Verteilungsfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Fr 28.11.2014 | | Autor: | LGS |
| Aufgabe | Für$ x [mm] \in \IR$ [/mm] sei $ F(x)= exp(-exp(-x))$
$ a)$ Zeigen sie,dass Feine Verteilungsfunktion ist,indem sie nachweisen,dass F die Eigenschaften einer Verteilungsfunktion bestitzt.
$ b)$ Zeigen sie,dass die Verteilung,die druch F definiert wird,eine Dichte besitzt,un bestimmen sie diese Dichte
$ c) $ Sei $ X$ eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion $ [mm] F_X [/mm] = F. $ Sei außerdem$ Y=exp(X)$ . Geben sie die Verteilungsfunktion von$ Y$ sowie- falls existent-deren Dichte an |
$ a)$
Eigenschaften
$ F $ ist monoton steigend
$ F$ ist rechtseitig stetig
$ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0$ [/mm] und $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1 [/mm] $
1.$ F $ ist monoton steigend
$ o.B.d.A $
$ F(x) [mm] \leq [/mm] F(y) [mm] \Rightarrow [/mm] exp(-exp(-x)) [mm] \leq [/mm] exp(-exp(-y))$ . Aufbeiden seiten der $ ln $
$ [mm] \Rightarrow [/mm] -exp(-x) [mm] \leq [/mm] -exp(-y)$ jetzt mal $ -1$ $ [mm] \Rightarrow [/mm] exp(-x) > exp(-y) $ jetzt wieder der $ ln $ . $ -x > -y $ wieder mal$ -1 $ $ [mm] \Rightarrow [/mm] x<y $ . Daraufs folgt$ F$ ist monoton steigend.
$ F$ ist rechtseitig stetig
[mm] exp(x)[/mm] ist stetig auf ganz[mm] \mathbb C [/mm] ,[mm] -exp(x)[/mm] ist ebenfalss stetig auf ganz [mm] \mathbb C \Rightarrow [/mm] die Verknüpfung zweier stetigerfunktionen ergibt eine stetig Funktion [mm] \Rightarrow F(x)= exp(-exp(-x))[/mm] ist stetig auf ganz[mm] \mathbb C[/mm] ,damit auch auf ganz [mm] \IR[/mm] . Daraus folgt sie ist auch rechseitig stetig .
$ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0$ [/mm] und $ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1 [/mm] $
1.$ [mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0$ [/mm]
-b= [mm] -\infty
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow -b}F(x)=exp(-exp(-(-b))) [/mm] = exp(-exp(b)) = 0 $
2.$ [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1
[/mm]
b= [mm] \infty
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow b}F(x)=exp(-exp(-b)) [/mm] = 1 $
Daraus folgt $ F $ ist eine Verteilugnsfunktion
$b)$ Da hab ich $ F(x)= exp(-exp(-x))$ , $ [mm] F^{(1)}(x)= [/mm] exp(-x)*exp(-exp(-x))$
jetzt weiss ich nicht was ich machen soll und bei der c) auch keine Ahnung...:/
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:55 Sa 29.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo LGS!
> Für[mm] x \in \IR[/mm] sei [mm]F(x)= exp(-exp(-x))[/mm]
>
> [mm]a)[/mm] Zeigen sie,dass Feine Verteilungsfunktion ist,indem sie
> nachweisen,dass F die Eigenschaften einer
> Verteilungsfunktion bestitzt.
>
> [mm]b)[/mm] Zeigen sie,dass die Verteilung,die druch F definiert
> wird,eine Dichte besitzt,un bestimmen sie diese Dichte
>
> [mm]c)[/mm] Sei [mm]X[/mm] eine Zufallsvariable mit Verteilungsfunktion [mm]F_X = F.[/mm]
> Sei außerdem[mm] Y=exp(X)[/mm] . Geben sie die Verteilungsfunktion
> von[mm] Y[/mm] sowie- falls existent-deren Dichte an
> [mm]a)[/mm]
>
> Eigenschaften
>
> [mm]F[/mm] ist monoton steigend
> [mm]F[/mm] ist rechtseitig stetig
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1[/mm]
>
>
> 1.[mm] F[/mm] ist monoton steigend
>
> [mm]o.B.d.A[/mm]
>
> [mm]F(x) \leq F(y) \Rightarrow exp(-exp(-x)) \leq exp(-exp(-y))[/mm]
> . Aufbeiden seiten der [mm]ln[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -exp(-x) \leq -exp(-y)[/mm] jetzt mal [mm]-1[/mm]
> [mm]\Rightarrow exp(-x) > exp(-y)[/mm]
Nein. Richtig:
[mm] \exp(-x)\ge\exp(-y).
