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| Aufgabe | Die Verteilungsfunktion einer standardisierten Normalverteilung ist gegeben durch
G(b) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{- \infty}^{b}{ e^{-\bruch{t^2}{2}} dt}
[/mm]
Der Graph des Integranden g(t) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} e^{-\bruch{t^2}{2}} [/mm] ist die Gauß’sche Glockenkurve. G(b) bedeutet die Wahrscheinlichkeit, dass ein Messwert höchstens gleich b ist und ist gleich dem Flächeninhalt unter der Glockenkurve von - [mm] \infty [/mm] bis b. Die Fläche unter der Gauß’schen Glockenkurve von - [mm] \infty [/mm] bis [mm] \infty [/mm] ist gleich 1. Berechnen Sie näherungsweise G(1) mithilfe des Taylorpolynoms 2. Grades. (Tipp: Zerlegen Sie das Integral in zwei Teile von - [mm] \infty [/mm] bis 0 und von 0 bis 1. Was ist G(0)?) |
Hallo
ehrlich gesagt verstehe ich noch nicht mal die Aufgabenstellung so richtig, bzw. was es mit dieser Verteilungsfunktion auf sich hat. Aber ich dachte mir, als erstes muss ich sicherlich die Integration
[mm] \integral_{- \infty}^{b}{ e^{-\bruch{t^2}{2}} dt}
[/mm]
durchführen.
Ich habe es hier mit der Substitution versucht:
s = g(t) = - [mm] \bruch{1}{2} t^2 \Rightarrow [/mm] t = [mm] \pm \wurzel{-2s}
[/mm]
Das [mm] \pm [/mm] irritiert mich hier schon einmal.
Jetzt:
g'(t) = -2t = [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{- 2s} [/mm] = [mm] \pm [/mm] 2 [mm] \wurzel{- 2 g(t)}
[/mm]
Hier weiß ich nicht weiter, wie ich mit dem [mm] \pm [/mm] umgehen soll. Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg, wenn ich jetzt mein
[mm] \integral_{- \infty}^{b}{f(g(t)) dt}
[/mm]
erweitern will zu
[mm] \integral_{- \infty}^{b}{f(g(t)) \bruch{g'(t)}{g'(t)} dt}
[/mm]
Oder gehe ich die ganze Aufgabe komplett falsch an?
Danke und Gruß
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Mo 07.01.2019 | | Autor: | chrisno |
Du bist in der Sackgasse. Eine Stammfunktion wirst Du so nicht finden, weil es so nicht möglich ist.
Irgendwie hast Du die Hinweise ignoriert. Ich formuliere mal etwas um:
1. Gibt den Wert von $G(0)$ an.
Dazu must Du praktisch nichts rechnen, nur kurz argumentieren (Symetrie, Wahrscheinlichkeit)
2. Berechne die Fläche unter der Kurve im Bereich von 0 bis 1, indem Du die Gaußglockenkurve durch die Näherung des Taylorpolynoms 2. Grades ersetzt. Als Entwicklungspunkt würde ich erst einmal die Null nehmen, weil es mir am wenigsten Arbeit erscheint.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:27 Di 08.01.2019 | | Autor: | fred97 |
Noch ein Tipp: es ist $G'=g$ nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.
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Hatte nicht soviel Zeit, zurück zu der Frage hier. Also ok, wenn gilt
[mm] \limes_{v\rightarrow\infty} [/mm] G(v) = 1,
dann gilt wohl G(0) = [mm] \bruch{1}{2}.
[/mm]
Jetzt ist also das Taylorpolynom [mm] T_{2,0}(b) [/mm] von G(b) gesucht. Dieses ist definiert als
[mm] T_{2,0}(b) [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}b^k.
[/mm]
Ich benötige also [mm] f^{0}(b), f^{1}(b) [/mm] und [mm] f^{2}(b).
[/mm]
Wenn ich das richtig verstehe, dann gilt:
[mm] f^{1}(b) [/mm] = [mm] \bruch{e^\bruch{-b^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}} [/mm] - [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{e^\bruch{a^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}}.
