Verteilung korrektur < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mo 29.12.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Joachim Müller hatte keine Lust,ein neues Weihnachtsüblatt. zu erstellen. Deshalb muss er zur Strafe einen Zettel ,auf dem sein Name in Großbuchstaben geschrieben steht, in Stücke mit jeweils einen Buchstaben zerschneiden und jeden dieser Buchstaben zufällig in einen von zwei Papierkörben werfen.
$a)$ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass ein Papierkorb sämtliche Buchstaben von Joachims Vornamen und der andere sämtliche Buchstaben von Herrn Müllers Nachnamen enthält?
$b)$
Nehmen wir nun an, dass sich wirklich die Buchstaben "JOACHIM" in dem einen und die Buchstaben "MÜLLER"in dem anderen Papierkorb befnden. Da Joachim die Betreuung der Studierenden sehr viel Spass macht, bietet er jedem Studierenden, der entweder aus dem einen Papierkorb die Buchstaben seines Vornamens oder aus dem anderen Papierkorb die Buchstaben seines Nachnamens in der richtigen Reihenfolge zieht, $20$ Nachhilfestunden an.
Ein Studierender darf vorher entscheiden, aus welchem Korb er zieht. Bei welchem Papierkorb sind die Chancen höher, dass Joachim die Nachhilfestunden geben darf$?$
$c)$
Nehmen wir an, dass $50$ Studenten sich für den Korb mit dem Buchstaben des Vornamens und $100$ für den Korb mit dem Nachnamen entscheiden.
$(i)$
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass Joachim keine Nachhilfestunden geben darf?
$(ii)$
Wie hoch ist die erwartete Anzahl an Nachhilfestunden, die Joachim gibt?
$(iii)$
Wie hoch ist die Varianz und die Standardabweichung für diese Anzahl? |
$a)$
zwei papierkörbe das heisst jeder hat eine Wahrscheinlichkeit von [mm] $50\% [/mm] $getroffen zu werden.
JOACHIM $= 7$ Buchstaben, MÜLLER $= 6$ Buchstaben
da es ja ziehen ohne Reihenfolge und zurücklegen ist. Es wird ein buchstabe gezogen hin gelegt und nicht wieder rein getan
ist das [mm] ${13\choose 7}*{6\choose 6}* (\frac{1}{2})^7*(\frac{1}{2})^6$ [/mm] = [mm] \frac{429}{2049} \approx [/mm] 21 [mm] \%
[/mm]
bei der $b$ hab ich leider keine ansatz....:/
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a) stimmt nicht.
Du kannst Dir das so vorstellen: seien die Papierkörbe A und B genannt. Nun hat "JOACHIM MÜLLER" 13 Buchstaben. Es gibt zwei Fälle, der Vorname im Kübel A und Nachname im Kübel B, oder umgekehrt.
Erster Fall: W'keit, dass J im richtigen Kübel landet: [mm]p=\frac12[/mm]. W'keit, dass O im richtigen Kübel landet: [mm] $p=\frac12$. [/mm] Und so weiter. Dann: W'keit, dass der erste M im richtigen Kübel landet: $p=1$ (man kann die zwei M ja nicht unterscheiden). W'keit, dass der zweite M im richtigen Kübel landet: [mm] $p=\frac12$ [/mm] (muss im anderen Kübel sein als der erste M). Und so weiter, bis W'keit, dass R im richtigen Kübel landet: [mm] $p=\frac12$. [/mm] Ganze W'keit: [mm] $p=\left(\frac12\right)^{12}$.
[/mm]
Zweiter Fall: W'keiten genau wie beim ersten, nur Kübel vertauscht.
Deshalb: [mm] $P=2\cdot\left(\frac12\right)^{12}=\left(\frac12\right)^{11}=0.000488=0.0488\,\%$
[/mm]
b) Tipp: erzähle nun eine ähnliche Geschichte für das Ziehen beider Namen und rechne analog ;)
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 30.12.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo hanspeter
Frohe weihnachten erstmal:) ich hab mich beim namen vertan . Mein abgabe partner hat gesagt es sei PHILIPP BERGER anstatt JOACHIM MÜLLER . Deswejtern versuche ich gleich eine angemessene loesung zu posten.