[/mm]
> jetzt wieder der [mm]ln[/mm] . [mm]-x > -y[/mm]
Siehe oben.
> wieder mal[mm] -1[/mm] [mm]\Rightarrow x
Siehe oben.
> Daraufs folgt[mm] F[/mm] ist monoton steigend.
Du brauchst hier aber die Rückrichtung, weil eine Abbildung
[mm] $f\colon A\to [/mm] B$
monoton steigend ist, falls für alle [mm] $a,b\in [/mm] A$ gilt:
[mm] $a\le b\quad\Rightarrow\quad f(a)\le [/mm] f(b)$.
Zum Glück ist das hier nicht tragisch, aber es ist sehr wichtig!
Alternativer Ansatz: [mm] F'(x)=\exp(-x-\exp(-x))>0 [/mm] für alle [mm] x\in\IR.
[/mm]
> [mm]F[/mm] ist rechtseitig stetig
>
> [mm]exp(x)[/mm] ist stetig auf ganz[mm] \mathbb C[/mm] ,[mm] -exp(x)[/mm] ist
> ebenfalss stetig auf ganz [mm]\mathbb C \Rightarrow[/mm] die
> Verknüpfung zweier stetigerfunktionen ergibt eine stetig
> Funktion [mm]\Rightarrow F(x)= exp(-exp(-x))[/mm] ist stetig auf
> ganz[mm] \mathbb C[/mm] ,damit auch auf ganz [mm]\IR[/mm] . Daraus folgt
> sie ist auch rechseitig stetig .
Ja, aber das geht doch kürzer: [mm] $F\$ [/mm] ist als Komposition stetiger
Funktionen stetig und damit auch rechtsstetig.
> [mm]\limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1[/mm]
>
>
> 1.[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty}F(x)=0[/mm]
>
> -b= [mm]-\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -b}F(x)=exp(-exp(-(-b))) = exp(-exp(b)) = 0[/mm]
>
>
> 2.$ [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}F(x)=1[/mm]
>
> b= [mm]\infty[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow b}F(x)=exp(-exp(-b)) = 1[/mm]
>
> Daraus folgt [mm]F[/mm] ist eine Verteilugnsfunktion
Ich kann mir nicht vorstellen, dass diese Notation zulässig ist.
Probiere das erneut sauber aufzuschreiben und nutze die Stetig-
keit aus. Das ist dann nicht nur sauber, sondern auch korrekt!
> [mm]b)[/mm] Da hab ich [mm]F(x)= exp(-exp(-x))[/mm] , [mm]F^{(1)}(x)= exp(-x)*exp(-exp(-x))[/mm]
Das kannst du noch zusammenfassen, siehe oben.
> jetzt weiss ich nicht was ich machen soll
Eindeutigkeit?
> und bei der c) auch keine Ahnung...:/
Was ist denn die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable?
Gruß
DieAcht
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 Sa 29.11.2014 | | Autor: | LGS |
Ich hab keine ahnung wie ich die stetig beim limes benutzen soll und bei der B) wie ich die eindetuigkeit zeigen soll
pardon...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 Sa 29.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
Du scheinst dich kaum mit meinem Tipp beschäftigt zu haben!
> Ich hab keine ahnung wie ich die stetig beim limes benutzen soll
In Analysis I werden mindestens zwei Definitionen bezüglich
Stetigkeit reeller Funktionen gegeben. Welche sind das?
Vielleicht ein triviales Beispiel: Berechne
[mm] \lim_{x\to e}\ln(x).
[/mm]
> und bei der B) wie ich die eindetuigkeit zeigen soll
Wie ist denn eine Dichtefunktion definiert? Ist sie eindeutig
bestimmt? Was gilt im Umkehrschluss?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Sa 29.11.2014 | | Autor: | LGS |
$ [mm] \lim_{x\to e}\ln(x). [/mm] = ln(e)$
also die defnintion:
Die Funktion [mm] $f\colon D\to \IR [/mm] $ist stetig in [mm] $\xi \in [/mm] D, $wenn für jede Folge [mm] $(x_k)_{k\in\N} [/mm] $mit Elementen $ [mm] x_k \in [/mm] D $, die gegen $ [mm] \xi [/mm] konvergiert, die Folge $ [mm] \bigl(f(x_k)\bigr)_{k\in\N} [/mm] $gegen $ [mm] f(\xi) [/mm] $konvergiert.
