Stunden die Zähne an einer Berechnung aus, komme aber nicht ansatzweise auf die Lösung. Folgende Fragestellung:
Ich habe eine 4-stellige Zahlenreihe. Jede Stelle in dieser Reihe kann den Wert 0, 1 oder 2 annehmen. Ich möchte nun wissen, wie viele Kombinationsmöglichkeiten es gibt. An diesem Punkt komme ich selbst noch weiter: für jede Stelle in der Zahlenkette gibt es ja 3 Möglichkeiten, welchen Wert sie annehmen kann, deshalb gibt es [mm]3 \*3 \*3 \*3=81[/mm] Kombinationen.
Schwierig wird es durch die folgenden beiden Einschränkungen:
a) die Kombination 0000 soll es nicht geben
b) nur zwei Stellen der Zahlenreihe dürfen mit den Ziffern 1 oder 2 belegt sein, der Rest wird mit 0 gefüllt. Also wäre 0112 ungültig, 0110, 2000 und 0102 z.B. wären hingegen gültig.
Wie viele Zahlen kann ich auf diese Weise hervorbringen? Und wie lautet die Formel dazu, die mir also die Anzahl aller möglichen Zahlen als Ergebnis liefert?
Mein bisher einzig brauchbarer Denkansatz:
An erster Stelle habe ich alle 3 Möglichkeiten: 0, 1 und 2.
An zweiter Stelle habe ich ebenfalls alle 3 Möglichkeiten.
An dritter Stelle darf allerdings nur die 0 stehen, falls die ersten beiden Stellen je eine 1 oder eine 2 enthalten. Sonst habe ich auch hier 3 Möglichkeiten.
An vierter Stelle darf dann auch nur die 0 stehen, falls in den ersten 3 Stellen schon zwei der beiden anderen Ziffern enthalten sind.
Deshalb: [mm]3\*3\*[Tatsaechliche Moeglichkeiten fuer Stelle 3]\*[Tatsaechliche Moeglichkeiten fuer Stelle 4]=[Anzahl aller moeglichen Ergebnisse][/mm]
Vielen Dank für Eure Hilfe vorab! Und: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Viele Grüße,
Thomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Mi 19.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Thomas!
Es gibt
- $4 [mm] \cdot [/mm] 2=8$ Möglichkeiten mit 3 Nullen und
- ${4 [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \cdot 2^2= [/mm] 24$ Möglichkeiten mit 2 Nullen.
Daher gibt es insgesant 32 Möglichkeiten.
Probe:
1) 0001
2) 0002
3) 0010
4) 0020
5) 0100
6) 0200
7) 1000
8) 2000
9) 0011
10) 0012
11) 0021
12) 0022
13) 0101
14) 0102
15) 0201
16) 0202
17) 1001
18) 1002
19) 2001
20) 2002
21) 0110
22) 0120
23) 0210
24) 0220
25) 1010
26) 1020
27) 2010
28) 2020
29) 1100
30) 1200
31) 2100
32) 2200
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Do 20.01.2005 | | Autor: | thomasm |
Hallo Stefan,
vielen Dank für Deine schnelle Antwort, Du hast mir damit sehr weiter geholfen! 33 ist genau die Lösung, nach der ich gesucht habe.
Allerdings bin ich nicht besonders fit, was mathematische Schreibweisen angeht. Konkret meine ich den dritten Teil der Lösung:
[mm] \vektor{4 \\2}\*2^{2}=24[/mm] Könntest Du mir evtl. kurz aufschreiben, was das in Worten ausgedrückt bedeutet?
Ich habe dank Deiner Hilfe an meinem Projekt (es geht um Programmierung) weiterarbeiten können, bin jetzt aber auf ein weiteres (größeres?) Problem gestoßen. Und zwar kommt zu der oben genannten Fragestellung noch ein Faktor hinzu:
Also, ich habe weiterhin diese vierstellige Zahlenreihe mit allen oben genannten Einschränkungen. Nun kommt noch die Ziffer 3 hinzu, die zwar grundsätzlich überall stehen kann, aber mit zwei Einschränkungen:
a) Die 3 darf nur paarweise in der Zahlenreihe vorkommen, sie darf also nur entweder 0 Stellen, 2 beliebige Stellen oder alle 4 Stellen belegen.
b) Wenn 2 Positionen bereits durch die 3 belegt sind, dürfen die anderen beiden Positionen nicht 1 UND 2 sein, sondern entweder 0 und (1 oder 2) oder zweimal die gleiche Ziffer (0, 1 oder 2). Damit wären z.B. 0003 und 3132 falsch, hingegen wären 0033, 3230, 0012 und 2323 richtig.