Lg
Lgs
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Dann ist es noch einfacher, weil Vor- und Nachnamen nun keine Buchstaben mehr gemeinsam haben. Siehe meine Antwort zur anderen Frage ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:28 Di 30.12.2014 | | Autor: | LGS |
Hallo Hanspeter,
um nochmal klarheit über die aufgabenstellung zu geben ,habe ich diese in einem Dropboxfach gestellt und hier ist jener link dazu
https://www.dropbox.com/s/atodfxhzo080hd1/BlattWeihnachten.pdf?dl=0
der name philipp Berger enthält genau 13 Buchstaben, davon haben jetzt aber ja nicht alle die gleiche W'keit
z.bsp
$P(P) = [mm] \frac{3}{13}, [/mm] P(I) = [mm] \frac{2}{13} [/mm] , [mm] P(L)=\frac{1}{13} [/mm] , [mm] P(H)=\frac{1}{13} ,P(B)\frac{1}{13},P(E)= \frac{2}{13} [/mm] , P(R) = [mm] \frac{2}{13}, [/mm] P(G) = [mm] \frac{1}{13} [/mm] $
und die fälle Der vorname in korb ein oder zwei oder der nachname in korb eins oder zwei, ist das nicht hypergeometrisch verteilt? ich schwebe momentan zwischen hypergeo. bzw. multinominal ,aber tendiere zu hypergeo.
lieben gruss
lgs
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> der name philipp Berger enthält genau 13 Buchstaben, davon
> haben jetzt aber ja nicht alle die gleiche W'keit
>
> z.bsp
>
> [mm]P(P) = \frac{3}{13}, P(I) = \frac{2}{13} , P(L)=\frac{1}{13} , P(H)=\frac{1}{13} ,P(B)\frac{1}{13},P(E)= \frac{2}{13} , P(R) = \frac{2}{13}, P(G) = \frac{1}{13}[/mm]
Und hier machst Du einen ganz grundlegenden Überlegungsfehler. Dies wären die W'keiten, einen der Buchstaben zufällig zu ziehen. In dieser Aufgabe werden aber nicht Buchstaben zufällig ausgewählt, sondern Papierkörbe, und von denen hat es nur 2.
Zuallererst musst Du das verstehen. Ich glaube, wenn Du meine oben gegebene Antwort verstehst, kannst Du danach alle Teilaufgaben lösen.
Also: versuche mal, dasselbe, was ich mit JOACHIM MÜLLER gemacht habe, mit PHILIPP BERGER zu wiederholen.
Dann helfe ich gleich weiter.
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 30.12.2014 | | Autor: | LGS |
ahh, ich glaubs ich habs verstanden ,das ist wie bei münzwurf ,jeder buchstabe hat die chance $p=1/2$ im ersten oder zweiten korb zu landen
dann wäre es ja $p= [mm] (\frac{1}{2})^{13} [/mm] = 0,0001220703125 [mm] \approx [/mm] 0,0122 [mm] \% [/mm] $ oder ? für beide fälle also vorname erster korb oder vorname in den zweiten korb?
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Ja, ganz genau so, also gibt es zwei solche Fälle, und somit $p= [mm] 2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{13} [/mm] = [mm] \left(\frac{1}{2}\right)^{12}$.
[/mm]
So. Und jetzt zur Aufgabe b). Sage für jeden Buchstaben, getrennt für Vor- und Nachnamen, die Wahrscheinlichkeit, dass er zum richtigen Zeitpunkt kommt.
BERGER: 6 Buchstaben. W'keit, dass B zuerst kommt: [mm] $\frac16$. [/mm] W'keit, dass danach ein E als zweites kommt: [mm] $\frac{\mathrm{?}}5$. [/mm] etc.
Und jetzt bist wieder Du am Ball mit dem Lösen der Aufgabe ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Di 30.12.2014 | | Autor: | LGS |
b )
BERGER
P(B) = 1/6 , P(E)=2/5, P(R)=2/3 , P(G)=1
1/6*2/5*2/3 *1 = 0,444444 [mm] \approx [/mm] 44 [mm] \%
[/mm]
PHILIPP
P(P)= 3/7 , P(H) = 1/4 , P(I) = 2/3 , P(L)= 1
3/7 *1/4 *2/3*1 = 0,071... [mm] \approx [/mm] 7,1 [mm] \%
[/mm]
darum würde ich eher Korb 2 mit dem Nachnamen präferieren.
wenn das richtig ist darf ich dann die c) noch vortragen?
lieben gruß dir
LGS
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> b )
>
>
> BERGER
>
> P(B) = 1/6 , P(E)=2/5, P(R)=2/3 , P(G)=1
>
> 1/6*2/5*2/3 *1 = 0,444444 [mm]\approx[/mm] 44 [mm]\%[/mm]
Das wäre 0,0444 ;)
Guter Versuch, aber es sind zwei Es und zwei Rs.
Also [mm] $p=\frac16\frac25\frac24\frac13\frac12\frac11=0.00555\ldots$
[/mm]
> PHILIPP
>
> P(P)= 3/7 , P(H) = 1/4 , P(I) = 2/3 , P(L)= 1
>
> 3/7 *1/4 *2/3*1 = 0,071... [mm]\approx[/mm] 7,1 [mm]\%[/mm]
[mm] $p=\frac37\frac16\frac25\frac14\frac13\frac22\frac11=0.002380\ldots$
[/mm]
> wenn das richtig ist darf ich dann die c) noch vortragen?