Kurz: Aus [mm] $\lim\limits_{k\to\infty} x_k [/mm] = [mm] \xi [/mm] $ folgt stets $ [mm] \lim\limits_{k\to\infty} f(x_k) [/mm] = [mm] f(\xi). [/mm] $
also bei mir
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty} [/mm] exp(-exp(-x)) = 0 und [mm] \limes_{x\rightarrow \infty} [/mm] exp(-exp(-x)) = 1
richtig?
zur b) die dichtefunktion ergibt integriert die Verteilungsfunktion. Wenn die VF. über all stetig ist so existiert eine Dichtefunktion,die die Abbildung der VF ist.
Zitat : "Das gilt auch dann noch, wenn es abzählbar viele Stellen x gibt, an denen F stetig, aber nicht differenzierbar ist; welche Werte man an diesen Stellen für f(x) verwendet, ist unerheblich.
Allgemein existiert eine Dichtefunktion genau dann, wenn die Verteilungsfunktion F absolut stetig ist. Diese Bedingung impliziert unter anderem, dass F stetig ist und fast überall eine Ableitung besitzt, die mit der Dichte übereinstimmt.
Es ist jedoch zu beachten, dass es Verteilungen wie die Cantor-Verteilung gibt, die eine stetige, fast überall differenzierbare Verteilungsfunktion besitzen, aber dennoch keine Wahrscheinlichkeitsdichte. Fast überall differenzierbar sind Verteilungsfunktionen immer, aber die entsprechende Ableitung erfasst generell nur den absolutstetigen Anteil der Verteilung."
Quelle : http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#Eigenschaften
somit ist die dichtefunktion eindeutig
und die dichte bekommt man in dem man
[mm] $\integral_{a}^{b}{ exp(-exp(-x)) dx}$ [/mm] bestimmt oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Sa 29.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> also die defnintion:
>
>
> Die Funktion [mm]$f\colon D\to \IR[/mm] $ist stetig in [mm]$\xi \in[/mm]
> D, $wenn für jede Folge [mm]$(x_k)_{k\in\N}[/mm] $mit Elementen
> $ [mm]x_k \in[/mm] D $, die gegen $ [mm]\xi[/mm] konvergiert, die Folge $
> [mm]\bigl(f(x_k)\bigr)_{k\in\N}[/mm] $gegen $ [mm]f(\xi)[/mm]
> $konvergiert.
>
> Kurz: Aus [mm]\lim\limits_{k\to\infty} x_k = \xi[/mm] folgt stets
> [mm]\lim\limits_{k\to\infty} f(x_k) = f(\xi).[/mm]
Ja, aber benutze geschweifte Klammern:
(x_{k})_{k\in\IN} wird zu [mm] (x_{k})_{k\in\IN}.
[/mm]
> [mm]\lim_{x\to e}\ln(x). = ln(e)[/mm]
Wo hast du nun die Stetigkeit des Logarithmus benutzt? Was ist [mm] \ln(e)?
[/mm]
> also bei mir
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}[/mm] exp(-exp(-x)) = 0 und
> [mm]\limes_{x\rightarrow \infty}[/mm] exp(-exp(-x)) = 1
>
> richtig?
Ja, aber die Begründung fehlt weiterhin. Wir wissen, dass
[mm] \lim_{x\to\infty}\exp(x)=\infty\quad\Rightarrow\quad\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\exp(x)}=\lim_{x\to\infty}\exp(-x)=0.
[/mm]
Mit der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgt
[mm] \limes_{x\rightarrow \infty}\exp(-\exp(-x))=\exp(-\limes_{x\rightarrow \infty}\exp(-x))=\exp(-0)=1.
[/mm]
Jetzt bist du mit dem zweiten Teil dran. Zeige
[mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-\exp(-x))=0.
[/mm]
> zur b) die dichtefunktion ergibt integriert die
> Verteilungsfunktion. Wenn die VF. über all stetig ist so
> existiert eine Dichtefunktion,die die Abbildung der VF
> ist.
>
> Zitat : "Das gilt auch dann noch, wenn es abzählbar viele
> Stellen x gibt, an denen F stetig, aber nicht
> differenzierbar ist; welche Werte man an diesen Stellen
> für f(x) verwendet, ist unerheblich.
>
> Allgemein existiert eine Dichtefunktion genau dann, wenn
> die Verteilungsfunktion F absolut stetig ist. Diese
> Bedingung impliziert unter anderem, dass F stetig ist und
> fast überall eine Ableitung besitzt, die mit der Dichte
> übereinstimmt.