[/mm]
Und weiter
[mm] f^{0}(b) [/mm] = U(b) - [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] U(-a), wobei gilt
U(x) := [mm] \integral {e^\bruch{-x^2}{2}{\wurzel{2 \pi}}}
[/mm]
Aber dieses unbestimmte Integral kann ich angeblich nicht finden? Ergibt das irgendeinen Sinn, was ich hier geschrieben hab?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:39 Di 15.01.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hatte nicht soviel Zeit, zurück zu der Frage hier. Also
> ok, wenn gilt
>
> [mm]\limes_{v\rightarrow\infty}[/mm] G(v) = 1,
>
> dann gilt wohl G(0) = [mm]\bruch{1}{2}.[/mm]
ja
>
> Jetzt ist also das Taylorpolynom [mm]T_{2,0}(b)[/mm] von G(b)
> gesucht. Dieses ist definiert als
>
> [mm]T_{2,0}(b)[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{2} \bruch{f^{(k)}(0)}{k!}b^k.[/mm]
Das stimmt, wenn Du G statt f schreibst
>
> Ich benötige also [mm]f^{0}(b), f^{1}(b)[/mm] und [mm]f^{2}(b).[/mm]
Nein, sondern G(0), G'(0) und G''(0)
>
> Wenn ich das richtig verstehe, dann gilt:
>
> [mm]f^{1}(b)[/mm] = [mm]\bruch{e^\bruch{-b^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}}[/mm] -
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \bruch{e^\bruch{a^2}{2}}{\wurzel{2 \pi}}.[/mm]
>
> Und weiter
>
> [mm]f^{0}(b)[/mm] = U(b) - [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] U(-a), wobei
> gilt
>
> U(x) := [mm]\integral {e^\bruch{-x^2}{2}{\wurzel{2 \pi}}}[/mm]
>
> Aber dieses unbestimmte Integral kann ich angeblich nicht
> finden? Ergibt das irgendeinen Sinn, was ich hier
> geschrieben hab?
Nein. G(0) hast Du.
Was hab ich Dir gesagt? Das: G'(b)=g(b). Berechne damit noch die zwei Ableitungen, die Du brauchst.
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Also zum Verständnis, ist das hier korrekt:
G(1) [mm] \approx \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] (\bruch{1}{\wurzel{2 \pi} e^{\bruch{t^2}{2}}}) \vmat{ 1 \\ - \infty } [/mm] + [mm] (\bruch{-t }{\wurzel{2 \pi} e^{\bruch{t^2}{2}}}) \vmat{ 1 \\ - \infty }
[/mm]
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Hallo,
Kommst du auf etwas grösser als 1? Das kann auf keinen Fall richtig sein.
Du wolltest berechnen $G(1) = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{\infty}^{1} \exp (\frac{-t^{2}}{2})dt [/mm] = G(0) + [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{1}\exp(\frac{-t^{2}}{2})dt$
[/mm]
Du weisst dass G(0) aus Symmetriegründen [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] sein muss, und auch dass [mm] $G(\infty) [/mm] =1 $ sein muss (weil deine Funktion normiert ist).
Es ist [mm] $e^{x} [/mm] := [mm] \sum _{k}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ [/mm] und somit (durch einsetzen von [mm] $\frac{-t^2}{2}$ [/mm] in x): $ [mm] e^{\frac{-t^2}{2}}=\sum\limits_{n=k}^\infty \frac{(-1)^kt^{2k}}{2^kk!}$
[/mm]
Für die ersten 3 Glieder: $1; [mm] -\frac{t^2}{2}; \frac{t^4}{8}$
[/mm]
Also erhältst Du damit $G(1) [mm] \approx [/mm] G(0) + [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} (\Big\rvert _{0}^{1} [/mm] t - [mm] \Big\rvert_{0}^{1}\frac{t^{3}}{6} [/mm] + [mm] \Big\rvert_{0}^{1} \frac{t^5}{40}) \approx [/mm] 0.842$
Nach Wolframalpha sollte der "exakte" Wert ungefähr hier liegen:
https://www.wolframalpha.com/input/?i=(1%2F(sqrt(2*pi))+integral+(from+-infinity+to+1)++e%5E(-t%5E2%2F2)+dt
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Leuchtet mir nicht ein. Du verwendest das Taylorpolynom von [mm] e^{-\bruch{t^2}{2}}.