Ja gerne.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Mi 31.12.2014 | | Autor: | LGS |
$c) $
$i) $ich definiere mir zu erst zwei Ereignisse
$A: = $Philipp muss Nachhilfestunden geben $, [mm] A^c [/mm] := $ Philipp muss keine Nachhilfestunden geben
[mm] $P(A^c)= [/mm] 1-P(A) $
aus $b)$ folgt ja das die gesamt W'keit bei $ 50*p=50* 0.00555 + 100* p=100*0.002380 =0,5155$ bei $51,55 [mm] \%$ [/mm] liegt das Philipp Nach. geben muss
deshalb muss er zur [mm] $P(A^c)= [/mm] 1-0,5155 = 0,4845 = 48,45 [mm] \%$ [/mm] keine Nachilfe geben.
Bei erwartungswert kommt ich nicht weiter irgendwie mach ich zwei stück(dass heißt mit zwei Zufallsvariablen) und addiere sie am Ende?
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> aus [mm]b)[/mm] folgt ja das die gesamt W'keit bei [mm]50*p=50* 0.00555 + 100* p=100*0.002380 =0,5155[/mm]
> bei [mm]51,55 \%[/mm] liegt das Philipp Nach. geben muss
Und wenn es 500 und 1000 Studis gewesen wären, dann wäre die W'keit [mm]515.5\,\%[/mm]?
Nein, das ist keine Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeiten von mehreren unabhängigen Zufallsversuchen sind immer Produkte, nie Summen. Bitte versuch es nochmal; zuerst nur mit den 50 Studenten.
Das ist dieselbe Aufgabe wie "wirf eine Münze 3 Mal, was ist die W'keit für 3 Mal Kopf?"
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Mi 31.12.2014 | | Autor: | LGS |
ja die wahrscheinlichkeit für drei mal kopf ist ja $ [mm] (\frac{1}{2})^3 [/mm] $
dann wäre ja die W'keit $ [mm] (\frac{1}{2})^{50} [/mm] ? $ und für die anderen $ [mm] (\frac{1}{2})^{100} [/mm] $ das ist alle irgendwie verwirrend..:/
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Nein, natürlich ist die W'keit hier nicht [mm] $\frac12$. [/mm] Du hattest sie doch gerade berechnet. Und was jetzt geschehen muss, ist dass 50 Mal niemand den Vornamen und 100 mal niemand den Nachnamen richtig zieht, also [mm] $p=(?)^{50}(?)^{100}$. [/mm] OK?
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:19 Mi 31.12.2014 | | Autor: | LGS |
Da ich mir nicht sicher bin,werde ich zwei lösungen posten
$1.$ Lösung
in aufgabe $b)$ haben wir aus gerechnet, wie hoch die chancen sind,dass philipp nachilfe studen geben darf
jetzt würde ich sagen
für den ersten korb wäre es ja $ [mm] p_1=0.00555= [/mm] 0,5 [mm] \% [/mm] $ für den zweiten korb $ [mm] p_2=0.002380 [/mm] = 0,2380 [mm] \%\$
[/mm]
[mm] $1-p_1 [/mm] = 0,9945 , [mm] 1-p_2 [/mm] = 0,99762$
$ p=( [mm] 0,9945)^{50}*(0,99762)^{100} [/mm] =0,59807285304472 [mm] \approx 59,80\%$
[/mm]
$2.$Fall:
[mm] $p=(0.00555)^{50}*(0.002380)^{100}=7,45323580768102E-376$
[/mm]
Meine Präferenz wäre es den $1.$Fall vorziehen
Antwort. die W'keit dass er keine Nachilfe stunden geben darf liegt bei [mm] $59,80\%$
[/mm]
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Das findest Du aber nun selber raus. Ergänze folgende Sätze:
[mm] $p_1$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass ... Nachhilfe ...
[mm] $1-p_1$ [/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass ... Nachhilfe ...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mi 31.12.2014 | | Autor: | LGS |
$ [mm] p_1 [/mm] $ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Philipp Berger Nachhilfe geben muss.
$ [mm] 1-p_1 [/mm] $ ist die Wahrscheinlichkeit, dass Philipp Berger keine Nachhilfe geben muss.
zur $ ii) $
das ist ja die formel des Erwartungswerts
$E(X) = [mm] \sum_{i=1}^{n} x_ip_i [/mm] $
p ist ja $ p=( [mm] 0,9945)^{50}\cdot{}(0,99762)^{100} [/mm] =0,59807285304472 [mm] \approx 59,80\% [/mm] $
aber wie wähle ich jetzt die [mm] $x_i [/mm] ??$ ... :/
sorry hansperter irgendwie hakt's bei mir in den letzten zügen des Jahres
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> [mm]p_1[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass Philipp Berger
> Nachhilfe geben muss.
