Verteilung von X berechnen < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Einen Meter vor einer Wand steht ein Schütze, der auf das Ziel genau gegenüber von ihm an der Wand zielt, dieses aber häufig verfehlt. Mit einem Winkel [mm] \alpha [/mm] , gleichmässig verteilt auf [mm] [\bruch{-\pi}{2},\bruch{\pi}{2}] [/mm] , feuert dieser auf das Ziel. Sei X definiert als den Abstand zwischen dem Ziel und dem Punkt, an welcher die Kugel in die Wand einschlägt. Berechnen Sie die Verteilung von X.
Dieses Bild hier zur Erklärung:
http://mitglied.multimania.de/guelper/schuetze.jpg |
Leider sind meine bisherigen Versuche sehr mager.
Ich interpretiere X(t)=Wahrscheinlichkeit, dass der Abstand zum Ziel kleiner gleich t ist (?). Nun betrachte ich nur das obere Dreieck (Winkel von 0 bis [mm] \bruch{pi}{2}), [/mm] nehme dann dafür den Betrag von x.
Jetzt ist [mm] x=tan(\alpha). [/mm]
Wenn ich eine gleichmässige Verteilung haben möchte auf dem Intervall [a,b] nehme ich [mm] f(x)=\bruch{1}{b-a} [/mm] als Dichtefunktion für die Verteilung (Wikipedia).
Dann ist [mm] \alpha=arctan(x). [/mm] Da ich nun nach [mm] \alpha [/mm] integriere ist mir
[mm] X(t)=\integral_{0}^{b}{f(x) dx} [/mm] ein Kandidat, was ich aber leider so nicht integrieren kann für bspweise [mm] b=\bruch{\pi}{2}.
[/mm]
Kann mir da vlt. mal jemand weiterhelfen bitte? Ist da überhaupt etwas richtig, was ich geschrieben habe (sry... falls nicht)?
Habt ihr vlt. Tipps, wie das ungefähre Vorgehen ist, diese Aufgabe zu lösen?
Schöne Ostern
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Sry:
$ [mm] X(t)=\integral_{0}^{t}{\bruch{1}{arctan(x)} dx} [/mm] $ ist mir ein Kandidat und für [mm] t=\bruch{\pi}{2} [/mm] ist mir das nicht integrierbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:45 Do 05.04.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
die Idee nur [mm] $[0,\frac \pi [/mm] 2]$ zu betrachten ist gut.
Sei [mm] $\alpha$ [/mm] gleichverteilt auf [mm] $[0,\frac \pi [/mm] 2]$, dann gilt für seine Verteilungsfunktion:
[mm] $P(\alpha \leq [/mm] a) = [mm] \frac 2\pi\, [/mm] a\ [mm] \mathbf{1}_{[0,\frac \pi 2]}(a)$
[/mm]
Also gilt für X:
[mm] $P(X\leq [/mm] x) = [mm] P(\tan(\alpha)\leq [/mm] x) = [mm] P(\alpha\leq \arctan [/mm] x) =$
[mm] $=\frac 2\pi\, \arctan(x)\ \mathbf{1}_{[0,\frac \pi 2]}(\arctan [/mm] x)=$
[mm] $=\frac 2\pi\, \arctan(x)\ \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x)$
[/mm]
ciao
Stefan
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Danke.
Nun bis hierhin ist das Vorgehen zumindest klar:
[mm] =\frac 2\pi\, \arctan(x)\ \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x) [/mm]
Ich gehe jetzt mal davon aus, dass das bereits die Verteilungsfunktion ist, weil du das "x" links ja ranmultipliziert hast und dieses x so in der Dichtefunktion für gleichmässige Verteilung nicht vorkommt (?).
Wenn ich jetzt die linke Seite ableite und entsprechend der Menge für die Indikatorfunktion rechts Integrationsgrenzen setze kriege ich:
$P(X [mm] \le x)=\bruch{2}{\pi}*\integral_{0}^{x}{\bruch{1}{1+x^2}dx}$
[/mm]
Jetzt muss aber eine Verteilungsfunktion zum einen
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \infty$ [/mm] und zum anderen
[mm] $\limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] -\infty$ [/mm] .
Wie soll ich das nun umstellen? Wenn ich das gleiche fürs Intervall [mm] [\bruch{-\pi}{2},\bruch{pi}{2}] [/mm] mache, kriege ich ja auch nicht diese Grenzwerte?
Grüsse
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Also ich meine das a in der ersten Zeile natürlich, nicht das x. Das a links ranmultipliziert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:32 Do 05.04.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Ich gehe jetzt mal davon aus, dass das bereits die Verteilungsfunktion ist,
Ja. Braucht auch keine Kaffeesatzleserei, schau Dir einfach die Gleichungskette an:
$ [mm] P(X\leq [/mm] x) = [mm] \ldots =\frac 2\pi\, \arctan(x)\ \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x) [/mm] $
> weil du das "x" links ja ranmultipliziert hast und dieses x so in der Dichtefunktion für gleichmässige Verteilung nicht vorkommt (?).
Wo hab ich irgendwas and was auch immer ranmultipliziert? Und Dichten kommen in meiner Antwort nicht vor.
??? =)
> Wenn ich jetzt die linke Seite ableite und entsprechend der Menge für die Indikatorfunktion rechts Integrationsgrenzen setze kriege ich:
> $ P(X [mm] \le x)=\bruch{2}{\pi}\cdot{}\integral_{0}^{x}{\bruch{1}{1+x^2}dx} [/mm] $
Du hast hier nirgends die Indikatorfunktion ersetzt. Ich kann da $x=-1$ einsetzen und es kommt nicht 0 raus.
Und wieso schreibst Du's überhaupt als Integral?