[/mm]
Aber müsstest du nicht stattdessen das Taylorpolynom von [mm] \integral {e^{-\bruch{t^2}{2}} dx} [/mm] verwenden (wie auch immer das aussehen mag)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mi 16.01.2019 | | Autor: | fred97 |
> Leuchtet mir nicht ein.
Mir auch nicht.
> Du verwendest das Taylorpolynom von
> [mm]e^{-\bruch{t^2}{2}}.[/mm]
> Aber müsstest du nicht stattdessen das Taylorpolynom von
> [mm]\integral {e^{-\bruch{t^2}{2}} dx}[/mm] verwenden (wie auch
> immer das aussehen mag)?
Wir hatten
$G(b) = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2\pi}} \integral_{- \infty}^{b}{ e^{-\bruch{t^2}{2}} dt} [/mm] $,
G(0)=1/2 und [mm] G'(b)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{b^2}{2}}
[/mm]
Damit ist [mm] G''(b)=-b\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{b^2}{2}}, [/mm] somit
[mm] T_{2,0}(b)=G(0)+G'(0)b+\frac{1}{2}G''(0)b^2=\frac{1}{2}+\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}b.
[/mm]
Für b=1 liefert das
[mm] T_{2,0}(1)=\frac{1}{2}+\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}
[/mm]
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Aber genau hier habe ich ein Verständnisproblem:
Mal angenommen, U(t) wäre das unbestimmte Integral:
U(t) = [mm] \bruch{1}{2 \pi} \integral {e^{-\bruch{t^2}{2}} dt}
[/mm]
Dann würde doch gelten:
G(b) = U(t) [mm] \Big\rvert _{-\infty}^{b}
[/mm]
Folglich müsste doch auch gelten:
G'(b) = [mm] e^{-\bruch{t^2}{2}} \Big\rvert _{-\infty}^{b}
[/mm]
Analog für G''(b).
Oder bin ich einfach nur verwirrt?
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Hallo,
Ich verstehe dein Problem nicht bzw. warum du unbedingt von [mm] $-\infty$ [/mm] bis $b$ rechnen möchtest. Wenn du das Integral nicht aufteilst (also [mm] $G(0)=\frac{1}{2}$ [/mm] nicht verwendest) und von [mm] $-\infty$ [/mm] bis $b$ rechnest, was soll dann G(0) sein?
Die Taylorentwicklung von G(b) bringt dir dann nichts, weil du das Integral nicht wegbekommen hast für das 0.te Glied.
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Hiho,
> Mal angenommen, U(t) wäre das unbestimmte Integral:
>
> U(t) = [mm]\bruch{1}{2 \pi} \integral {e^{-\bruch{t^2}{2}} dt}[/mm]
das macht ja gar keinen Sinn.....
Links soll eine Funktion stehen, rechts steht eine (unendliche) Menge von Funktionen.
Wenn du aus der Menge aller Stammfunktionen (denn nichts anderes ist das "unbestimmte Integral") eine bestimmte auswählen willst, musst du eine weitere Festlegung machen.
z.B. indem du den Funktionswert bei 0 festlegst.
G ist nun gerade so eine ausgewählte Stammfunktion mit der Eigenschaft $G(0) = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
Und halten wir fest: Egal welche Stammfunktion du für U wählst, sie unterscheidet sich nur um eine additive Konstante von G.