>
> Es ist jedoch zu beachten, dass es Verteilungen wie die
> Cantor-Verteilung gibt, die eine stetige, fast überall
> differenzierbare Verteilungsfunktion besitzen, aber dennoch
> keine Wahrscheinlichkeitsdichte. Fast überall
> differenzierbar sind Verteilungsfunktionen immer, aber die
> entsprechende Ableitung erfasst generell nur den
> absolutstetigen Anteil der Verteilung."
>
> Quelle :
> http://de.wikipedia.org/wiki/Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion#Eigenschaften
>
>
> somit ist die dichtefunktion eindeutig
>
> und die dichte bekommt man in dem man
>
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{ exp(-exp(-x)) dx}[/mm] bestimmt oder?
Nein. Wie kommst du denn darauf?
[mm] $F\$ [/mm] ist als Komposition differenzierbarer Funktionen differen-
zierbar. Damit ist
[mm] $f(x):=\exp(-x-\exp(-x))=F'(x)$
[/mm]
eine Dichtefunktion der Verteilungsfunktion [mm] $F\$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:23 So 30.11.2014 | | Autor: | LGS |
zum limes
$ [mm] \lim_{x\to-\infty}\exp(x)=-\infty\quad\Rightarrow\quad\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\exp(x)}=\lim_{x\to-\infty}\exp(-x)=0. [/mm] $
kann man das so machen oder gibt es da Problem mit dem vorzeichen bei [mm] $\lim_{x\to-\infty}\exp(-x)?$
[/mm]
$ [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-\exp(-x)) [/mm] $mit der stetigkeit der e funktion [mm] $\Rightarrow \exp(-\limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-x))=\exp(-0)=0. [/mm] $
richtig so?
zur b)
ich soll ja jetzt noch die Dichte bestimmen , mhh kann ich das so machen?
$ [mm] f(x):=\exp(-x-\exp(-x))=F'(x) [/mm] $
kann man die dichte bestimmen ,indem [mm] man$\limes_{a\rightarrow\infty}F(a)- \limes_{b\rightarrow-\infty}F(b)$ [/mm] bestimmt,
da die efunktion ja auch auf ganz $ [mm] \IR [/mm] $ stetig ist ,sind die Integralgrenzen von$ [mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(-x-\exp(-x)) dx}= [/mm] F(x)$ ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 So 30.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> zum limes
>
>
> [mm]\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=-\infty\quad\Rightarrow\quad\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\exp(x)}=\lim_{x\to-\infty}\exp(-x)=0.[/mm]
Falsch. Richtig:
[mm] \lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0.
[/mm]
Jetzt bist du wieder dran mit
[mm] \lim_{x\to-\infty}\exp(-x).
[/mm]
> kann man das so machen oder gibt es da Problem mit dem
> vorzeichen bei [mm]\lim_{x\to-\infty}\exp(-x)?[/mm]
Ich verstehe deine Frage nicht.
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-\exp(-x)) [/mm]mit der
> stetigkeit der e funktion [mm]\Rightarrow \exp(-\limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-x))=\exp(-0)=0.[/mm]
>
> richtig so?
Ist das dein Ernst? Es ist in Ordnung, wenn du Folgefehler
machst, aber am Ende einfach Null hinzuschreiben, weil es
zu zeigen ist macht es nicht richtig. Es ist [mm] \exp(0)=1 [/mm] und
damit stimmt die letzte Gleichung ohnehin nicht.
> zur b)
>
> ich soll ja jetzt noch die Dichte bestimmen , mhh kann ich
> das so machen?
>
> [mm]f(x):=\exp(-x-\exp(-x))=F'(x)[/mm]
Ja, denn Verteilungsfunktion [mm] $F\$ [/mm] ist als Komposition differen-
zierbarer Funktionen differenzierbar und damit erhalten wir mit
Differentiation eine Dichtefunktion der Verteilungsfunktion.
(Das hatte ich dir übrigens auch schon geschrieben.)
> kann man die dichte bestimmen ,indem
> man[mm]\limes_{a\rightarrow\infty}F(a)- \limes_{b\rightarrow-\infty}F(b)[/mm]
> bestimmt,
> da die efunktion ja auch auf ganz [mm]\IR[/mm] stetig ist ,sind die
> Integralgrenzen von[mm] \integral_{-\infty}^{\infty}{\exp(-x-\exp(-x)) dx}= F(x)[/mm]
> ?
Du hast doch bereits eine Dichte von [mm] $F\$ [/mm] bestimmt! Falls du
das zur Kontrolle nachrechnen willst, dann berechne
[mm] \int_{-\infty}^{x}f(t)dt.