> Jetzt muss aber eine Verteilungsfunktion zum einen
> $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] \infty [/mm] $ und zum anderen
> $ [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] P(X [mm] \le [/mm] x) = [mm] -\infty [/mm] $ .
Die Definition einer Verteilungsfunktion solltest Du Dir wirklich nochmal anschauen.
Selbst ohne Definition, wie soll die Wahrscheinlichkeit, daß [mm] $X\leq [/mm] x$ ist gegen [mm] $-\infty$ [/mm] konvergieren?
Wie soll sie überhaupt negativ sein?
ciao
Stefan
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Wo hab ich irgendwas and was auch immer ranmultipliziert?
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Ich habe es aus der Definition von exponentialverteilt aus der Vorlesung:
Dichte [mm] $f(x)=e^{-x}$ [/mm] für $ [mm] x\ge0, [/mm] 0$ sonst ; Dann ist z.B.: $P(a [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] b) = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ wenn [mm] $a\ge [/mm] 0$
Ich weiss, man braucht keinen Kaffeesatz zu lesen, bin ich auch kein Fan von, aber trotzdem würde ich es gerne ähnlich wie in der Vorlesung machen und deine Schritte verstehe ich noch nicht alle:
Wie kommst du darauf:
$ [mm] P(\alpha \leq [/mm] a) = [mm] \frac 2\pi\, [/mm] a\ [mm] \mathbf{1}_{[0,\frac \pi 2]}(a) [/mm] $
Ich verstehe, dass die Dichtefunktion, weil mein Interval [mm] $[0,\bruch{\pi}{2}]$ [/mm] ist:
$f(x) = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] * [mm] 1_{[0,\bruch{\pi}{2}]}$ [/mm] ist.
Aber wie kommst du dann auf
$ [mm] P(\alpha \leq [/mm] a) = [mm] \frac 2\pi\, [/mm] a\ [mm] \mathbf{1}_{[0,\frac \pi 2]}(a) [/mm] $ (Du nimmst das Integral uns setzt einfach hinten noch die Indikatorfunktion ran? Wie würdest du es gleich ab hier schon mit dem Integral lösen?)
die Schritte nachher verstehe ich wieder bis
$ [mm] =\frac 2\pi\, \arctan(x)\ \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x) [/mm] $
Aber wie würdest du dann das Integral bilden am Schluss aus diesem hier?
Grüsse&Entschuldige, dass ichs versehentlich in "Oberstufe" gepostet habe
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Ja bez. Verteilungsfunktionen f(x) stimmt schon, dass
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x)= 1 $ und
[mm] $\limes_{x\rightarrow-\infty} [/mm] f(x)= 0 $
wenn sie auf einem Wahrscheinlichkeitsraum definiert ist.
Entschuldige also.
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Guten Abend
Habe das Ablaufdatum nun nochmals geändert. Also ich bin immer noch dabei:
Die Dichtefunktion ist für die Gleichverteilung also:
$ f(x) = [mm] \bruch{2}{\pi} \cdot{} 1_{[0,\bruch{\pi}{2}]} [/mm] (x) $
Wie aber kommst du nun auf
$ [mm] P(\alpha \leq [/mm] a) = [mm] \frac 2\pi\, [/mm] a\ [mm] \mathbf{1}_{[0,\frac \pi 2]}(a) [/mm] $ ?
Grüsse
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Mi 11.04.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:52 Sa 07.04.2012 | | Autor: | Blech |
Hi,
> $ [mm] P(\alpha \leq [/mm] a) = [mm] \frac 2\pi\, [/mm] a\ [mm] \mathbf{1}_{[0,\frac \pi 2]}(a) [/mm] $
stimmt so auch nicht, da fehlt was am Ende:
$ [mm] P(\alpha \leq [/mm] a) = [mm] \frac 2\pi\, [/mm] a\ [mm] \mathbf{1}_{[0,\frac \pi 2]}(a) [/mm] + [mm] \mathbf{1}_{(\pi/2,\infty)}(a)$
[/mm]
Die Funktion muß natürlich monoton steigen. Sorry. =)
> Ich verstehe, dass die Dichtefunktion, weil mein Interval $ [mm] [0,\bruch{\pi}{2}] [/mm] $ ist:
> $ f(x) = [mm] \bruch{2}{\pi} \cdot{} 1_{[0,\bruch{\pi}{2}]}(x) [/mm] $ ist.
$F(y)= [mm] \int_{-\infty}^y [/mm] f(x)\ dx = [mm] \int_{-\infty}^y \bruch{2}{\pi} \cdot{} 1_{[0,\bruch{\pi}{2}]}(x)\ [/mm] dx =$
[mm] $=\bruch{2}{\pi}\int_{\max\{0;\, -\infty\}}^{\min\{\pi/2;\, y\}} [/mm] 1\ dx = [mm] \bruch{2}{\pi} [/mm] x\ [mm] \mathbf{1}_{[0,\pi/2]}(x) [/mm] + [mm] \mathbf{1}_{(\pi/2,\infty)}(x)$
[/mm]
Zeichne Dir f(x) auf, überleg Dir, wie die zu integrierende Fläche jeweils aussehen muß für, z.B.
x=-1
x=0
x=1
[mm] x=\pi
[/mm]
Grundsätzlich: Ist die Dichte auf ein Intervall eingeschränkt, so muß die Verteilungsfunktion links von dem Intervall 0 sein (weil noch nix zum Integrieren da war) und rechts davon 1 (weil nix mehr dazu kommen kann).
> Aber wie würdest du dann das Integral bilden am Schluss aus diesem hier?
Die Dichte ist
[mm] $\frac 2\pi \frac 1{1+x^2}\ \mathbf{1}_{[0,\infty)}(x)$
[/mm]
ciao
Stefan
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