D.h. es gilt: $G(t) = U(t) + c$ für ein $c [mm] \in \IR$
[/mm]
> Dann würde doch gelten:
>
> G(b) = U(t) [mm]\Big\rvert _{-\infty}^{b}[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Schon, aber da steht letztendlich wieder einfach "nur" eine triviale Gleichung, denn mit obigem gilt:
$G(b) = U(t) \Big\rvert _{-\infty}^{b} = U(b) - U(-\infty) = G(b) + c - \left(G(-\infty) + c) = G(b) + c - 0 - c = G(b)$
> Folglich müsste doch auch gelten:
>
> G'(b) = [mm]e^{-\bruch{t^2}{2}} \Big\rvert _{-\infty}^{b}[/mm]
Bis auf die Tatsache, dass du den Faktor [mm] \bruch{1}{2 \pi} [/mm] unterschlagen hast, stimmt das ja auch, d.h. nach deiner "Schreibweise" müsste es korrekt heißen:
> G'(b) = [mm]\bruch{1}{2 \pi} e^{-\bruch{t^2}{2}} \Big\rvert _{-\infty}^{b}[/mm]
Und das ist nix anderes als:
$G'(b) = [mm] \bruch{1}{2 \pi} e^{-\bruch{t^2}{2}} \Big\rvert _{-\infty}^{b} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2 \pi} e^{-\bruch{b^2}{2}} [/mm] - 0 = [mm] \bruch{1}{2 \pi} e^{-\bruch{b^2}{2}} [/mm] $
Das hatte fred dir aber schon von anfang an gesagt....
> Analog für G''(b).
>
> Oder bin ich einfach nur verwirrt?
Dir fehlen Grundlagen und das verwirrt dich....
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist hier das Zauberwort...
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:01 Do 17.01.2019 | | Autor: | sancho1980 |
Also Fred hatte einfach nur geschrieben:
> [mm]G'(b)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{b^2}{2}}[/mm]
... was zwar dasselbe ist, aber ich hatte den Eindruck, die Subtraktion würde hierbei unterschlagen, da ich nicht bedachte hatte, dass ja gilt:
[mm] \limes_{b\rightarrow - \infty} \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{b^2}{2}} [/mm] = 0
Also ich versteh es jetzt schon. Was mir aber immer noch nicht klar ist, ist, warum in der Aufgabenstellung steht:
"Tipp: Zerlegen Sie das Integral in zwei Teile von - [mm] \infty [/mm] bis 0 und von 0 bis 1."
Soweit ich das sehe, haben wir das jetzt gar nicht gebraucht; die Aufgabe also anders gelöst, als es sich der Aufgabensteller gedacht hat?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:51 Do 17.01.2019 | | Autor: | fred97 |
> Also Fred hatte einfach nur geschrieben:
>
> > [mm]G'(b)=\bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{b^2}{2}}[/mm]
>
> ... was zwar dasselbe ist, aber ich hatte den Eindruck, die
> Subtraktion würde hierbei unterschlagen, da ich nicht
> bedachte hatte, dass ja gilt:
>
> [mm]\limes_{b\rightarrow - \infty} \bruch{1}{\wurzel{2\pi}}e^{-\bruch{b^2}{2}}[/mm]
> = 0
>
> Also ich versteh es jetzt schon. Was mir aber immer noch
> nicht klar ist, ist, warum in der Aufgabenstellung steht:
>
> "Tipp: Zerlegen Sie das Integral in zwei Teile von - [mm]\infty[/mm]
> bis 0 und von 0 bis 1."
>
> Soweit ich das sehe, haben wir das jetzt gar nicht
> gebraucht; die Aufgabe also anders gelöst, als es sich der
> Aufgabensteller gedacht hat?
Möglicherweise wollte der Aufgabensteller auf die folgende Verallgemeineung des Hauptsatzes hinaus:
Der Hauptsatz lautet ja so: ist f:[a,b] [mm] \to \IR [/mm] stetig und $ F(x):= [mm] \int_a^xf(t) [/mm] dt$, so ist F'=f auf [a,b].
Eine Verallgemeinerung geht so:
Ist f [mm] \IR \to \IR [/mm] stetig , [mm] \int_{- \infty}^{\infty}f(t) [/mm] dt konvergent und F(x):= [mm] \int_{- \infty}^{x}f(t) [/mm] dt.
Dann ist [mm] F(x)=\int_{- \infty}^{0}f(t) dt+\int_{0}^{x}f(t) [/mm] dt.
Nun sieht man : F'=f.
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