>
> [mm]1-p_1[/mm] ist die Wahrscheinlichkeit, dass Philipp Berger keine
> Nachhilfe geben muss.
>
>
>
> p ist ja [mm]p=( 0,9945)^{50}\cdot{}(0,99762)^{100} =0,59807285304472 \approx 59,80\%[/mm]
Und das ist die W'keit, dass er niemandem Nachhilfe geben muss. OK, das haben wir also.
> zur [mm]ii)[/mm]
> das ist ja die formel des Erwartungswerts
>
> [mm]E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_ip_i[/mm]
>
> aber wie wähle ich jetzt die [mm]x_i ??[/mm] ... :/
Wähle mal [mm] $x_i$ [/mm] als "Die Anzahl Stunden Nachhilfe, die er dem $i$-ten Studenten geben muss, falls er ihm Nachhilfe geben muss." Und dann die entsprechenden [mm] $p_i$ [/mm] für [mm] $i=1\ldots150$.
[/mm]
> sorry hansperter irgendwie hakt's bei mir in den letzten
> zügen des Jahres
;)
Ich helfe gerne, aber wie Du merkst, möchte ich Dich zum Verständnis und nicht nur zur Lösung führen, und das dauert halt manchmal.
In Deinem Fall dauert es, so denke ich, weil Du zu oft Symbole verwendest, ohne dass sie Dir konkret etwas bedeuten, wie [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $1-p_1$ [/mm] vorher, und [mm] $x_i$ [/mm] und [mm] $p_i$ [/mm] jetzt. Mach das gar nie, denn das endet fast immer in einem mathematischen Blindflug mit anschliessender Bruchlandung im Tal des geistigen Nebels ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 01.01.2015 | | Autor: | LGS |
hanspeter ich werde wahnsinnig....ich komme nicht auf die $ [mm] x_i [/mm] $ und die [mm] $p_i$ [/mm] wie muss ich die wählen? das problem hat einen ganzen Silvesterabend durchzogen..arghh
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Also, zum Erwartungswert: hier kennst Du die W'keiten, dass die Studierenden den Vornamen und den Nachnamen richtig geordnet ziehen, das sind [mm] $p_1=0.00555$ [/mm] und [mm] $p_2=0.002380$. [/mm] Falls das geschieht, kriegt der betreffende Student [mm] $x_1=x_2=20\,\mathrm{h}$ [/mm] Nachhilfe.
Es gibt [mm] $n_1=50$ [/mm] und [mm] $n_2=100$ [/mm] Studierende, die Korb 1 bzw. Korb 2 bearbeiten.
Also ist die erwartete Anzahl Nachhilfestunden $E(X) [mm] =n_1x_1p_1+n_2x_2p_2=10.31\,\mathrm{h}$, [/mm] wenn ich es richtig in den Taschenrechner getippt habe.
Hilft das?
Beachte hier, dass Deine Formel $ E(X) = [mm] \sum_{i=1}^{n} x_ip_i [/mm] $ für die Ermittlung des Erwartungswertes einer Zufallsverteilung gilt. Das ist aber nicht, was wir hier machen. Hier berechnen wir die erwartete Anzahl an Nachhilfestunden. Das ist NICHT der Erwartungswert der Zufallsvariablen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:00 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
ahh okay habs gerafft mit dem Erwartungswert
die Varianz berechnet man ja $ Var(X):= [mm] E((X-E(X))^2)$
[/mm]
E(X) = 10,31
X ,aaber wie bestimme ich jetzt dieses X. wird es einfach X=20 gesetzt wegen der Nachhilfe stunden oder ist es etwas grundlegen anderes?
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Das ist wieder etwas grundlegend anderes. Du kannst es zum Beispiel von jedem einzelnen Studierenden aus betrachten, und die Varianz für einen Studierenden berechnen, der den Vornamen zieht, und für einen, der den Nachnamen zieht, nennen wir diese [mm] $\sigma_1^2$ [/mm] und [mm] $\sigma_2^2$. [/mm] Dafür musst Du aber dann den Erwartungswert des Anzahl Nachhilfestunden von jedem einzelen Studierenden verwenden, nicht die [mm] $10.31\,\mathrm{h}$
[/mm]
Was die 150 Studierenden machen, ist unabhängig voneinander, und deshalb gilt [mm] $\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=\sum_{i=1}^{150} \operatorname{Var}(X_i)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
> Das ist wieder etwas grundlegend anderes. Du kannst es zum
> Beispiel von jedem einzelnen Studierenden aus betrachten,
> und die Varianz für einen Studierenden berechnen, der den
> Vornamen zieht, und für einen, der den Nachnamen zieht,
> nennen wir diese [mm]\sigma_1^2[/mm] und [mm]\sigma_2^2[/mm]. Dafür musst Du
> aber dann den Erwartungswert des Anzahl Nachhilfestunden
> von jedem einzelen Studierenden verwenden, nicht die
> [mm]10.31\,\mathrm{h}[/mm]
Ja das wäre dann doch $ E(X) =n*x*p=10.31\ $,
mit [mm] $x_1 [/mm] = 20 , [mm] n_1 [/mm] = 1 , [mm] p_1= [/mm] 0,0055 $für den Vornamen
mit [mm] $x_2 [/mm] =20 [mm] ,n_2 [/mm] = 1 , [mm] p_2=0.002380 [/mm] .$ für den Nachnamen
$ E(X) =n*x*p=10.31\ $, für einen Studenten den vornamen
$ E(X) =20*1* 0,0055 = 0,11$
für nachnamen
$ E(X) =20*1*0.002380 = 0,0476$
aber wie mach ich jetzt weiter?