Ich habe mir alle Kombinationen aufgeschrieben und bin auf 76 verschiedene gekommen, sofern ich keine übersehen habe. Meine Frage: wie errechnet sich das?
Ich würde mich sehr freuen, wenn Du da noch einmal eine Idee hättest.
Vielen Dank und schöne Grüße aus Düsseldorf,
Thomas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:11 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> vielen Dank für Deine schnelle Antwort, Du hast mir damit
> sehr weiter geholfen! 33 ist genau die Lösung, nach der ich
> gesucht habe.
Richtig ist 32, da die Kombination 0000 ja nicht vorkommen sollte. Das habe ich jetzt verbessert.
> Allerdings bin ich nicht besonders fit, was mathematische
> Schreibweisen angeht. Konkret meine ich den dritten Teil
> der Lösung:
> [mm]\vektor{4 \\2}\*2^{2}=24[/mm] Könntest Du mir evtl. kurz
> aufschreiben, was das in Worten ausgedrückt bedeutet?
Das bedeutet: "4 über 2 mal 2 zum Quadrat".
Ausrechnet:
${4 [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \cdot 2^2 [/mm] = [mm] \frac{4!}{2! \cdot 2!} \cdot [/mm] 4 = 6 [mm] \cdot [/mm] 4 = 24$.
> Ich habe dank Deiner Hilfe an meinem Projekt (es geht um
> Programmierung) weiterarbeiten können, bin jetzt aber auf
> ein weiteres (größeres?) Problem gestoßen. Und zwar kommt
> zu der oben genannten Fragestellung noch ein Faktor
> hinzu:
>
> Also, ich habe weiterhin diese vierstellige Zahlenreihe mit
> allen oben genannten Einschränkungen. Nun kommt noch die
> Ziffer 3 hinzu, die zwar grundsätzlich überall stehen kann,
> aber mit zwei Einschränkungen:
>
> a) Die 3 darf nur paarweise in der Zahlenreihe vorkommen,
> sie darf also nur entweder 0 Stellen, 2 beliebige Stellen
> oder alle 4 Stellen belegen.
> b) Wenn 2 Positionen bereits durch die 3 belegt sind,
> dürfen die anderen beiden Positionen nicht 1 UND 2 sein,
> sondern entweder 0 und (1 oder 2) oder zweimal die gleiche
> Ziffer (0, 1 oder 2). Damit wären z.B. 0003 und 3132
> falsch, hingegen wären 0033, 3230, 0012 und 2323 richtig.
>
> Ich habe mir alle Kombinationen aufgeschrieben und bin auf
> 76 verschiedene gekommen, sofern ich keine übersehen habe.
> Meine Frage: wie errechnet sich das?
Ich komme auf 75 (vermutlich ergibt sich der Unterschied dadurch, dass du 0000 mitgezählt hast), und zwar so:
- die 32 Kombinationen von vorher, wo die $3$ gar nicht vorkommt,
- ${4 [mm] \choose [/mm] 2} [mm] \cdot (3^2-2)=42$ [/mm] Möglichkeiten, wo die $3$ zweimal vorkommt, (*)
- 1 Möglichkeit, wo die $3$ viermal vorkommt.
Erklärung zu (*)
Ich kann aus den 4 Plätzen 2 Plätze wählen, wo die zwei 3en stehen sollen. Dafür gibt es ${4 [mm] \choose [/mm] 2}$ Möglichkeiten. Auf den anderen Plätzen können drei Zahlen mit Wiederholung und unter Beachtung der Reihenfolge stehen, also [mm] $3^2$. [/mm] Davon müssen $2$ abgezogen werden, nämlich $(1,2)$ und $(2,1)$.
Probe:
Die 32 von vorher und
33) 3300
34) 3310
35) 3301
36) 3311
37) 3320
38) 3302
39) 3322
40) 3030
41) 3130
42) 3031
43) 3131
44) 3230
45) 3032
46) 3232
47) 3003
48) 3103
49) 3013
50) 3113
51) 3203
52) 3023
53) 3223
54) 0330
55) 1330
56) 0331
57) 1331
58) 2330
59) 0332
60) 2332
61) 0303
62) 1303
63) 0313
64) 1313
65) 2303
66) 0323
67) 2323
68) 0033
69) 1033
70) 0133
71) 1133
72) 2033
73) 0233
74) 2233
75) 3333
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