[/mm]
Schau dir am Besten noch einmal genau die Definitionen an!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 So 30.11.2014 | | Autor: | LGS |
Sorry sorry sorry liebe DieAcht, wenn ich hier dauernd versage. :(
$ [mm] \lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0. [/mm] $ $ [mm] \lim_{x\to-\infty}\exp(-x)= \infty. [/mm] $
daraus folgt
$ [mm] \limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-\exp(-x)) \Rightarrow \exp(-\limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-x)) \Rightarrow exp(-\infty) [/mm] = 0$
so müsste es jetzt richtig sein.
Die b) läuft hab gerade nen Studienkollegen angerufen der hat mit das bestätigt.
zur c) wie kann man da vorgehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:53 So 30.11.2014 | | Autor: | DieAcht |
> [mm]\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0.[/mm]
> [mm]\lim_{x\to-\infty}\exp(-x)= \infty.[/mm]
Richtig.
> daraus folgt
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-\exp(-x)) \Rightarrow \exp(-\limes_{x\rightarrow -\infty}\exp(-x)) \Rightarrow exp(-\infty) = 0[/mm]
Wozu benutzt du [mm] $\Rightarrow$-Zeichen? [/mm] Gleichheitszeichen!
> so müsste es jetzt richtig sein.
Nicht besonders elegant, aber richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die b) läuft hab gerade nen Studienkollegen angerufen der
> hat mit das bestätigt.
Okay.
> zur c) wie kann man da vorgehen?
Wie ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable definiert?
Wann besitzt eine Zufallsvariable eine Dichte?
Ein bisschen selbst probieren solltest du schon.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 So 30.11.2014 | | Autor: | LGS |
"Wie ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable definiert? "
Zitat skript: "Die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen $X $auf einem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] $(\Omega [/mm] , [mm] \Sigma, [/mm] P) $wird meist als diejenige Funktion$ [mm] F_X \colon \R \to [/mm] [0,1] $definiert, die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich $x $ [mm] annimmt$:F_X(x) [/mm] := P(X [mm] \le [/mm] x). "$
"Wann besitzt eine Zufallsvariable eine Dichte? "
Sie besitzt genau dann eine Dichte,wenn sie eine Ableitung besitzt.
Aber ist das denn in meinem Fall [mm] $F_Y= [/mm] P(Y [mm] \le [/mm] t)$.? da Y = exp(X) folgt daraus [mm] P(exp(X)\le [/mm] t). Ich hab null plan,was beschämend ist ,ob das richtig ist oder nicht.. :/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Mo 01.12.2014 | | Autor: | DieAcht |
> "Wie ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable
> definiert? "
>
>
> Zitat skript: "Die Verteilungsfunktion einer reellen
> Zufallsvariablen [mm]X [/mm]auf einem Wahrscheinlichkeitsraum
> [mm](\Omega , \Sigma, P) [/mm]wird meist als diejenige Funktion[mm] F_X \colon \R \to [0,1] [/mm]definiert,
> die angibt, mit welcher Wahrscheinlichkeit die
> Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich [mm]x[/mm]
> annimmt[mm]:F_X(x) := P(X \le x). "[/mm]
Wolltest du mir wirklich diesen Teil des Wikipedia-Artikels als
einen Ausschnitt aus deinem Skript verkaufen?
> "Wann besitzt eine Zufallsvariable eine Dichte? "
>
> Sie besitzt genau dann eine Dichte,wenn sie eine Ableitung
> besitzt.
Ist das dein Ernst? Wie kommst du auf diese Aussage?
Sei eine reellwertige Zufallsvariable [mm] $X\$ [/mm] gegeben. Dann ist mit
[mm] $F_X\colon\IR\to [0,1]\colon t\mapsto P(X\le [/mm] t)$
die Verteilungsfunktion von [mm] $X\$ [/mm] definiert. [mm] $X\$ [/mm] besitzt eine
Dichte, falls ihre Verteilungsfunktion [mm] F_X [/mm] eine besitzt.
> Aber ist das denn in meinem Fall [mm]F_Y= P(Y \le t)[/mm].? da Y =
> exp(X) folgt daraus [mm]P(exp(X)\le[/mm] t). Ich hab null plan,was
> beschämend ist ,ob das richtig ist oder nicht.. :/
Ja, das ist richtig. Es gilt:
[mm] F_Y(t)=F_Y(\exp(X))=P(\exp(X)\le [/mm] t).
Begründe
[mm] P(\exp(X)\le t)=P(X\le\ln(t))
[/mm]
und benutze die Verteilungsfunktion von [mm] $X\$.
[/mm]
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