>
> Was die 150 Studierenden machen, ist unabhängig
> voneinander, und deshalb gilt
> [mm]\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=\sum_{i=1}^{150} \operatorname{Var}(X_i)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2[/mm].
>
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> > Das ist wieder etwas grundlegend anderes. Du kannst es zum
> > Beispiel von jedem einzelnen Studierenden aus betrachten,
> > und die Varianz für einen Studierenden berechnen, der den
> > Vornamen zieht, und für einen, der den Nachnamen zieht,
> > nennen wir diese [mm]\sigma_1^2[/mm] und [mm]\sigma_2^2[/mm]. Dafür musst Du
> > aber dann den Erwartungswert des Anzahl Nachhilfestunden
> > von jedem einzelen Studierenden verwenden, nicht die
> > [mm]10.31\,\mathrm{h}[/mm]
>
>
> Ja das wäre dann doch [mm]E(X) =n*x*p=10.31\ [/mm],
>
> mit [mm]x_1 = 20 , n_1 = 1 , p_1= 0,0055 [/mm]für den Vornamen
>
> mit [mm]x_2 =20 ,n_2 = 1 , p_2=0.002380 .[/mm] für den Nachnamen
>
> [mm]E(X) =n*x*p=10.31\ [/mm], für einen Studenten den vornamen
>
> [mm]E(X) =20*1* 0,0055 = 0,11[/mm]
>
> für nachnamen
>
> [mm]E(X) =20*1*0.002380 = 0,0476[/mm]
>
>
> aber wie mach ich jetzt weiter?
Hmmm ... also wenn Du nicht weisst, wie man die Varianz einer diskreten Zufallsvariablen berechnet, musst Du Dich sicher erst einlesen. Z.B. ![[]](/images/popup.gif) https://de.wikipedia.org/wiki/Varianz_%28Stochastik%29#Berechnung_bei_diskreten_Zufallsvariablen
Versuch das mal anzuwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
Hallo...:O
ich hab mir das mir der Varianz mal angeguckt
und werde es mit dem Verschiebungssatz machen
$Var(X)= [mm] E(X^2)-(E(X))^2$
[/mm]
für den vornamen
[mm] $\sigma_1^2= [/mm] Var(X) = [mm] (1^2*20*0,0055)-(1^2*20*0,0055)^2= [/mm] 0,1131$
für den Nachnamen ist
[mm] $\sigma_2^2=Var(X) [/mm] = [mm] (1^2*20*0,002380-(1^2*20*0,002380)^2= [/mm] 0,04533424$
jetzt deiner Suggestion nach
$ [mm] \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=\sum_{i=1}^{150} \operatorname{Var}(X_i)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2 [/mm] $.
[mm] $50\sigma_1^2+100\sigma_2^2 [/mm] = 50*0,04533424+100*0,04533424 = 6,913424$.
Die Varianz liegt bei $6,91$
und die Standart abweichung [mm] $\sqrt{6,91} [/mm] = 2,629$
ist das denn jetzt so korrekt...diese Aufgabe wird mein Tod sein ...:(
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> Hallo...:O
>
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> ich hab mir das mir der Varianz mal angeguckt
>
> und werde es mit dem Verschiebungssatz machen
>
> [mm]Var(X)= E(X^2)-(E(X))^2[/mm]
>
>
> für den vornamen
>
> [mm]\sigma_1^2= Var(X) = (1^2*20*0,0055)-(1^2*20*0,0055)^2= 0,1131[/mm]
Das stimmt leider nicht. In diesem Fall gibt es 20 Nachhilfestunden mit einer W'keit von 0.00555 und keine Nachhilfstunden mit einer W'keit von 1-0.00555.
$E(X) = 20*0.00555 = 0.111$
Damit ist
[mm] $\sigma_1^2 [/mm] = [mm] (20-0.111)^2*0.00555 [/mm] + [mm] (0-0.111)^2*(1-0.00555) [/mm] = 2.207679$
Das ist die bekannte Formel [mm] $\operatorname{Var}(X) [/mm] = [mm] \sum_{x \in A} [/mm] (x - [mm] \mu)^2 [/mm] P(X = x)$
Ich glaube nicht, dass diese Aufgabe grad Dein Tod sein wird, aber Dir fehlen ziemlich viele Grundlagen, die Du brauchen würdest, um sie selber lösen zu können.
Gruss,
Hanspeter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
Ich glaube ich hab das mit der Varianz gerafft!!!
> > Hallo...:O
> >
> >
> > ich hab mir das mir der Varianz mal angeguckt
> >
> > und werde es mit dem Verschiebungssatz machen
> >
> > [mm]Var(X)= E(X^2)-(E(X))^2[/mm]
> >
> >
> > für den vornamen
> >
> > [mm]\sigma_1^2= Var(X) = (1^2*20*0,0055)-(1^2*20*0,0055)^2= 0,1131[/mm]
>
> Das stimmt leider nicht. In diesem Fall gibt es 20
> Nachhilfestunden mit einer W'keit von 0.00555 und keine
> Nachhilfstunden mit einer W'keit von 1-0.00555.
>
> [mm]E(X) = 20*0.00555 = 0.111[/mm]
>
> Damit ist
>
> [mm]\sigma_1 = (20-0.111)^2*0.00555 + (0-0.111)^2*(1-0.00555) = 2.207679[/mm]
>
Das hat du ja gemacht ,weil ja die Varianz besteht aus Wahrscheinlichkeit ,dass Philipp Studen geben muss und die Wahrscheinlichkeit,dass philipp keine Stunden geben muss,an einen Studenten
dann ist ja für den Vornamen
> [mm]E(X) = 20*0,002380 = 0,04761[/mm]
[mm]\sigma_2 = (20-0,04761)^2*0.002380+ (0-0,04761)^2*(1-0,002380) = 0,9497342401[/mm]
> Das ist die bekannte Formel [mm]\operatorname{Var}(X) = \sum_{x \in A} (x - \mu)^2 P(X = x)[/mm]
>
> Ich glaube nicht, dass diese Aufgabe grad Dein Tod sein
> wird, aber Dir fehlen ziemlich viele Grundlagen, die Du
> brauchen würdest, um sie selber lösen zu können.
ja...:/
>
> Gruss,
> Hanspeter
>
>
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Genau so!
Und jetzt noch einsetzen in $ [mm] \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=\sum_{i=1}^{150} \operatorname{Var}(X_i)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2 [/mm] $, und dann bist Du fertig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:45 Sa 03.01.2015 | | Autor: | LGS |
für den Vornamen
$ E(X) = [mm] 20\cdot{}0,002380 [/mm] = 0,04761 $
$ [mm] \sigma_1 [/mm] = [mm] (20-0,04761)^2\cdot{}0.002380+ (0-0,04761)^2\cdot{}(1-0,002380) [/mm] = 0,9497342401 $
für den Nachnamen
$ E(X) = [mm] 20\cdot{}0.00555 [/mm] = 0.111 $
$ [mm] \sigma_2 [/mm] = [mm] (20-0.111)^2\cdot{}0.00555 [/mm] + [mm] (0-0.111)^2\cdot{}(1-0.00555) [/mm] = 2.207679 $
einsetztn in $ [mm] \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=\sum_{i=1}^{150} \operatorname{Var}(X_i)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2 [/mm] $,
$ [mm] \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2=50* (0,9497342401)^2+100*(2.207679)^2 [/mm] = 532,4844130$ kann das so stimmen ?
wenn die Varainz stimmt ist die Standartabweichung [mm] $\sqrt{532,4844130} [/mm] = 23,0756$
die Varianz ist erschreckend groß ... :0
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> für den Vornamen
>
>
Du berechnest schon Varianzen:
> [mm]E(X) = 20\cdot{}0,002380 = 0,04761[/mm]
>
> [mm]\sigma_1 = (20-0,04761)^2\cdot{}0.002380+ (0-0,04761)^2\cdot{}(1-0,002380) = 0,9497342401[/mm]
[mm]\sigma_1^2 = (20-0,04761)^2\cdot{}0.002380+ (0-0,04761)^2\cdot{}(1-0,002380) = 0,9497342401[/mm]
>
> für den Nachnamen
>
> [mm]E(X) = 20\cdot{}0.00555 = 0.111[/mm]
>
> [mm]\sigma_2 = (20-0.111)^2\cdot{}0.00555 + (0-0.111)^2\cdot{}(1-0.00555) = 2.207679[/mm]
[mm]\sigma_2 = (20-0.111)^2\cdot{}0.00555 + (0-0.111)^2\cdot{}(1-0.00555) = 2.207679[/mm]
> einsetztn in [mm]\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=\sum_{i=1}^{150} \operatorname{Var}(X_i)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2 [/mm],
> [mm]\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2=50* (0,9497342401)^2+100*(2.207679)^2 = 532,4844130[/mm]
[mm]\operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2=50* (0,9497342401)+100*(2.207679) = 268.254612005[/mm]
> kann das so stimmen ?
und: ja, das kann stimmen.
> dann ist die Standartabweichung
> [mm]\sqrt{268.254612005} = 16.3784801494[/mm]
>
> die Varianz ist erschreckend groß ... :0
Tja, das kommt halt wenn man so viele Zufallsvariabeln addiert ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:28 So 04.01.2015 | | Autor: | LGS |
Hall ich wollte zsm.fassend nochmal alles ordentlich auf schreiben,wenn das ok ist ?
$ a) $ Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass ein Papierkorb sämtliche Buchstaben von Phillips Vornamen und der andere sämtliche Buchstaben von Herrn Bergers Nachnamen enthält?
Antwort:
Da es zwei papierkörbe gibt muss man die Fälle betrachten, dass $ 1.$ Vorname $1,$ter korb Nachname $2,$ter Korb und 2. Vorname $2,$ter Korb Nachname $1,$ter
Nun hat der Name Philipp Berger $13$ Buchstaben , und unser Grundraum ist [mm] $\Omega:=\{ 0,1\}$ [/mm] mit $0= 1,$ter Korb $,1=2.$ter Korb
$A:= [mm] \{$Buchstabe des Vornamens fällt in einen Korb$\}$
[/mm]
$B:= [mm] \{$ Buchstabe des Nachnamens fällt in den anderen$\}$
[/mm]
1. $P(A)= [mm] \frac{|A|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, [/mm] $da der Voranme 7 Buchstaben hat ist es$ [mm] \frac{1^7}{2^7}$
[/mm]
2.$ P(B)= [mm] \frac{|B|}{|\Omega|} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}, [/mm] $da der Nachname 6 Buchstaben hat ist es$ [mm] \frac{1^6}{2^6}$
[/mm]
Nun die W'keiten zusammengefasst $P(A)*P(B) = [mm] \frac{1^7}{2^7}*\frac{1^6}{2^6}= (\frac{1}{2})^7*(\frac{1}{2})^6 [/mm] = [mm] (\frac{1}{2})^{7+6} [/mm] = [mm] (\frac{1}{2})^{13}.$
[/mm]
Da es ja zwei Fälle gibt ist es $ p = [mm] 2*(\frac{1}{2})^{13}=(\frac{1}{2})^{12}.$
[/mm]
b) Dazu betrachte man den Vornamen und Nachnamen getrennt
Vorname : Philipp
$ P(P)= 3/7 , P(H) = 1/6 , P(I) = 2/5 , P(L)= 1/4 ,P(I) = 1/3 ,P(P)= 2/2, P(P)=1/1$
$P(Philipp) [mm] =\frac37\frac16\frac25\frac14\frac13\frac22\frac11 \approx [/mm] 0.002380$
Nachname : Berger
$P(B)= 1/6 , P(E) = 2/5 , P(R) = 2/4 , P(G)= 1/3 ,P(I) = 1/2 ,P(R)= 1/1, $
$P(Berger ) = [mm] \frac16\frac25\frac24\frac13\frac12\frac11 [/mm] \ approx 0.00555$
Ant: Die Chancen sind höher beim Korb wo der Nachname Berger drin ist ,denn da liegt die W'keit bei $0,5 [mm] \% [/mm] $und beim Vornamen $0,23 [mm] \%$
[/mm]
c)
Nun liegen die Wahrscheinlichkeiten beim Vornarmen
$P(Philipp) = 0.002380$ und beim Nachnamen$ P(Berger ) = 0.00555$
dannn ist ja [mm] $p_1 [/mm] = P(Philipp) $die W'keit,dass er für den Vornamen Nachhilfe geben muss ,$ [mm] 1-p_1 [/mm] = 0,99762 $,dass er für den Vornamen kein Nachhilfe geben muss .
[mm] $p_2=P(Berger [/mm] )$die W'keit,dass er für den Nachnamen Nachhilfe geben muss, $ [mm] 1-p_2 [/mm] = 0,99445 $,dass er für den Nachnamen kein Nachhilfe geben muss .
Da nun 50 den Vornamen ziehen und 100 den Nachnamen ist
dann ist die W'keit ,dass er gar keine Nachhilfe geben muss $p= [mm] (1-p_1)^{50}* (1-p_2)^{100}=(0,99762)^{50}* (0,99445)^{100}=0,508806403073764 \approx [/mm] 50,88 [mm] \% [/mm] $
c)
ii) der Erwartungswert setzt sich in diesem Fall aus [mm] p_1=0.002380 [/mm] , [mm] p_2=0.00555 [/mm] ,sind die W'keit für Vorname und Nachnamen und $ [mm] x_1=x_2=20\,\mathrm{h} [/mm] $ die zu erwartenden Stunden.
und da sind $ [mm] n_1=50 [/mm] $ und $ [mm] n_2=100 [/mm] $ Studierende, die Korb 1 bzw. Korb 2 auswählen
die Formel des Er.werts ist in diesem Fall
$ E(X) [mm] =n_1x_1p_1+n_2x_2p_2= [/mm] 50*20*0.002380+100*20*0.00555 = 13,48 $
Ant: die Anzahl der erwarteten Nachhilfe stunden liegt bei 13,48h
$iii) $die Formel für Varianz direkter Zufallsvariablen ist $ [mm] \operatorname{Var}(X) [/mm] = [mm] \sum_{x \in A} [/mm] (x - [mm] \mu)^2 [/mm] P(X = x) $
Nun werde ich zuerst den einzelnen Studierenden betrachten
Vorname:
zuerst sein Erwartungswert $ E(X) [mm] =n_1x_1p_1= [/mm] 1*20*0.002380 = 0,0476 [mm] =\mu [/mm] $
nun
$ [mm] \sigma_1 [/mm] = [mm] (20-0,04761)^2\cdot{}0.002380+ (0-0,04761)^2\cdot{}(1-0,002380) [/mm] = 0,9497342401 $ $x = 20$ oder $x =0 $da es ja sein kann das Philipp nachhilfe stunden geben darf oder keine
Nun für den Nachnamen
Erwartungswert $ E(X) [mm] =n_2x_2p_2= [/mm] 1*20*0.00555 = 0.111 [mm] =\mu [/mm] $
nun
[mm] $\sigma_2 [/mm] = [mm] (20-0.111)^2\cdot{}0.00555 [/mm] + [mm] (0-0.111)^2\cdot{}(1-0.00555) [/mm] = 2.207679 $ auch wieder x = 20 oder x =0 da es ja sein kann das Philipp nachhilfe stunden geben darf oder keine .
Nun setzt sich die Gesamt Varianz für $50$ Stundenten voranme und $100 $Nachname zusammen aus
$ [mm] \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)=\sum_{i=1}^{150} \operatorname{Var}(X_i)=50\sigma_1^2+100\sigma_2^2 [/mm] = [mm] 50\cdot{} (0,9497342401)^2+100\cdot{}(2.207679)^2 [/mm] = 532,4844130 $
die Standart abweichung ist nun [mm] $\sqrt{ \operatorname{Var}\left(\sum_{i=1}^{150} X_i\right)}= \sqrt{532,4844130}=23,0756 [/mm] $
kann man das so machen?
liebe grüße
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Ja, das sieht gut aus. Bei c ii) und c iii) bedeutet das Symbol $X$ nicht dasselbe, da könntest Du noch etwas präziser werden, aber alles in allem sieht es gut aus.
Gratuliere!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 Fr 02.01.2015 | | Autor: | LGS |
ist da nicht ein Fehler beim Erwartungswert, denn
die Wahrscheinlichkeit für den Vornamen ist [mm] P_1= [/mm] 0,002380, [mm] p_2= [/mm] 0,00555
[mm] $P(philipp)=\frac37\frac16\frac25\frac14\frac13\frac22\frac11=0.002380\ldots [/mm] $
[mm] $P(Berger)=\frac16\frac25\frac24\frac13\frac12\frac11=0.00555\ldots [/mm] $
dann ist $E(X) 50*20*0,002380+100*20*0,00555 = 11,1 ?$
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> ist da nicht ein Fehler beim Erwartungswert, denn
>
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> die Wahrscheinlichkeit für den Vornamen ist [mm]P_1=[/mm] 0,002380,
> [mm]p_2=[/mm] 0,00555
>
>
> [mm]P(philipp)=\frac37\frac16\frac25\frac14\frac13\frac22\frac11=0.002380\ldots[/mm]
>
> [mm]P(Berger)=\frac16\frac25\frac24\frac13\frac12\frac11=0.00555\ldots[/mm]
>
> dann ist [mm]E(X) 50*20*0,002380+100*20*0,00555 = 11,1 ?[/mm]
Du hast recht; ich bin dem Nachgegangen, Du hattest im Post am Mi 31.12.14 um 14:19 die zwei Fälle verwechselt und ich habe es nicht gemerkt.
Allerdings gibt 50*20*0,002380+100*20*0,00555 nicht 11,1, sondern 13.48 ;)
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